【正文】 或是在給定軌跡的外面還是里面，從而決定下一步的進(jìn)給方向。進(jìn)給方向總是向著逼近給定軌跡的方向。逐點(diǎn)比較法是以階梯折線來(lái)逼近直線和圓弧等曲線的。它與規(guī)定的加工直線或圓弧之間的最大誤差為一個(gè)脈沖當(dāng)量。一、逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)(一)直線插補(bǔ)計(jì)算原理1．偏差計(jì)算公式以第一象限平面直線為例來(lái)推導(dǎo)偏差計(jì)算公式。假定加工如圖41所示的直線OA。取直線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線終點(diǎn)坐標(biāo)A(xe，ye)為已知，即直線OA為給定軌跡。m(xm，ym)點(diǎn)為加工點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))。Fm=ymxe―xmye若Fm=0，表示動(dòng)點(diǎn)在直線OA上，如m；若Fm0，表示動(dòng)點(diǎn)在直線OA上方，如m′；若Fm0，表示動(dòng)點(diǎn)在直線OA下方，如m。從圖41中可以看出，第一象限直線插補(bǔ)，當(dāng)Fm0時(shí)應(yīng)向+X的方向進(jìn)給一步以逼近給定直線，而當(dāng)Fm0時(shí)應(yīng)向+Y方向進(jìn)給以逼近給定直線。當(dāng)Fm=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，可以向+X走，也可向+Y走，這里規(guī)定向+X走一步。于是我們得到第一象限直線的插補(bǔ)法,即當(dāng)Fm≥0向+X進(jìn)給一步，當(dāng)Fm0時(shí)向+Y方向進(jìn)給一步。從起點(diǎn)開始，當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)方向走的步數(shù)分別等于xe和ye時(shí)停止插補(bǔ)。對(duì)于第一象限而言，設(shè)加工點(diǎn)正處于m點(diǎn)，當(dāng)Fm≥０時(shí)，表明m點(diǎn)在OA直線上或OA直線上方，應(yīng)沿+X方向進(jìn)給一步。新點(diǎn)的偏差為Fm+1=Fm－ye。若Fm0，表明m點(diǎn)在OA的下方，應(yīng)向+Y方向進(jìn)給一步，新點(diǎn)的偏差為Fm+1=Fm+xe2．終點(diǎn)判別的方法一種方法是設(shè)置∑x、∑y兩個(gè)減法計(jì)數(shù)器，在加工開始前，在∑x、∑y計(jì)數(shù)器中分別存入終點(diǎn)坐標(biāo)值xe、ye。x或y坐標(biāo)方向每進(jìn)給一步時(shí)，就在相應(yīng)的計(jì)數(shù)器中減去1，直到兩個(gè)計(jì)數(shù)器中的數(shù)都減為零時(shí)，停止插補(bǔ)，到達(dá)終點(diǎn)。另一種方法是設(shè)置一個(gè)終點(diǎn)計(jì)數(shù)器，計(jì)數(shù)器中存入x和y兩坐標(biāo)進(jìn)給的步數(shù)總和∑,∑=xe+ye，當(dāng)x或y坐標(biāo)進(jìn)給時(shí)均在∑中減1，當(dāng)減到零時(shí)，停止插補(bǔ)，到達(dá)終點(diǎn)。第三種方法是選終點(diǎn)坐標(biāo)值較大的坐標(biāo)作為計(jì)數(shù)坐標(biāo)。如xe≥ye則用xe做終點(diǎn)計(jì)數(shù)器初值，僅X軸走步時(shí)，計(jì)數(shù)器才減1，計(jì)數(shù)器減到零到達(dá)終點(diǎn)。如yexe則用Y軸計(jì)數(shù)。3．插補(bǔ)計(jì)算過程用逐點(diǎn)比較法進(jìn)行直線插補(bǔ)計(jì)算，每走一步，都需要以下四個(gè)步驟：(1)偏差判別(2)坐標(biāo)進(jìn)給(3)偏差計(jì)算(4)終點(diǎn)判別(二)直線插補(bǔ)計(jì)算舉例設(shè)加工第一象限直線，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)xe=6,ye=4，試進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算并畫出走步軌跡圖。(三)四個(gè)象限的直線插補(bǔ)計(jì)算為適用于四個(gè)象限的直線插補(bǔ)，我們?cè)谄钣?jì)算時(shí)，無(wú)論哪個(gè)象限直線，都用其坐標(biāo)的絕對(duì)值計(jì)算。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于直線上時(shí)偏差F=0，動(dòng)點(diǎn)不在直線上且偏向Y軸一側(cè)時(shí)F0，偏向X軸一側(cè)時(shí)F0。當(dāng)F≥0時(shí)應(yīng)沿X軸走步，第一、二象限走+X方向，第三、四象限走―X方向；當(dāng)F0時(shí)應(yīng)沿Y軸走一步，第一、二象限走+Y方向，第三、四象限走―Y方向。終點(diǎn)判別也應(yīng)用終點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值做為計(jì)數(shù)器初值。四個(gè)象限直線插補(bǔ)的偏差計(jì)算公式與進(jìn)給方向列于表42之中。表中LLLL4分別表示第一、二、三、四象限的直線。(四)直線插補(bǔ)計(jì)算的程序?qū)崿F(xiàn)1．直線插補(bǔ)流程圖設(shè)計(jì)流程圖之前，做如下規(guī)定：1)在內(nèi)存中開辟四個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)XX、YY、JJ、FF分別存放終點(diǎn)坐標(biāo)值xe、終點(diǎn)坐標(biāo)值ye、總步數(shù)∑、偏差Fm。2)數(shù)據(jù)區(qū)初始化，包括FF區(qū)清零，由數(shù)據(jù)處理模塊完成。2．直線插補(bǔ)程序設(shè)步進(jìn)電機(jī)為三相六拍運(yùn)行，STX、STY分別為X軸、Y軸步進(jìn)電機(jī)環(huán)形分配指針，PORTX和PORTY分別為X、Y軸的控制字輸出口地址，標(biāo)志字FLGH的第0位和第1位分別表示X軸和Y軸的進(jìn)給方向，1為正向，0為反向。二、逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)(一)圓弧插補(bǔ)計(jì)算原理1．偏差計(jì)算公式以第一象限逆圓為例討論圓弧插補(bǔ)的偏差計(jì)算公式。如圖45所示，要加工圓弧AB，設(shè)圓弧的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，并已知圓弧的起點(diǎn)A(x0，y0)，終點(diǎn)為B(xe，ye)，圓弧半徑為R。令瞬時(shí)加工點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))為m(xm，ym)，它到圓心的距離為Rm。可定義圓弧偏差判別式如下：若Fm≥0，動(dòng)點(diǎn)m在圓上或圓外，向―x方向進(jìn)給一步并算出新的偏差。Fm0，動(dòng)點(diǎn)m在圓內(nèi)，向+y方向進(jìn)給一步并算出新的偏差。偏差計(jì)算公式簡(jiǎn)化如下：若Fm≥0，應(yīng)沿―x軸方向進(jìn)給一步，到m+1點(diǎn)，其坐標(biāo)值為xm+1=xm―1，ym+1=ym則新加工點(diǎn)m+1點(diǎn)的偏差為若Fm0，沿+y軸方向進(jìn)給一步，到m+1點(diǎn)，其坐標(biāo)值為xm+1=xm，ym+1=ym+1則新加工點(diǎn)的偏差值為2．終點(diǎn)判別方法圓弧插補(bǔ)的終點(diǎn)判別方法與直線插補(bǔ)的方法基本相同?？蓪、Y軸走步數(shù)總和存入一個(gè)計(jì)數(shù)器，∑=|xe―x0|+|ye―y0|，每走一步，∑減一，當(dāng)∑=0發(fā)出停止信號(hào)。3．插補(bǔ)計(jì)算過程圓弧插補(bǔ)過程分為偏差判別、坐標(biāo)進(jìn)給、偏差計(jì)算、坐標(biāo)計(jì)算及終點(diǎn)判別五個(gè)步驟。(二)圓弧插補(bǔ)計(jì)算舉例設(shè)加工第一象限逆圓AB，已知起點(diǎn)A(4，0)，終點(diǎn)B(0，4)。試進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算并畫出走步軌跡。計(jì)算過程如表43所示，根據(jù)表43作出走步軌跡如圖46所示。(三)四個(gè)象限圓弧插補(bǔ)計(jì)算用SRl、SRSRSR4分別表示第一、二、三、四象限的順圓?。挥肗Rl、NRNRNR4分別表示第一、二、三、四象限的逆圓弧。從前面分析可知，第一象限逆圓插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，使動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)xm的絕對(duì)值減小，使ym絕對(duì)增大。當(dāng)Fm≥0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在圓上或圓外，Y軸負(fù)向進(jìn)給，絕對(duì)值減小ym+1=ym―1Fm+1=Fm―2ym+1當(dāng)Fm0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在圓內(nèi)，X軸正向進(jìn)給，絕對(duì)值增加xm+1=xm+1Fm+1=Fm+2xm+1與直線插補(bǔ)相似，插補(bǔ)計(jì)算都用坐標(biāo)的絕對(duì)值進(jìn)行，將進(jìn)給方向另做處理。SNl、NRSRNR4的插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)都是使X軸坐標(biāo)絕對(duì)值增加、Y軸坐標(biāo)絕對(duì)值減小，這幾種圓弧的插補(bǔ)計(jì)算是一致的，以SRl為代表。NRl、SRNRSR4插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)都是使X軸坐標(biāo)絕對(duì)值減小、Y軸坐標(biāo)絕對(duì)值加，這四種圓弧插補(bǔ)計(jì)算是一致的，以NRl為代表。如圖47所示，與第一象限逆圓NRl相對(duì)應(yīng)的其它三個(gè)象限的圓弧有SRNRSR4。其中，第二象限順圓SR2與第一象限逆圓NRl是關(guān)于Y軸對(duì)稱的，起點(diǎn)坐標(biāo)(―x0，y0)。從圖中可知，兩個(gè)圓弧從各自起點(diǎn)插補(bǔ)出來(lái)的軌跡對(duì)于Y坐標(biāo)對(duì)稱，即Y方向的進(jìn)給相同，X方向進(jìn)給相反。機(jī)器完全按第一象限逆圓偏差計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，所不同的是將X軸的進(jìn)給方向變?yōu)檎颍瑒t走出的就是第二象限順圓SR2。在這里，圓弧的起點(diǎn)坐標(biāo)要取其數(shù)字的絕對(duì)值，即送入機(jī)器時(shí)，起點(diǎn)坐標(biāo)為無(wú)符號(hào)數(shù)(x0，y0)，而―x0的“―”號(hào)則用于確定象限，從而確定進(jìn)給方向。(四)圓弧插補(bǔ)計(jì)算的程序?qū)崿F(xiàn)首先應(yīng)在內(nèi)存中開辟四個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)用以存放這些數(shù)據(jù)。在一個(gè)數(shù)控系統(tǒng)中，直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)可共用這些數(shù)據(jù)區(qū)。進(jìn)給方向在圓弧不過象限的情況下是不變的，可以由數(shù)據(jù)處理模塊以標(biāo)志的形式直接傳送給伺服驅(qū)動(dòng)程序，插補(bǔ)模塊不作處理進(jìn)給方向的正負(fù)問題。數(shù)據(jù)區(qū)的初始化由數(shù)據(jù)處理程序模塊完成。三、逐點(diǎn)比較法算法的改進(jìn)四方向逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)結(jié)果以垂直的折線逼近給定軌跡，插補(bǔ)誤差小于或等于一個(gè)脈沖當(dāng)量。八方向逐點(diǎn)比較法不僅以+X、―X、+Y、―Y作為走步方向，而且兩個(gè)坐標(biāo)可以同時(shí)進(jìn)給，即四個(gè)合成方向+X+Y、―X+Y、―X―Y+X―Y也作為進(jìn)給方向。八方向逐點(diǎn)比較法以折線逼近給定軌跡，逼近誤差小于半個(gè)脈沖當(dāng)量。(一)八方向逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)如圖49所示，八個(gè)進(jìn)給方向?qū)⑺膫€(gè)象限分為八個(gè)區(qū)域。在各個(gè)區(qū)域中的直線的進(jìn)給方向如圖410所示。這里以1區(qū)的直線插補(bǔ)為例，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為m，如向+X走一步，到達(dá)點(diǎn)m1，此點(diǎn)的偏差為Fm1；如兩坐標(biāo)同時(shí)進(jìn)給，到達(dá)點(diǎn)m2，此點(diǎn)偏差為Fm2。如果在m1的基礎(chǔ)上再向+Y方向進(jìn)給一步，同樣到達(dá)點(diǎn)m2，其偏差仍為Fm2。由四方向直線插補(bǔ)可知，向+X走一步，則偏差為Fm1=Fm–ye。再由點(diǎn)m1向+Y走一步，其偏差為Fm2=Fm1+xe比較兩個(gè)偏差絕對(duì)值的大小，如果|Fm1||Fm2|則表示單坐標(biāo)進(jìn)給偏差大，應(yīng)兩坐標(biāo)同時(shí)進(jìn)給，并保留Fm2做為下一步的偏差；反之則單坐標(biāo)進(jìn)給，保留Fm1作為下一步的偏差。同理，對(duì)于2區(qū)的直線，向+Y走一步偏差為Fm1=Fm+xe。再向+X走一步偏差為Fm2=Fm1–ye按四方向逐點(diǎn)比較法的處理方式，都以坐標(biāo)的絕對(duì)值計(jì)算，進(jìn)給方向正負(fù)由數(shù)據(jù)處理程序模塊直接傳給進(jìn)給驅(qū)動(dòng)程序，則8區(qū)的直線插補(bǔ)算法1區(qū)的直線插補(bǔ)算法一致，7區(qū)的直線插補(bǔ)算法與2區(qū)的直線插補(bǔ)算法一致。八方向逐點(diǎn)比較法終點(diǎn)判別，可以用兩個(gè)坐標(biāo)總的走步數(shù)做為判終計(jì)數(shù)器的初值，單坐標(biāo)進(jìn)給是減1，雙坐標(biāo)進(jìn)給時(shí)減2，計(jì)數(shù)器為0時(shí)停止插補(bǔ)。(二)八方向逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)用八方向逐點(diǎn)比較法，在八個(gè)區(qū)域中共有16種圓弧。如圖412所示，各種圓弧的進(jìn)給方向都在圖上標(biāo)出。仍按四方向逐點(diǎn)比較法處理方式，用坐標(biāo)絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)給方向的正負(fù)由數(shù)據(jù)處理程序模塊直接傳遞給進(jìn)給驅(qū)動(dòng)程序，不由插補(bǔ)程序處理。1)圓弧NRSRNRSR7，X軸為單進(jìn)給坐標(biāo)，且動(dòng)點(diǎn)的X坐標(biāo)絕對(duì)值呈減小趨勢(shì)。2)圓弧SRNRSRNR7，X軸為單進(jìn)給坐標(biāo)，且動(dòng)點(diǎn)的X坐標(biāo)絕對(duì)值呈增加趨勢(shì)。3)圓弧SRl、NRSRNR8，Y軸為單進(jìn)給坐標(biāo)，且動(dòng)點(diǎn)的Y坐標(biāo)絕對(duì)值減小趨勢(shì)。4)圓弧NRl、SRNRSR8，Y軸為單進(jìn)給坐標(biāo)，且動(dòng)點(diǎn)的Y坐標(biāo)絕對(duì)值呈增加趨勢(shì)。以上四種算法中，走雙坐標(biāo)時(shí)保留Fm2作為下一步的偏差，走單坐標(biāo)時(shí)保留Fm1。做為下一步的偏差。綜上所述，八方向逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)的四種類型，可用第一象限中的四種圓弧作為代表，即可分SRl、NRl、SRNR2四種插補(bǔ)方式。八方向逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)流程如圖413所示。(三)圓弧過象限及過區(qū)域處理用四方向逐點(diǎn)比較法，有過象限圓弧插補(bǔ)的問題。相鄰象限的圓弧插補(bǔ)計(jì)算方法不同，進(jìn)給方向也不同。用八方向逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)圓弧，則一過區(qū)域就必須改變插補(bǔ)方式和進(jìn)給方向。過象限和過區(qū)域的處理，首先應(yīng)進(jìn)行過象限或過區(qū)域判斷。當(dāng)xm=0或ym=0時(shí)過象限；當(dāng)xm=ym時(shí)過區(qū)域(這里xm、ym是絕對(duì)值)。每走一步，除進(jìn)行終點(diǎn)判別外，要進(jìn)行過象限或過區(qū)域判別，到達(dá)過象限或過區(qū)域點(diǎn)時(shí)進(jìn)行相應(yīng)處理。過象限或區(qū)域的處理，可用查表的方法。第三節(jié)數(shù)字積分插補(bǔ)法數(shù)字積分法又稱數(shù)字微分分析法(DDA)，是在數(shù)字積分器的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的一種插補(bǔ)法。數(shù)字積分法具有運(yùn)算速度快、脈沖分配均勻、易實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用較廣泛。積分運(yùn)算變成了變量求和運(yùn)算。若取的脈沖當(dāng)量足夠小，則用求和運(yùn)算來(lái)代替積分運(yùn)算所引起的誤差可以不超過允許的數(shù)值。圖415是實(shí)現(xiàn)這種求和運(yùn)算的原理圖。一、數(shù)字積分法直線插補(bǔ)(一)直線插補(bǔ)原理設(shè)在平面中有一直線OA，其起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為A(xe，ye)，則該直線的方程為寫成近似微分形式為Δx=KxeΔt Δy=KyeΔt動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)走向終點(diǎn)的過程，可以看作是各坐標(biāo)軸每隔一個(gè)單位時(shí)間Δt，分別以增量Kxe及Kye同時(shí)對(duì)兩個(gè)累加器累加的過程。當(dāng)累加值超過一個(gè)坐標(biāo)單位(脈沖當(dāng)量)時(shí)產(chǎn)生溢出，溢出脈沖驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)進(jìn)給一個(gè)脈沖當(dāng)量，從而走出給定直線。若經(jīng)過m次累加后，x和y分別到達(dá)終點(diǎn)(xe，ye)，即下式成立由此可見，比例系數(shù)K和累加次數(shù)m之間有如下的關(guān)系：Km=1,即m=1/KK的數(shù)值與累加器的容量有關(guān)。若累加器的位數(shù)為n,則整個(gè)插補(bǔ)過程要進(jìn)行2n次累加才能到達(dá)直線的終點(diǎn)。因?yàn)镵=1/2n，n為寄存器的位數(shù)，對(duì)于存放于寄存器中的二進(jìn)制數(shù)來(lái)說(shuō)，Kxe(或Kye)與xe(或ye)是相同的，只是認(rèn)為前者小數(shù)點(diǎn)在最高位之前，而認(rèn)為后者的小數(shù)點(diǎn)在最低位之后。所以，可以用xe直接對(duì)X軸累加器累加，用ye直接對(duì)Y軸的累加器累加。用與逐點(diǎn)比較法相同的處理方法，把符號(hào)與數(shù)據(jù)分開，取數(shù)據(jù)的絕對(duì)值作被積函數(shù)，而符號(hào)作進(jìn)給方向控制信號(hào)處理，便可對(duì)所有不同象限的直線進(jìn)行插補(bǔ)。(二)直線插補(bǔ)計(jì)算舉例設(shè)有一直線OA，起點(diǎn)為原點(diǎn)O，終點(diǎn)A坐標(biāo)為(7，5)，累加器和寄存器的位數(shù)為3位，其最大容量為23=8。試用數(shù)字積分法進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算并畫出走步軌跡。被積函數(shù)寄存器Jvx存入x軸終點(diǎn)坐標(biāo)7，Jv存入y軸終點(diǎn)坐標(biāo)5，累加器JRx=JRy=0，累加次數(shù)m=23=8。插補(bǔ)計(jì)算過程如表46所示，走步軌跡如圖417所示。(三)直線插補(bǔ)的程序?qū)崿F(xiàn)二、空間直線插補(bǔ)(一)空間直線插補(bǔ)原理數(shù)字積分法的優(yōu)點(diǎn)是可以對(duì)空間直線或多維線型函數(shù)進(jìn)行插補(bǔ)，從而可以控制多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)。因?yàn)榍婵梢杂煽臻g曲線創(chuàng)成，空間曲線可以用空間直線來(lái)逼近，所以空間直線插補(bǔ)應(yīng)用較多。多維線性函數(shù)的運(yùn)動(dòng)軌跡不一定是直線。例如，空間直線插補(bǔ)法可用于三維線性函數(shù)插補(bǔ)，若此函數(shù)中有一個(gè)變量是轉(zhuǎn)角，走出來(lái)的運(yùn)動(dòng)軌跡也就不是直線了?？臻g直線插補(bǔ)與平面直線的原理相詞，只是需要增加一個(gè)Z軸的積分器。Z軸積分器的被積函數(shù)為直線終點(diǎn)的Z坐標(biāo)值z(mì)e。每進(jìn)行一次插補(bǔ)，對(duì)三個(gè)積分器積分，即累加。哪個(gè)軸的累加器有溢出則該軸進(jìn)給一步?？臻g直線的終點(diǎn)判別可采用與平面直線相似的方法，可以每個(gè)軸各設(shè)一個(gè)終點(diǎn)判別計(jì)數(shù)器，分別進(jìn)行終點(diǎn)判別。(二)空間直線插補(bǔ)的程序?qū)崿F(xiàn)三、數(shù)字積分法圓弧插補(bǔ)(一)圓弧插補(bǔ)原理以第一象限逆圓為例。如圖420所示，設(shè)圓弧的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，起點(diǎn)為A(x0，y0)，終點(diǎn)為B(xe，ye)，半徑為r。用累加和來(lái)近似積分這表明圓弧插補(bǔ)時(shí)，X軸的被積函數(shù)值等于動(dòng)點(diǎn)Y坐標(biāo)的瞬時(shí)值，Y軸的被積函數(shù)值等于動(dòng)點(diǎn)X坐標(biāo)的瞬時(shí)值。由此可畫出圓弧插補(bǔ)運(yùn)算框圖，如圖421所示，圖中JVX為X軸的被積函數(shù)寄存器，JRX為累加寄存器。與直線插補(bǔ)比較可知：1)直線插補(bǔ)時(shí)為常數(shù)累加，而圓弧插補(bǔ)時(shí)為變量（動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)）累加。2)圓弧插補(bǔ)時(shí)，X軸動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)值累加的溢出脈沖作為Y軸的進(jìn)給脈沖，Y軸動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)值累加溢出脈沖作為X軸的進(jìn)給脈沖。3)直線插補(bǔ)過程中，被積函數(shù)寄存器存放常值xe(ye)。圓弧插補(bǔ)過程時(shí)，則存放