【正文】 的問題。數(shù)學(xué)歷史的啟示（下）龔 昇　　四、幾何與三角　　人類在很早的時(shí)候，就有各種計(jì)算面積與體積的公式或經(jīng)驗(yàn)，也得到了不少幾何定理， 例如著名的畢達(dá)哥拉斯定理等。但在古代，幾何的代表作則是歐幾里得的《原本》。現(xiàn)在中 學(xué)里學(xué)習(xí)的“平面幾何”與“立體幾何”的基本內(nèi)容，是2300年前《原本》已有的內(nèi)容。從 《原本》問世以來，幾何領(lǐng)域一直是它的一統(tǒng)天下，這種現(xiàn)象持續(xù)了1000多年。“真正的進(jìn) 展”是由笛卡兒與費(fèi)馬建立起的“解析幾何”，其基本思想是在平面上引進(jìn)“坐標(biāo)”，使得 平面上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，于是幾何問題就可以用代數(shù)形式 表達(dá)，而幾何問題的求解就歸化為代數(shù)問題的求解了。笛卡兒甚至還提出過一個(gè)大膽的計(jì)劃 ，即：　　任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解。　　“解析幾何”的產(chǎn)生可以理解為變量數(shù)學(xué)的開始，它為微積分的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。由于 引進(jìn)了坐標(biāo)，幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題，于是可以用一些代數(shù)的工具與方法來處理，從而使 幾何問題得解，這種思想與方法，使整個(gè)數(shù)學(xué)面目為之一新?！　〖热弧敖馕鰩缀巍笔恰皵?shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”，“解析幾何”比起“平面幾何”與“ 立體幾何”都來得高級(jí)，那么“平面幾何”與“立體幾何”是不是就不要學(xué)習(xí)了，直接學(xué)習(xí) “解析幾何”就可以了呢？從教育學(xué)的觀點(diǎn)，這顯然是不對(duì)的。我們所說的“把陳舊的、復(fù) 雜的東西拋到一邊”，是指當(dāng)“解析幾何”產(chǎn)生之后，那種用原來的方法來創(chuàng)造與發(fā)明幾何 定理的時(shí)代已經(jīng)過去了，雖然這種做法延續(xù)了1000多年，但這并不意味著可以將“平面幾何 ”與“立體幾何”“拋到一邊”。在中學(xué)必須學(xué)習(xí)“平面幾何”與“立體幾何”至少有以下 幾點(diǎn)理由：（1）可以認(rèn)識(shí)人們生活的三維歐氏空間中一些最基本的幾何關(guān)系與性質(zhì)；（2） 不學(xué)習(xí)“平面幾何”與“立體幾何”，就無法學(xué)習(xí)“解析幾何”與“微積分”；（3）“平 面幾何”與“立體幾何”是訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)格邏輯思維的最好的方法之一，這種訓(xùn)練比上一門“ 形式邏輯”課更為有效，它對(duì)學(xué)生終生有用。當(dāng)然中學(xué)“平面幾何”與“立體幾何”應(yīng)講授 多少內(nèi)容是一個(gè)值得探討的問題，完全取消是絕對(duì)錯(cuò)誤的，但做過多的幾何難題似乎也是不 必要的。　　古典幾何的另一個(gè)“真正的進(jìn)展”，則是“非歐幾何”的產(chǎn)生，這是數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代 貢獻(xiàn)?！　∪缜八?，歐幾里得的《原本》從誕生直到18世紀(jì)末，在幾何領(lǐng)域，它是一統(tǒng)天下，幾 乎成為“科學(xué)圣經(jīng)”。但在同時(shí)，人們多認(rèn)為五條公設(shè)中的前四條簡(jiǎn)潔、明了，無可非議， 而對(duì)第五公設(shè)，即“若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線 無限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交”，則感到它不像一條公設(shè)，而更像 一條定理，即可以從其他公設(shè)、公理及定理中推導(dǎo)出來?！　?000多年來，不知有多少數(shù)學(xué)家致力于用其他的公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)，甚 至有人為之付出了整個(gè)一生，但還是以失敗告終。直到19世紀(jì)，由高斯、波爾約及羅巴切夫 斯基創(chuàng)立了“非歐幾何學(xué)”，才結(jié)束了這件公案?！胺菤W幾何學(xué)”一反過去人們?cè)噲D從其他 公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)的做法，認(rèn)為第五公設(shè)不可能從其他的公設(shè)、公理及定理 中推導(dǎo)出來，而發(fā)展起第五公設(shè)不成立的新的幾何學(xué)。高斯稱之為“非歐幾里得幾何學(xué)”， 簡(jiǎn)稱“非歐幾何學(xué)”。1854年黎曼在“非歐幾何學(xué)”的思想基礎(chǔ)上建立了更為廣泛的幾何學(xué) ，即“黎曼幾何學(xué)”，開創(chuàng)了幾何學(xué)甚至整個(gè)數(shù)學(xué)的新紀(jì)元，而其發(fā)展更是一日千里。眾所 周知，愛因斯坦的相對(duì)論正是以“黎曼幾何”作為其數(shù)學(xué)工具的。　　經(jīng)歷了2000多年的思索與努力，“非歐幾何”的產(chǎn)生的確是“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展” ，把已有的理論——?dú)W幾里得幾何學(xué)，從更高、更深的角度去理解，而把那些陳舊的思想— —試圖用其他公設(shè)、公理及定理來證明第五公設(shè)的一切做法“拋到一邊”?！　≡谥袑W(xué)數(shù)學(xué)課程中，還有一門叫“三角”。這門課程，主要討論六個(gè)三角函數(shù)的相互關(guān) 系及計(jì)算。人類對(duì)三角學(xué)的研究可以追溯到公元1～2世紀(jì)。當(dāng)時(shí)的天文學(xué)研究，已經(jīng)為三角 學(xué)奠定了基礎(chǔ)，例如已經(jīng)有了類似于正弦及正弦的表等。經(jīng)過了幾百年的努力，到9～10世 紀(jì)，三角函數(shù)的研究已系統(tǒng)化，到了13世紀(jì)，球面三角也基本完成。因此，現(xiàn)在中學(xué)學(xué)習(xí)的 “三角學(xué)”，其內(nèi)容基本上在千年前就形成了?！　∪藗儚母?、更深的角度來認(rèn)識(shí)“三角學(xué)”，是由于復(fù)數(shù)的引入。人們對(duì)復(fù)數(shù)的思考由 來已久，例如對(duì)方程x2＋1=0的根的思考，但人們認(rèn)真地將虛數(shù)=i引入數(shù)學(xué)則是16世紀(jì)的事 了。之后歐拉建立了著名的歐拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角學(xué)中的問題都可以化 歸為復(fù)數(shù)來討論，于是三角學(xué)中一大批問題得以輕松地解決。有了復(fù)數(shù)與歐拉公式，使人們 對(duì)三角學(xué)的已有理論的理解更為深刻，并可以把一些原始的、復(fù)雜的處理三角學(xué)的方法與工 具“拋到一邊”。　　我還得重復(fù)一遍，盡管復(fù)數(shù)與歐拉公式比三角學(xué)來得“高級(jí)”，但并不意味著中學(xué)課程 可以不學(xué)習(xí)三角學(xué)。事實(shí)上，三角學(xué)是一門實(shí)用的數(shù)學(xué)分支，在很多其他學(xué)科中都有用?！　∥?、微積分　　“微積分”實(shí)在是太重要了，不論你將來從事什么工作，理、工、醫(yī)、農(nóng)、文、商等等 ，都得學(xué)“微積分”。可以這樣說，中學(xué)課程中學(xué)習(xí)的各門數(shù)學(xué)，從某種意義上講正是為學(xué) 習(xí)微積分作準(zhǔn)備的，一切大學(xué)的數(shù)學(xué)課程也都是以微積分為基礎(chǔ)的?！　∥⒎e分是從四個(gè)方面的問題來的：（1）求曲線的長(zhǎng)度、區(qū)域的面積、物體的體積等； （2）求曲線的切線；（3）求運(yùn)動(dòng)物體的速度；（4）求一些問題的極大、極小值。　　當(dāng)然，這些問題在一些簡(jiǎn)單的情形下，可以不用微積分，但當(dāng)情形略為復(fù)雜一些時(shí)，則 非用微積分不可。而反過來，微積分的誕生，不僅能解決上述這些問題，而且其用處大大地 超出了這些問題。　　微積分的一些原始的思想，可以追溯到很遠(yuǎn)。例如，公元3世紀(jì)誕生的劉徽的“割圓術(shù) ”就孕育著一些樸素的微積分的想法。但是，微積分的誕生是在牛頓及萊布尼茨建立了“微 積分的基本定理”，即指出微分與積分互為逆運(yùn)算之后。計(jì)算積分不再要像以前那樣想一些 特殊的辦法進(jìn)行逐個(gè)處理，而可以統(tǒng)一處理了，從而使微積分不再成為幾何學(xué)的一部分，而 成為一門獨(dú)立的學(xué)科?！　∥⒎e分的建立不僅使得數(shù)學(xué)的面貌徹底改變，而且將微積分應(yīng)用到其他學(xué)科，使整個(gè)自 然科學(xué)也徹底地改變了面貌?！　∨ｎD與萊布尼茨的微積分基本定理的建立，促使了微積分的產(chǎn)生，的確是“數(shù)學(xué)中一步 真正的進(jìn)展”，的確是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)”。這不僅有助于我們對(duì)已有 理論的理解，如使我們對(duì)前面提到的四個(gè)問題原有的理解，更為清楚與深刻，而且的確可以 把以往“陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊”，例如，對(duì)個(gè)別曲線用一些特殊的方法來計(jì)算其面 積與切線的方法都可以拋棄了?！　×?、幾點(diǎn)啟示　　（1）一門學(xué)科的產(chǎn)生往往有多方面的因素，我在這里只說了一個(gè)因素，而這個(gè)因素在 我看來是主要因素之一。（2）一門學(xué)科對(duì)其他學(xué)科的影響也是多方面的，例如，中學(xué)的“ 代數(shù)”課程，從方程式的角度導(dǎo)致了“線性代數(shù)”及“抽象代數(shù)”的產(chǎn)生，但從排列組合的 角度導(dǎo)致了組合數(shù)學(xué)的產(chǎn)生；又例如，“非歐幾何”的產(chǎn)生，引發(fā)了“幾何基礎(chǔ)”的深入討 論等?！　纳厦娴恼撌鲋?，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”的“更有力的工具和 更簡(jiǎn)單的方法”往往是由于看來是十分簡(jiǎn)單明了的想法。如從算術(shù)走向代數(shù)，關(guān)鍵的一步是 “數(shù)字符號(hào)化”，即將數(shù)字用a,b,c，…x,y,z來表示。但正是這簡(jiǎn)單的一步，引發(fā)了“數(shù)學(xué) 中一步真正的進(jìn)展”，而人們認(rèn)識(shí)到“數(shù)字符號(hào)化”，卻花了上千年的時(shí)間。同樣，由“平 面幾何”“立體幾何”走向“解析幾何”，關(guān)鍵的一步是“引進(jìn)坐標(biāo)”，即將平面的點(diǎn)與數(shù) 一一對(duì)應(yīng)?，F(xiàn)在看來這一步也是十分自然的，人們是樂于接受的，但正是這樣看似簡(jiǎn)單的一 步，引發(fā)了“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”。對(duì)于其他的情形，也是一樣，不在此一一重復(fù)了?！　∽屑?xì)想想，“數(shù)字符號(hào)化”比算術(shù)中的一道難題可能更易于理解，“數(shù)字符號(hào)化”之后 ，解算術(shù)難題則輕而易舉。同樣“引入坐標(biāo)”，比“平面幾何”中的一道難題的解可能更易 于理解，“引入坐標(biāo)”之后，解幾何難題則比較容易了。當(dāng)然，“代數(shù)”比“算術(shù)”來得“ 高級(jí)”，“解析幾何”比“平面幾何”來得“高級(jí)”，可“高級(jí)”的反而容易，“低級(jí)”的 反而難，這就是“高”“低”與“難”“易”之間的辯證關(guān)系。而更令人深思的是：重要的 是要有創(chuàng)新的思想，“數(shù)字符號(hào)化”“引入坐標(biāo)”這些看似簡(jiǎn)單的想法，卻是創(chuàng)新思想。有 了這種創(chuàng)新思想，才會(huì)有“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”，否則即使是解決“算術(shù)”難題的能人 ，是做“平面幾何”難題的高手，如果無這種創(chuàng)新思想，那么難題做得再多，也不可能引發(fā) “數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”。當(dāng)然，這種創(chuàng)新思想來之不易，往往要經(jīng)過幾百年乃至千年的 積累才能形成。經(jīng)過了長(zhǎng)期的積累，走向成熟，就會(huì)有數(shù)學(xué)大師總結(jié)與提升前人的成果，進(jìn) 而提出這種創(chuàng)新的思想，這就是數(shù)學(xué)的歷史?！　‘?dāng)然，我這樣說，并不是否定做一些算術(shù)或幾何的難題。從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力來 看，讓學(xué)生花太多的時(shí)間來做太多的難題當(dāng)然不必要，但適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生做一些數(shù)學(xué)難題還是 必要的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想是有好處的，因?yàn)閯?chuàng)新思想不是一天能培養(yǎng)出來的，要日積 月累，有一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程?？纯礆v史上的那些大數(shù)學(xué)家，哪一位沒有做過難題？從 教學(xué)的角度來看，問題是要適量。至于中小學(xué)教師，為了提高教學(xué)質(zhì)量，對(duì)一些難題進(jìn)行研 究、分析與探討，那是理所當(dāng)然的事。從因材施教、提高同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與能力的角 度出發(fā)，來舉辦一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，如“數(shù)學(xué)競(jìng)賽”等有意義的活動(dòng)更是必要的了。從數(shù)學(xué)發(fā)展 的歷史角度與從數(shù)學(xué)教育的角度來考慮問題終究是不一樣的?！　∪绻陨纤阕鲾?shù)學(xué)歷史的一點(diǎn)啟示，那么以下所說的也可以算作數(shù)學(xué)歷史的另一點(diǎn)啟示 ?！　纳鲜龅臄⑹鲋羞€可以看到，數(shù)學(xué)的歷史也像戰(zhàn)爭(zhēng)史?！耙粚⒐Τ扇f骨枯”！想想從歐 幾里得的《原本》誕生之后，幾千年來，不知有多少數(shù)學(xué)家前仆后繼地試圖用其他公設(shè)、公 理及定理來證明第五公設(shè)。這些人都失敗了，他們都默默無聞，數(shù)學(xué)史上沒有記載他們的名 字。但正是由于千千萬萬個(gè)無名的數(shù)學(xué)家的失敗，才導(dǎo)致了高斯、波爾約、羅巴切夫斯基從 另外的角度來處理這個(gè)問題。他們成功了，他們成了英雄，但他們的成功是在幾千年來千千 萬萬個(gè)數(shù)學(xué)家失敗的基礎(chǔ)上獲得的，所以可以說是“一將功成萬骨枯”！　　同樣自從二次、三次及四次一元代數(shù)方程式得到根式解后，幾百年來，也不知有多少數(shù) 學(xué)家前仆后繼地試圖找到五次及更高次一元代數(shù)方程式的根式解，但他們都失敗了。這些人 在數(shù)學(xué)史上默默無聞，誰也不會(huì)記起他們的名字，但他們的犧牲，導(dǎo)致了拉格朗日、阿貝爾 與伽羅瓦從新的角度來考察這個(gè)問題。他們成功了，名垂數(shù)學(xué)史，但他們的成功也是在幾百 年來無數(shù)默默無聞的數(shù)學(xué)家失敗的基礎(chǔ)上獲得的。這也可說是“一將功成萬骨枯”！　　這樣的例子還可以舉出很多?！　∵@些數(shù)學(xué)的歷史，給我們以深刻的啟示：我們應(yīng)該如何來選擇數(shù)學(xué)問題，如何來思考與 處理數(shù)學(xué)問題，才能盡量避免不必要的犧牲，獲得成功?！　“倌昵?，希爾伯特在他那著名的講演中，用以下這段話作為結(jié)束語(yǔ)：“數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一 ，是這門科學(xué)固有的特點(diǎn)，因?yàn)樗且磺芯_自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，為了圓滿實(shí)現(xiàn)這個(gè)崇高 的目標(biāo)，讓新世紀(jì)給這門科學(xué)帶來天才的大師和無數(shù)熱誠(chéng)的信徒吧！”我深信，21世紀(jì)一定 會(huì)“給這門科學(xué)帶來天才的大師”，而且其中肯定有許多來自我們中國(guó)！新課堂應(yīng)體現(xiàn)“六性” 　 一、生活性。新課程課堂教學(xué)注重從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)情景，溝通學(xué)科知識(shí)與生活的聯(lián)系，突出學(xué)科知識(shí)生活化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的知識(shí)就在身邊的生活中，享受學(xué)習(xí)的樂趣。 　 二、主體性。新課程課堂教學(xué)，突出了學(xué)生的主體地位，在課堂中讓學(xué)生主動(dòng)參與，積極思考，允許學(xué)生反思與質(zhì)疑，提出自己的想法和見解，使學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽，學(xué)會(huì)提問，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)分析問題與解決問題。 　 三、活動(dòng)性。新課程課堂教學(xué)，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)自主、合作、探究性學(xué)習(xí)。課堂教學(xué)要注意創(chuàng)設(shè)情景，組織學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)與提出問題，在活動(dòng)中解決問題，在活動(dòng)中動(dòng)手操作、大膽創(chuàng)新。引導(dǎo)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，突出學(xué)習(xí)過程的活動(dòng)性。 四、開放性。新課程課堂教學(xué)，改變了過去封閉的教學(xué)模式，注意教學(xué)設(shè)計(jì)的開放性。通過開放性問題的設(shè)計(jì)，使學(xué)生動(dòng)起來，課堂活起來，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新思維能力。當(dāng)然，開放性教學(xué)對(duì)教師提出了更高的要求，重點(diǎn)是要提高教師的課堂應(yīng)變能力，使課堂活而有序。 　 五、多樣性。新課程課堂教學(xué)，突出了課堂教學(xué)方法的靈活性，教學(xué)評(píng)價(jià)的多樣性。要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)、學(xué)生互評(píng)、教師評(píng)價(jià)有機(jī)結(jié)合。教師要善于傾聽學(xué)生的發(fā)言，捕捉信息，及時(shí)反饋與評(píng)價(jià)，提高課堂教學(xué)效率。 　 六、發(fā)展性。新課程課堂教學(xué)，以學(xué)生的發(fā)展為本，教師要立足學(xué)生的發(fā)展及時(shí)發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)中的亮點(diǎn)，讓學(xué)生閃爍思維的火花和智慧的光芒。同時(shí)要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，抓住有利時(shí)機(jī)，因勢(shì)利導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的思維。UID143887帖子59精華0積分1995閱讀權(quán)限10來自湖北孝感在線時(shí)間0 小時(shí)注冊(cè)時(shí)間2005323最后登錄200695查看詳細(xì)資料數(shù)九歌－北京一九二九不出手；三九四九冰上走； 五九六九沿河看柳；七九河開八九雁來； 九九加一九，耕牛遍地走。詩(shī)情數(shù)意一、晚　霞　紅太陽(yáng)落山晚霞紅，我把鴨子趕回籠。 一半在外鬧哄哄，一半的一半進(jìn)籠中。 剩下十五圍著我，共有多少請(qǐng)算清。