【正文】 道所在的平面，明確圓心和半徑是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，同時不可忽視對解題結(jié)果進(jìn)行動態(tài)分析，明確各變量之間的制約關(guān)系、變化趨勢以及結(jié)果涉及物理量的決定因素?！纠}】如圖所示，在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤盤面上，離軸心r=20cm處放置一小物塊A，其質(zhì)量為m＝2kg，A與盤面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的k倍（k＝），試求ωmO⑴當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω＝2rad/s時，物塊與圓盤間的摩擦力大小多大？方向如何？⑵欲使A與盤面間不發(fā)生相對滑動，則圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度多大？（取g=10m/s2）★解析：⑴物體隨圓盤一起繞軸線轉(zhuǎn)動，需要向心力，而豎直方向物體受到的重力mg、支持力N不可能提供向心力，向心力只能來源于圓盤對物體的靜摩擦力．根據(jù)牛頓第二定律可求出物體受到的靜摩擦力的大?。篺=F向=mω2r=． ⑵欲使物快與盤不發(fā)生相對滑動，做圓周運(yùn)動的向心力不大于最大靜摩擦力所以： 解得點(diǎn)評：物體僅在摩擦力作用下做圓周運(yùn)動，如果是勻速圓周運(yùn)動摩擦力完全提供向心力與速度垂直，指向圓心；若是加速轉(zhuǎn)動，摩擦力不再指向圓心，摩擦力垂直速度的分力提供向心力，沿速度方向的分力使物體加速。如果做圓周運(yùn)動的向心力大于最大靜摩擦力時就會滑動，做離心運(yùn)動。【例6】如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=，細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=，．若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍．（取g=10m/s2）ωAO★解析：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止——具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度．A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成．角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運(yùn)動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O．對于B，T=mg對于A，角速度取最大值時： 解得：rad/s 角速度取最小值時： 解得：rad/s所以 rad/s rad/s【例題】如圖所示，質(zhì)量相等的小球A、B分別固定在輕桿OB的中點(diǎn)及端點(diǎn)，當(dāng)桿在光滑水平面上繞O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動時，求桿的OA段及AB段對球的拉力之比？ABO★解析：A、B小球受力如圖所示，在豎直方向上A與B處于平衡狀態(tài)．在水平方向上根據(jù)勻速圓周運(yùn)動規(guī)律：TATB=mω2OA，TB=mω2OB，OB=2OATATBmgONAmgNBTB解之得：TA∶TB = 3∶2[點(diǎn)評]本題是連接體問題，求解時必須一個一個地研究，對每一個物體列方程，用兩個物體物理量間的聯(lián)系再列方程，聯(lián)立方程求解．【例題】如圖所示，質(zhì)量為m=、B兩根細(xì)繩相連，兩繩固定在細(xì)桿的A、B兩點(diǎn)，其中A繩長LA=2m，當(dāng)兩繩都拉直時，A、B兩繩和細(xì)桿的夾角θ1=30176。，θ2=45176。，g=10m/s2．求：ωAB300450C（1）當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)動的角速度ω在什么范圍內(nèi)，A、B兩繩始終張緊？（2）當(dāng)ω=3rad/s時，A、B兩繩的拉力分別為多大？★解析：（1）當(dāng)B繩恰好拉直，但TB=0時，細(xì)桿的轉(zhuǎn)動角速度為ω1，有： TAcos30176。=mg解得：ω1=2．4rad/s當(dāng)A繩恰好拉直，但TA=0時，細(xì)桿的轉(zhuǎn)動角速度為ω2，有：解得：ω2=（rad/s） rad/s≤ω≤ rad/s（2）當(dāng)ω=3 rad/s時，兩繩都緊． TA=，　 TB=[點(diǎn)評]分析兩個極限（臨界）狀態(tài)來確定變化范圍，是求解“范圍”題目的基本思路和方法．類型題： 豎直面上圓周運(yùn)動 豎直平面內(nèi)：（1）、如圖所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動過最高點(diǎn)的情況：FG繩 FG①臨界條件：小球達(dá)最高點(diǎn)時繩子的拉力（或軌道的彈力）剛好等于零，小球的重力提供其做圓周運(yùn)動的向心力，即 （是小球通過最高點(diǎn)的最小速度，即臨界速度）。②能過最高點(diǎn)的條件：。 此時小球?qū)壍烙袎毫蚶K對小球有拉力③不能過最高點(diǎn)的條件：（實(shí)際上小球還沒有到最高點(diǎn)就已脫離了軌道）。（2）圖所示，有物體支持的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動過最高點(diǎn)的情況： GF①臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能達(dá)到最高點(diǎn)的臨界速度。②圖（a）所示的小球過最高點(diǎn)時，輕桿對小球的彈力情況是：當(dāng)v=0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；當(dāng)0v時，桿對小球有豎直向上的支持力，大小隨速度的增大而減小；其取值范圍是mgN0。當(dāng)時，N=0；當(dāng)v時，桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大。③圖（b）所示的小球過最高點(diǎn)時，光滑硬管對小球的彈力情況是：當(dāng)v=0時，管的下側(cè)內(nèi)壁對小球有豎直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。當(dāng)0v時，管的下側(cè)內(nèi)壁對小球有豎直向上的支持力，大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是mgN0。當(dāng)v=時，N=0。當(dāng)v時，管的上側(cè)內(nèi)壁對小球有豎直向下指向圓心的壓力，其大小隨速度的增大而增大。④圖(c)的球沿球面運(yùn)動，軌道對小球只能支撐，而不能產(chǎn)生拉力。在最高點(diǎn)的v臨界=。當(dāng)v=時，小球?qū)⒚撾x軌道做平拋運(yùn)動注意：如果小球帶電，且空間存在電場或磁場時，臨界條件應(yīng)是小球所受重力、電場力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時臨界速度 。要具體問題具體分析，但分析方法是相同的【例題】一小球用輕繩懸掛于某固定點(diǎn)。現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始釋放小球?？紤]小球由靜止開始運(yùn)動到最低位置的過程（AC）（A）小球在水平方向的速度逐漸增大（B）小球在豎直方向的速度逐漸增大（C）到達(dá)最低位置時小球線速度最大（D）到達(dá)最低位置時繩中的拉力等于小球的重力【例題】如圖，細(xì)桿的一端與一小球相連，可繞過O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動現(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對球的作用力可能是（AB）A．a(chǎn)處為拉力，b處為拉力B．a(chǎn)處為拉力，b處為推力C．a(chǎn)處為推力，b處為拉力D．a(chǎn)處為推力，b處為推力【例題】如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進(jìn)入管內(nèi)，A通過最高點(diǎn)C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點(diǎn)C時，．求A、B兩球落地點(diǎn)間的距離．COBA★解析：兩個小球在最高點(diǎn)時，受重力和管壁的作用力，這兩個力的合力作為向心力，離開軌道后兩球均做平拋運(yùn)動，A、B兩球落地點(diǎn)間的距離等于它們平拋運(yùn)動的水平位移之差．對A球：3mg+mg=m vA=對B球：mg－=m vB=sA=vAt=vA=4RsB=vBt=vB=R（2分）∴sA－sB=3R[點(diǎn)評]豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動往往與其它知識點(diǎn)結(jié)合起來進(jìn)行考查，本題是與平拋運(yùn)動相結(jié)合，解這類題時一定要先分析出物體的運(yùn)動模型，將它轉(zhuǎn)化成若干個比較熟悉的問題，一個一個問題求解，從而使難題轉(zhuǎn)化為基本題．本題中還要注意豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動在最高點(diǎn)的兩個模型：輕桿模型和輕繩模型，它們的區(qū)別在于在最高點(diǎn)時提供的力有所不同，輕桿可提供拉力和支持力，而輕繩只能提供拉力；本題屬于輕桿模型．【例題】小球A用不可伸長的細(xì)繩懸于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子B，OB=d，初始時小球A與O同水平面無初速度釋放，繩長為L，為使小球能繞B點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動，如圖所示。試求d的取值范圍。DdLOmBCA★解析：為使小球能繞B點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動，則小球在D對繩的拉力F1應(yīng)該大于或等于零，即有：根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得由以上兩式可求得：答案：【例題】[]如圖所示，一固定在豎直平面內(nèi)的光滑半圓形軌道ABC，其半徑R＝，軌道在C處與水平地面相切。在C放一小物塊，給它一水平向左的初速度v0＝5m/s，結(jié)果它沿CBA運(yùn)動，通過A點(diǎn)，最后落在水平地面上的D點(diǎn)，求C、D間的距離s。取重力加速度g=10m/s2。★解析：設(shè)小物塊的質(zhì)量為m，過A處時的速度為v，由A到D經(jīng)歷的時間為t，有　　　　 ①2R＝gt2　　　②s＝vt?、塾散佗冖凼讲⒋霐?shù)據(jù)得s＝1m　④【例題】AB是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，在下端B與水平直軌相切，如圖所示。一小球自A點(diǎn)起由靜止開始沿軌道下滑。已知圓軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)各處摩擦。求⑴小球運(yùn)動到B點(diǎn)時的動能；⑵小球下滑到距水平軌道的高度為R/2時速度的大小和方向；⑶小球經(jīng)過圓弧軌道的B點(diǎn)和水平軌道的C點(diǎn)時，所受軌道支持力NB、NC各是多大？★解析：⑴EK=mgR ⑵v=沿圓弧切線向下，與豎直成30186。 ⑶NB=3mg NC=mg【例題】如圖所示，半徑R=，半圓環(huán)與粗糙的水平地面相切于圓環(huán)的端點(diǎn)A。一質(zhì)量m=，以初速度v0=，沖上豎直半圓環(huán)，最后小球落在C點(diǎn)。求A、C間的距離（取重力加速度g=10m/s2）。ABCv0R【答案】【例題】游樂場的過山車的運(yùn)動過程可以抽象為圖所示模型?；⌒诬壍老露伺c圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端A點(diǎn)靜止滑下，進(jìn)入圓軌道后沿圓軌道運(yùn)動，最后離開。試分析A點(diǎn)離地面的高度h至少要多大，小球才可以順利通過圓軌道最高點(diǎn)（已知圓軌道的半徑為R，不考慮摩擦等阻力）。★解析：由機(jī)械能守恒定律得；mgh＝mg2R＋ ①在圓軌道最高處：mg＝m　?、趘＝v0③h＝R ④【例題】如圖所示，位于豎直平面上的1/4圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，最后落在水平地面上C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力，求：(1)小球運(yùn)動到軌道上的B點(diǎn)時，對軌道的壓力多大?(2)小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離s是多少?HAoRBCs★解析：(1)小球由A→B過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有： mgR＝ 小球在B點(diǎn)時，根據(jù)向心力公式有； (2)小球由B→C過程，水平方向有：s=vBt豎直方向有： 解得【例題】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2．它們沿環(huán)形圓管順時針運(yùn)動，經(jīng)過最低點(diǎn)時的速度都為v0．設(shè)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，B球恰好運(yùn)動到最高點(diǎn)，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么mmR與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．BA★解析：這是一道綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動定律、圓周運(yùn)動、機(jī)械能守恒定律的高考題．A球通過圓管最低點(diǎn)時，圓管對球的壓力豎直向上，所以球?qū)A管的壓力豎直向下．若要此時兩球作用于圓管的合力為零，B球?qū)A管的壓力一定是豎直向上的，所以圓管對B球的壓力一定是豎直向下的．由機(jī)械能守恒定律，B球通過圓管最高點(diǎn)時的速度v滿足方程根據(jù)牛頓運(yùn)動定律對于A球，對于B球，又 N1=N2解得 【例題】如圖所示，游樂列車由許多節(jié)車廂組成。列車全長為L，圓形軌道半徑為R，（R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的高度h和長度l，但L2πR）。已知列車的車輪是卡在導(dǎo)軌上的光滑槽中只能使列車沿著圓周運(yùn)動而不能脫軌。試問：列車在水平軌道上應(yīng)具有多大初速度V0，才能使列車通過圓形軌道？V0R★解析：列車開上圓軌道時速度開始減慢，當(dāng)整個圓軌道上都擠滿了一節(jié)節(jié)車廂時，列車速度達(dá)到最小值V，此最小速度一直保持到最后一節(jié)車廂進(jìn)入圓軌道，然后列車開始加速。由于軌道光滑，列車機(jī)械能守恒，設(shè)單位長列車的質(zhì)量為λ，則有：要使列車能通過圓形軌道，則必有V0，解得【例題】如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動。要求物塊能通過圓形最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。hR★解析：≤h≤5R【例題】（重慶市2008屆直屬重點(diǎn)中學(xué)第2次聯(lián)考）如圖所示，質(zhì)量為m的小球由光滑斜軌道自由下滑后，接著又在一個與斜軌道相連的豎直的光華圓環(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動，阻力不計(jì)，求⑴小球至少應(yīng)從多高的地方滑下，才能達(dá)到圓環(huán)頂端而不離開圓環(huán)⑵小球到達(dá)圓環(huán)底端時，作用于環(huán)底的壓力★解析：⑴小球在下滑的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)地面為零勢能面，小球下落的高度為h，小球能到達(dá)環(huán)頂端市的速度最小為v2。小球到達(dá)環(huán)頂端而不離開的臨界條件為重力恰好全部提供向心力 即小球在開始的機(jī)械能為E1=mgh小球在環(huán)頂端的機(jī)械能為根據(jù)機(jī)械能守恒 E1=E2整理得：h=。⑵當(dāng)環(huán)從h=，由機(jī)械能守恒得 即小球在底端受到重力mg和支持力N，小球作圓周運(yùn)動所需要的向心力由支持力和重力提供，即整理得：N=6mg圓環(huán)對小球的支持力與小球?qū)A環(huán)的壓力是作用力反作用力，所以小球作用于圓環(huán)的壓力為6mg類型題： 圓周運(yùn)動中的多解問題 由于圓周運(yùn)動的周期性，往往會導(dǎo)致一個問題的多解【例題】如圖所示，某圓筒繞中心軸線沿順時針方向做勻速圓周運(yùn)動，筒壁上有兩個位于同一圓平面內(nèi)的小孔A、B，A、B與軸的垂直連線之間的夾角為θ，一質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)量不計(jì)）在某時刻沿A孔所在直徑方向勻速射入圓筒，恰從B孔穿出，若質(zhì)點(diǎn)勻速運(yùn)動的速度為v，圓筒半徑為R．則，圓筒轉(zhuǎn)動的角速度為____________?！锝馕觯河捎趫A周運(yùn)動的周期性，圓筒轉(zhuǎn)過的角度可能為（n＝１，2，3，…）。答案：（n＝１，2，3，…）【例題】如圖為測定子彈速度的裝置，兩個薄圓盤分別裝在一個迅速轉(zhuǎn)動的軸上，兩盤平行．若圓盤以轉(zhuǎn)速3600r／min旋轉(zhuǎn)，子彈以垂直圓盤方向射來，先打穿第一個圓盤，再打穿第二個圓盤，測得兩盤相距1m，兩盤上被子彈穿過的半徑夾角15176。，則子彈的速度的大小為_____________?！敬鸢浮俊纠}】如圖所示，半徑為R的圓