【正文】 = 其他k階原點矩：E(Xk) k=1,2,…。 k+s階混合原點矩：E(XkYs) k,s =1,2,…k階中心矩：E[(XEX)k] k=1,2,…。 k+s階混合階中心矩：E[(XEX)k(EEY)s] k,s=1,2,…協(xié)方差矩陣：C=(cij)n180。x 其中cij=E[(XiEXi)( XjEXj))]分布分布列和概率密度數(shù)學(xué)期望方差分布(0,1)P{x=0}=p, P{x=1}=1ppp(1p)二項分布B(n,p)b(k；n,p)= P{x=k}= Cpk(1p)nk (k=0,1,2,3,…,n)npnp(1p)泊松分布P(l)P{x=k}= el k=0,1,2…, l0ll均勻分布U[a,b]p(x)=幾何分布X~Ge(p)分布列為 P{X=k}= (1p)k1p (k=0,1,2,3,…) 超幾何分布X~ h(n,N,M)P{X=k}= k=0,1,2,3,…, min{M,n}指數(shù)分布exp(l)p(x)=正態(tài)分布N(m,s2)p(x)= e (∞x+∞)ms2二維正態(tài)分布N(m1,s12,m2,s22,r)p(x,y)= exp{[ + ]}Ex=m1Eh=m2Dx=s12Dh=s22第五章 大數(shù)定律及中心極限定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式：P{|xEx|179。e}163。 , P{|xEx|e}179。 1 例1：設(shè)隨機變量x1, x2, x3，獨立同分布，且xi服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，i=1,2,3，試根據(jù)切比雪夫不等式證明：P{0x1+x2+x36/l}≥2/3 .[證]：xi~exp(l), ExI=1/l。 令X=x1+x2+x3 ,則EX=E(x1+x2+x3)=3/l，DX=D(x1+x2+x3)=3/{0x1+x2+x36/l}= P{0X6/l}= P{3/lX3/l3/l}= P{|X3/l|3/l}179。1 = 1 = 1 = 例2：已知隨機變量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估計X落在(80,120)內(nèi)的概率。[解]：P{80X120}= P{20X10020}= P{|XE(X)|20}179。 1 = 1 = . 大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定理：設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，分別具有數(shù)學(xué)期望與方差，且方差一致有上界，則對任意給定正數(shù)e，恒有P{| – | e}= 1。伯努利大數(shù)定理：設(shè)nA是在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意給定正數(shù)e，恒有P{| p|e}= 1 (或 P{| p| 179。e}= 0)辛欽大數(shù)定理：設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXk=m，則對任意給定正數(shù)e，恒有P{| – m | e}= 1中心極限定理棣莫弗(Demoiver)拉普拉斯(Laplace)定理：設(shè)隨機變量Yn (n=1,2,3,…)服從參數(shù)為n, p的二項分布，即Yn~B(n,p)，則對任意實數(shù)x，恒有 P{163。x}= F(x) = 242。edt 174。242。edt這一定理說明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量Yn作標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機變量的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。中心極限定理(林德貝格勒維)：設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXk=m，和方差D(Xk)=s2185。0，隨機變量Yn=(nm)/s 的分布函數(shù)為 Fn(x)，則對任意實數(shù)x，恒有 Fn(x)= P{Yn163。x}= F(x) = 242。edt這一定理說明，的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量Yn=(nm)/s 的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。中心極限定理的用例1：某計算機系統(tǒng)由120個終端，每個終端在1小時內(nèi)平均有3分鐘使用打印機，假定各終端使用打印機與否是相互獨立的，求至少由10個終端同時使用打印機的概率。[解]：設(shè)X為同時使用打印機的終端的個數(shù)，則X~B(120,p)，這里p=3/60=。E(X)=np=120180。=6, D(X)=npq=6180。= 。則 P{X179。10}=1 – P{X10}=1 – P{X10}=1 – P{} 利用中心極限定理上式近似等于 =1F()=1 =. 例2：在拋硬幣的試驗中，至少拋多少次, 才能使正面出現(xiàn)的頻率落在(, )？[解]：設(shè)共進行次試驗，X為出現(xiàn)正面的次數(shù)，則X~B(N,p)，這里p=1/2=。E(X)=np=, D(X)=npq= 。所求的為 P{X/N}179。 將X標(biāo)準(zhǔn)化 P{X/N}= P{X} = P{}= P{}187。2F() – 1 179。222。F()179。, 查表F()=，179。 222。 N 179。， 即至少拋68次才能滿足要求。 例3：設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4，則根據(jù)切比雪夫不等式P{|X+Y|179。6}163。 . [解]: E(X+Y)=EX+EY= 2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2r = !+4+2()180。1180。2= 3,則根據(jù)切比雪夫不等式P{|X+Y|179。6}= P{|X+Y E(X+Y)|179。6}163。 = = 例4：生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，（F(2)=，其中F(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）[解]: 設(shè)Xi為第i箱重量(千克)，i=1,2,…,n。則EXi=EX=50，DXi=50。令Z=, 則EZ=50n, DZ=25n. 要求P{Z163。5000}179。,利用中心極限定理 P{Z163。5000}= P{163。}=F()179。因為F(2)= ，所以179。2 222。 25n25001n+250000163。0222。 n163。98. 每輛車最多可以裝98箱，. 例4：設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，Sn=X1+X2+…+Xn, 則根據(jù)列維林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1,X2,…,XnA、有相同的數(shù)學(xué)期望 B、有相同的方差C、服從同一指數(shù)分布 D、服從同一離散型分布[解]: 根據(jù)列維林德伯格中心極限定理的條件，X1,X2,…,Xn必須獨立同分布，所以不能選A, B。又必須具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，故D不一定能保證此條件，應(yīng)選C。例4：設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當(dāng)n→∞時，Yn=依概率收斂于 【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量X1,X2,…,Xn，當(dāng)方差一致有界時，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值： (n174?！??！窘狻? 這里X12,X22,…,Xn2，滿足大數(shù)定律的條件，且EXi2=DXi+(EXi)2=1/4+(1/2)2= 1/2，因此根據(jù)大數(shù)定律有Yn=依概率收斂于 = .1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)