【正文】 .. . . ..《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)大綱第一章 隨機(jī)事件與概率基本概念隨機(jī)試驗(yàn)E指試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性（每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，且事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的一切結(jié)果，但不能預(yù)知每次試驗(yàn)的確切結(jié)果。樣本點(diǎn)w 隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果樣本空間W隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體隨機(jī)事件由樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集。必然事件每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。 不可能事件198。每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件。事件之間的關(guān)系包含A204。B相等A=B對(duì)立事件，也稱A的逆事件互斥事件AB=198。也稱不相容事件A，B相互獨(dú)立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互為對(duì)立事件等價(jià)于（　D?。〢、A，B互不相容 B、A，B相互獨(dú)立 C、A∪B＝Ω D、A，B構(gòu)成對(duì)樣本空間的一個(gè)剖分例2設(shè)P(A)=0，B為任一事件，則（ C ）A、A=198。 B、A204。B C、A與B相互獨(dú)立 D、A與B互不相容事件之間的運(yùn)算事件的交AB或A∩B例1設(shè)事件A、B滿足A∩=198。，由此推導(dǎo)不出 (D)A、A204。B B、201。 C、A∪B=B D、A∩B=B例2若事件B與A滿足 B – A=B，則一定有 (B)A、A=198。 B、AB=198。 C、A=198。 D、B=事件的并A∪B事件的差A(yù)B 注意： AB = A = AAB = (A∪B)BA1,A2,…,An構(gòu)成W的一個(gè)完備事件組(或分斥)190。190。指A1,A2,…,An兩兩互不相容，且Ai=W運(yùn)算法則交換律A∪B=B∪A A∩B=B∩A結(jié)合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)對(duì)偶律 =∩ =∪文氏圖 事件與集合論的對(duì)應(yīng)關(guān)系表記號(hào)概率論集合論W樣本空間，必然事件全集198。不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一個(gè)子集A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集A204。B事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等A∪B事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集AB事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集AB事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集AB=198。事件A與事件B互不相容（互斥）A與B沒有相同的元素古典概型古典概型的前提是W={w1, w2, w3,…, wn,}, n為有限正整數(shù)，且每個(gè)樣本點(diǎn)wi出現(xiàn)的可能性相等。例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去，問杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)的事件A1，最多為2個(gè)的事件A2的概率。[解]：每個(gè)球有4種放入法，3個(gè)球共有43種放入法，所以|W|=43=64。(1)當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中取3個(gè)杯子，每個(gè)杯子恰有一個(gè)球，所以|A1|= C3！=24；則P(A1)=24/64 =3/8. (2) 當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為2個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中有1個(gè)杯子恰有2個(gè)球(CC)，另有一個(gè)杯子恰有1個(gè)球(CC)，所以|A2|= CCCC=36；則P(A2)=36/64 =9/16 例2從1,2,…,9，這九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，求：(1)三數(shù)之和為10的概率p1；(2)三數(shù)之積為21的倍數(shù)的概率p2。[解]：p1==, p2= = P(A)= =幾何概型前提是如果在某一區(qū)域W任取一點(diǎn)，而所取的點(diǎn)落在W中任意兩個(gè)度量相等的子區(qū)域的可能性是一樣的。若A204。W，則P(A)= 例1把長度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。[解]：設(shè)折得的三段長度分別為x,y和axy，那么，樣本空間，S={(x,y)|0163。x163。a,0163。y163。a,0163。axy163。a}。而隨機(jī)事件A：”三段構(gòu)成三角形”相應(yīng)的區(qū)域G應(yīng)滿足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立方程組，解得 0x , 0y , x+ya 。即G={(x,y)| 0x , 0y , x+ya }由圖中計(jì)算面積之比，可得到相應(yīng)的幾何概率 P(A)= 1/4。古典概型基本性質(zhì)(1)非負(fù)性，對(duì)于任一個(gè)事件A，有P(A)179。0。(2)規(guī)范性:P(W)=1或P(198。)=0。(3)有限可加性：對(duì)兩兩互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)概率的公理化定義要求函數(shù)P(A)滿足以下公理：(1)非負(fù)性，有P(A)179。0。(2)規(guī)范性:P(W)=1。(3)可列可加性：對(duì)兩兩互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)概率公式求逆公式 P()=1 P(A)加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)求差公式：P(AB)=P(A)P(AB)。 當(dāng)A201。B時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B) 注意： AB = A = AAB = (A∪B)B概率公式條件概率公式：P(A|B)= 。 (P(B)0) P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)0)全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,…,An構(gòu)成W的一個(gè)分斥。貝葉斯公式：P(Ak|B)= = 應(yīng)用題例1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三個(gè)事件A, B和C滿足條件：ABC=198。，P(A)=P(B)=P(C)1/2, 且已知P(A∪B∪C)=9/16，則 P(A)= 。[解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),令P(A)=x, 則3x –3x2=9/16 222。 16x216x+3=0 222。 x=1/4 或3/4(舍去) 則P(A)=1/4 例2某射擊隊(duì)共有20個(gè)射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手1人，一、二、三、求任選一名選手能進(jìn)入正式比賽的概率。[解]:設(shè)Ak=選中第k級(jí)選手, k=1,2,3,4，B=進(jìn)入正式比賽。由已知P(A1)=1/5, P(A2)=2/5, P(A3)=7/20, P(A4)=1/20。 P(B|A1)=, P(B|A2)=, P(B|A3)=, P(B|A4)=. P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)=1/5180。+2/5180。+7/20180。+1/20180。= 例3某物品成箱出售，每箱20件，假設(shè)各箱中含0、一顧客在購買時(shí)，他可以開箱，從箱中任取三件檢查，當(dāng)這三件都是合格品時(shí)，顧客才買下該箱物品，否則退貨。試求：（1）顧客買下該箱的概率 a ；（2）顧客買下該箱物品，問該箱確無次品的概率 b 。[解]:設(shè)事件A0—箱中0件次品, A1—箱中1件次品，事件B—買下該箱。由已知P(A0)=, P(A1)=,P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 180。 18/19 180。 17/18=17/20,(1) a=P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=180。1+180。7/20= 。(2) b=P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=事件的獨(dú)立性如果事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事