【導讀】1-1求周期方波的傅里葉級數(shù)，劃出||–ω和φn–ω圖，并與表1-1. t=0處可不予定義，或規(guī)定sgn=0。該信號不滿足絕對可積條件，不能直接求解，但傅里葉變換存在?？梢越柚陔p邊指數(shù)衰減信號與符號函數(shù)相乘，這樣便滿足傅里葉變換的條件。先求此乘積信號x1. 的頻譜，然后取極限得出符號函數(shù)x的頻譜。葉變換，可采用如下方法求解。結果表明，單位階躍信號u的頻譜在f=0處存在一個沖激分量，這是因為u含有直流分量，在預料。同時，由于u不是純直流信號，在t=0處有跳變，因此在頻譜中還包含其它頻率分量。1-5求被截斷的余弦函數(shù)0cosωt的傅里葉變換。也說明，單一頻率的簡諧信號由于截斷導致頻譜變得無限寬。

　　

【正文】 Bode Diagram Frequency (rad/sec) 453i11 1 1 0 0 1 0 1 5 0 0 . 7( ) ( 1 2 5 7 5 )2 2 2 . 5 1 0 1 0n A BR R R RIr? ?????? ? ?? ? ? ??? 解得： 7500 2 0 0 6 5 7 6 . 30 . 7 2 . 5R ? ? ? ?? 改進后系統(tǒng)的靈敏度 ： 4 13i1 1 0 0 1 0 1 5 0 0 . 2 2 1 r a d V( ) 1 0 ( 1 2 5 7 5 6 5 7 6 . 3 )n A BK r R R R? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? 第五章 信號處理初步 51 求 h(t)的自相關函數(shù) 。 ? ( 0 , 0 )() 0 ( 0 )ate t aht t? ??? ? 解：這是一種能量有限的確定性信號，所以 ()0 1( ) ( ) ( ) 2at a t ahR h t h t dt e e dt ea?????? ? ? ? ???? ? ? ??? 52 假定有一個信號 x(t)，它由兩個頻率、相角均不相等的余弦函數(shù)疊加而成，其數(shù)學表達式為 x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2) 求該信號的自相關函數(shù)。 解：設 x1(t)=A1cos(?1t+?1)； x2(t)= A2cos(?2t+?2)，則 1 1 2 2 1 21 2 1 21 1 1 22 1 2 21( ) l im [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]211l im ( ) ( ) l im ( ) ( )2211l im ( ) ( ) l im ( ) ( )22( ) ( ) ( ) ( )Tx TTTTTTTTTTx x x x x xR x t x t x t x t d tTx t x t d t x t x t d tTTx t x t d t x t x t d tTTR R R R? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? 因為 ?1??2，所以12( ) 0xxR ? ?，21( ) 0xxR ? ?。 又因為 x1(t)和 x2(t)為周期信號，所以 ? ? ? ?? ?? ?1111111 1 1 1 1 101211 1 1 1 1 1 1 101211 1 1 10012211111 01( ) c os( ) c os[ ( ) ]1c os ( ) c os ( )2c os 2 2 c os( )20 c os( ) c os( )22TxTTTTR A t A t dtTAt t t t dtTAt dt dtTAAtT? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ????? 同理可求得1222( ) c o s( )2x AR ? ? ?? 所以12221212( ) ( ) ( ) c o s ( ) c o s ( )x x x AAR R R? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 53 求 方波和正弦波（見圖 524）的互相關函數(shù)。 解法 1：按方波分段積分直接計算。 5 解法 2：將方波 y(t)展開成三角級數(shù)，其基波與 x(t)同頻相關，而 三次以上 諧波 與 x(t)不同頻不相關，不必計算，所以只需計算 y(t)的 基波與 x(t)的互相關函數(shù)即可。 4 1 1( ) c os c os 3 c os 535y t t t t? ? ?? ??? ? ? ? ????? 所以? ?? ?000001 1 4( ) ( ) ( ) sin ( ) c o s( )41sin ( ) sin ( )22sin ( 2 ) sin ( )220 sin ( ) sin ( )TTxyTTTR x t y t d t t t d tTTt t t t d tTt d t d tTTT? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?????? 解法 3：直接按 Rxy(?)定義式計算 (參 看下圖 )。 034430441( ) ( ) ( )1 ( 1 ) sin ( ) 1 sin ( ) ( 1 ) sin ( )2 sin ( )TxyTT TTTR x t y t dtTt dt t dt t dtT??????? ? ? ? ????????????? ? ? ? ? ???????? ? ? t y(t) t x(t) 1 1 1 T 1 圖 524 題 53 圖 sin(?t) 0 0 參考上圖可以算出 圖中 方波 y(t)的自相關函數(shù) 41024() 32( ) 0 , 1 , 2 ,yyTT TR TTR nT n??? ???? ? ? ????? ? ???? ? ? ? ?? 54 某一系統(tǒng)的輸人信號為 x(t)（見 圖 525） ，若輸出 y(t)與輸 入 x(t)相同，輸 入 的自相關函數(shù) Rx(?)和輸 入— 輸出的互相關函數(shù) Rx(?)之間的關系為 Rx(?)=Rxy(?+T)，試說明該系統(tǒng)起什么作用？ t y(t) t x(t) 1 1 1 T 1 sin(?t) 0 0 t y(t+?) 1 1 0 ? 4T 34TT T 34T ??4T??? Ry(?) 0 方波的自相關函數(shù)圖 T T/2 解：因為 Rx(?)=Rxy(?+T) 所以0011l im ( ) ( ) l im ( ) ( )TTTTx t x t dt x t y t T dtTT??? ? ? ?? ? ? ??? 所以 x(t+?)=y(t+?+T) 令 t1 = t+?+T，代入上式得 x(t1 T)=y(t1)， 即 y(t) = x(t T) 結果說明了該系統(tǒng)將輸入信號不失真地延遲了 T 時間。 55 試根據(jù)一個信號的自相關函數(shù)圖形，討論如何確定該信號中的常值分量和周期成分。 解： 設信號 x(t)的均值為 ?x， x1(t)是 x(t)減去均值后的分量，則 x(t) = ?x + x1(t) ? ? ? ?1110021 1 1 1021 1 1 10 0 0 0211( ) l im ( ) ( ) l im ( ) ( )1l im ( ) ( ) ( ) ( )1l im ( ) ( ) ( ) ( )0 0 ( )TTx x xTTTx x xTT T T Tx x xTx x xR x t x t d t x t x t d tTTx t x t x t x t d tTd t x t d t x t d t x t x t d tTR? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ?12 ()xR ?? 如果 x1(t)不含周期分量，則1lim ( ) 0xR? ??? ?，所以此時 2lim ( )xxR? ???? ?；如果 x(t)含周期分量，則 Rx(?)中必含有同頻率的周 期分量；如果 x(t)含 幅值為 x0的 簡諧周期分量，則 Rx(?)中必含有同頻率的簡諧周期分量，且該簡諧周期分量的幅值為 x02/2； 根據(jù)以上分析結論，便可由自相關函數(shù)圖中確定均值 （即常值分量） 和周期分量的周期及幅值 ，參見下面的 圖 。例如：如果 lim ( )xRC? ??? ?，則 x C? ?? 。 ? Rx(?) 0 T Rxy(?) 0 系 統(tǒng) x(t) y(t) 圖 525 題 54 圖 ? 56 已知信號的自相關函數(shù)為 Acos??，請確定該信號的均方值 ?x2和均方根值 xrms。 解： Rx(?)=Acos?? ?x2= Rx(0)=A 2rms xxA??? 57 應用巴塞伐爾定理求 2sinc ( )dtt????積分值。 解：令 x(t)=sinc(t)，其傅里葉變換為 11() 220fXf ? ???? ? ? ? ?? ??? 其 他 根據(jù) 巴塞伐爾定理 得 122 2 2 2212 11s in c ( ) d ( ) d ( ) d d 22t t x t t X f f f?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? 58 對三個正弦信號 x1(t)=cos2?t、 x2(t)=cos6?t、 x3(t)=cos10?t 進行采樣，采樣頻率 fs=4Hz， 求三個采樣 輸出序列，比較這三個結果，畫出 x1(t)、 x2(t)、 x3(t)的波形及采樣點位置 ， 并解釋頻率混疊現(xiàn)象。 解：采樣序列 x(n) ? ?1 1 111 0 0 0( ) ( ) ( ) c os 2 ( ) c os ( )24N N Ns s sn n n nnx n x t t nT nT t nT t?? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? 采樣輸出序列為： 1， 0， 1， 0， 1， 0， 1， 0， ?? 12 0 3( ) c o s ( )24Nnnnx n t? ???????????? 自相關函數(shù)的性質(zhì)圖示 ? Rx(?) 0 ?x2 ?x2+ ?x2 ?x2 ?x2 ? 0 Rx(?) 202x含有簡諧周期分量的 自相關函數(shù)的圖 采樣輸出序列為： 1， 0， 1， 0， 1， 0， 1， 0， ?? 12 0 5( ) c o s ( )24Nnnnx n t? ???????????? 采樣輸出序列為： 1， 0， 1， 0， 1， 0， 1， 0， ?? 從計算結果和波形圖上的采樣點可以看出，雖然三個信號頻率不同，但采樣后輸出的三個脈沖序列卻是相同的，這三個脈沖序列 反映不出三個信號的 頻率區(qū)別，造成了頻率混疊。原因就是對 x2(t)、 x3(t)來說，采樣頻率不滿足采樣定理。 x1(t) x2(t) x3(t) t t t