【正文】 F(x)=F(x0)一些概率可用分布函數(shù)來(lái)表示P{ax≤b}=F(b)F(a),P{x=a}=F(a)F(a0), P{xa}=F(a0), P{xa}=1F(a), P{x≥a}=1F(a0), F(x)= , 則 P{x≤p/4} = ( ) (選C，因?yàn)镻{x≤p/4} =F(p/4)=sinp/4)A、0 B、1/2 C、/2 D、1(x)和F2(x)，為使F(x)=aF1(x) bF2(x)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 ( ) A、a=3/5,b=2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=3/5 D、a=2/5,b=2/5(選A，因?yàn)镕(+∞)=1= aF1(+∞) bF2(+∞)=ab ) x 的分布函數(shù)為 F(x) = A + B arctanx, ∞x∞求：(1) 常數(shù)A,B； (2) x 落入（1，1）的概率。第二章 隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)定義：F(x)=P{x≤x}, 165?？煽啃栽目煽啃訮(A)=r系統(tǒng)的可靠性： 串聯(lián)方式 P(A1∩A2∩…∩An)=rn并聯(lián)方式 P(A1∪A2∪…∪An)=1(1r)n , 貝努里概型指在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)；每次試驗(yàn)的結(jié)果有且僅有兩種A與；各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同P(A)=p, P()=1p。 P(B|A)=P(B)2. 事件A與事件B獨(dú)立219。1+180。[解]:設(shè)事件A0—箱中0件次品, A1—箱中1件次品，事件B—買(mǎi)下該箱。+7/20180。[解]:設(shè)Ak=選中第k級(jí)選手, k=1,2,3,4，B=進(jìn)入正式比賽。P(A)=P(B)=P(C)1/2, 且已知P(A∪B∪C)=9/16，則 P(A)= 。B時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B) 注意： AB = A = AAB = (A∪B)B概率公式條件概率公式：P(A|B)= 。0。0。a}。a,0163。若A204。例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去，問(wèn)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)的事件A1，最多為2個(gè)的事件A2的概率。指A1,A2,…,An兩兩互不相容，且Ai=W運(yùn)算法則交換律A∪B=B∪A A∩B=B∩A結(jié)合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)對(duì)偶律 =∩ =∪文氏圖 事件與集合論的對(duì)應(yīng)關(guān)系表記號(hào)概率論集合論W樣本空間，必然事件全集198。 B、AB=198。B C、A與B相互獨(dú)立 D、A與B互不相容事件之間的運(yùn)算事件的交AB或A∩B例1設(shè)事件A、B滿(mǎn)足A∩=198。事件之間的關(guān)系包含A204。樣本點(diǎn)w 隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果樣本空間W隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體隨機(jī)事件由樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集。必然事件每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。B相等A=B對(duì)立事件，也稱(chēng)A的逆事件互斥事件AB=198。由此推導(dǎo)不出 (D)A、A204。 C、A=198。不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一個(gè)子集A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集A204。[解]：每個(gè)球有4種放入法，3個(gè)球共有43種放入法，所以|W|=43=64。W，則P(A)= 例1把長(zhǎng)度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。y163。而隨機(jī)事件A：”三段構(gòu)成三角形”相應(yīng)的區(qū)域G應(yīng)滿(mǎn)足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立方程組，解得 0x , 0y , x+ya 。(2)規(guī)范性:P(W)=1或P(198。(2)規(guī)范性:P(W)=1。 (P(B)0) P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。[解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),令P(A)=x, 則3x –3x2=9/16 222。由已知P(A1)=1/5, P(A2)=2/5, P(A3)=7/20, P(A4)=1/20。+1/20180。由已知P(A0)=, P(A1)=,P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 180。7/20= 。事件A與事件獨(dú)立219。二項(xiàng)概率在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k。x+165。[解]：因?yàn)镕(+∞)=1, F(∞)=0，所以A + Bp/2=1，A Bp/2=0，解得 A=1/2, B=1/p . 即F(x) = + arctanx .x 落入（1，1）的概率為P{1x1}=F(1)F(1) = + arctan1 – ( + arctan(1))= + = 離散型隨機(jī)變量定義：隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)孤立的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡(jiǎn)稱(chēng)為分布列： 其中每一個(gè) pi≥0 且 =1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。在伯努利試驗(yàn)序列中，記每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，如果X為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X的可能取值為1,2,…,稱(chēng)X服從幾何分布。求耗用子彈數(shù)x的分布列。 p(x)dx=F(+∞)=1連續(xù)型型隨機(jī)變量的性質(zhì)：；2 F162。x163。x+Dx}187。連續(xù)型例題例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則P{X=EX2}= .[解]：因?yàn)閄 服從參數(shù)為1的泊松分布，所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2， 于是 P{X=EX2}=P{X=2}=e –1 例2設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。 l=1/5, 每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y=min{X,2},易見(jiàn)當(dāng)y0 時(shí)，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)y179。y}=P{X163。(x)185。S}，其中S={x|g(x)163。y}= P{3X+2163。(y)|= 則Y=g(X)的密度函數(shù)為fY(y)== = 例4設(shè)X在區(qū)間[0,2]上服從均勻分布，試求Y=X3的概率密度。y}= 0，當(dāng)0y8時(shí), FY(y)=P{Y163。dx，fY(y)= F162。y}= P{X163。x,h163。 F(∞,+∞)= F(x,∞)= F(∞,y)=0。y2}=F(x2,y2) F(x2,y1) F(x1,y2)+F(x1,y1)二維隨機(jī)向量(x,h)的邊緣分布函數(shù)Fx(x)= P{x163。242。p(x,y)dxdy=1 , =p(x,y)利用密度函數(shù)求概率 P{(x,h)206。1/2 | X=0}。}=242。例1:設(shè) (X,Y) 服從區(qū)域D：｛(x, y)：a≤x≤b, c≤y≤d｝上的均勻分布，求（1）(X,Y) 的聯(lián)合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的邊際概率密度 pX(x) , pY(y) 。p(x,y)dx=例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)。1}。1}，因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以P{X163。1}=180。dx= ） 例3:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y) = 求：(1) (X,Y) 的邊緣概率密度f(wàn)X(x), fY(y)；(2) Z=2XY的概率密度 fZ(z) 。f(x,y)dx242。1dy =1242。1}。242。1}===242。242。y2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= 242。(u2+)dudv=+。242。 當(dāng)x179。p(u,v)dudv=242。1, y179。幾個(gè)充要條件：連續(xù)型隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立219。X與Y相互獨(dú)立222。 例2：設(shè)A, B是二隨機(jī)事件；隨機(jī)變量 X= Y=試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。x163。同理當(dāng)0163。x163。 fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨(dú)立。fX(x)fY(zx)dx=242。[解]：