【文章內(nèi)容簡介】 津英語字典沒有參照梵文。公元１０世紀(jì)的拜占庭希臘字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理學(xué)”、“幾何學(xué)”和“算術(shù)”的詞條，但沒有直接列出“數(shù)學(xué)”—詞?！　　　　皵?shù)學(xué)”一詞從表示一般的知識到專門表示數(shù)學(xué)專業(yè)，經(jīng)歷一個較長的過程，僅在亞里士多德時代，而不是在柏拉圖時代，這一過程才完成。數(shù)學(xué)名稱的專有化不僅在于其意義深遠(yuǎn)，而在于當(dāng)時古希臘只有“詩歌”一詞的專有化才能與數(shù)學(xué)名稱的專有化相媲美?！霸姼琛痹瓉淼囊馑际恰耙呀?jīng)制造或完成的某些東西”，“詩歌”一詞的專有化在柏拉圖時代就完成了。而不知是什么原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識問題從來沒有提到詩歌，也沒有提到詩歌與數(shù)學(xué)名稱專有化之間奇特的相似性。但數(shù)學(xué)名稱的專有化確實受到人們的注意?！　∈紫?，亞里士多德提出，　“數(shù)學(xué)”一詞的專門化使用是源于畢達哥拉斯的想法，但沒有任何資料表明對于起源于愛奧尼亞的自然哲學(xué)有類似的思考。其次在愛奧尼亞人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“純”數(shù)學(xué)方面的成就是可信的，因為除了第歐根尼拉爾修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ　Ｌａｅｒｔｉｕｓ）簡短提到外，這一可信性還有一個較遲的而直接的數(shù)學(xué)來源，即來源于普羅克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）對歐幾里得的評注：但這一可信性不是來源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個“自然哲學(xué)家”；也不是來源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛好者”，甚至還能預(yù)報日蝕。以上這些可能有助于解釋為什么在柏拉圖的體系中，幾乎沒有愛奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“萬物都在運動中，物無常往”，　“人們不可能兩次落進同一條河里”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達哥拉斯數(shù)學(xué)的強有力的競爭對手?！　τ诋呥_哥拉斯學(xué)派來說，數(shù)學(xué)是一種“生活的方式”。事實上，從公元２世紀(jì)的拉丁作家格利烏斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世紀(jì)的希臘哲學(xué)家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世紀(jì)的希臘哲學(xué)家揚布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些證詞中看出，似乎畢達哥拉斯學(xué)派對于成年人有一個“一般的學(xué)位課程”，其中有正式登記者和臨時登記者。臨時成員稱為“旁聽者”，正式成員稱為“數(shù)學(xué)家”?！　∵@里“數(shù)學(xué)家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學(xué)。畢達哥拉斯學(xué)派的精神經(jīng)久不衰。對于那些被阿基米德神奇的發(fā)明所深深吸引的人來說，阿基米德是唯一的獨特的數(shù)學(xué)家，從理論的地位講，牛頓是一個數(shù)學(xué)家，盡管他也是半個物理學(xué)家，一般公眾和新聞記者寧愿把愛因斯坦看作數(shù)學(xué)家，盡管他完全是物理學(xué)家。當(dāng)羅吉爾培根（Ｒｏｇｅｒ　Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通過提倡接近科學(xué)的“實體論”，向他所在世紀(jì)提出挑戰(zhàn)時，他正將科學(xué)放進了一個數(shù)學(xué)的大框架，盡管他在數(shù)學(xué)上的造詣是有限的，當(dāng)?shù)芽▋海ǎ模澹螅悖幔颍簦澹?，１５９６－－１６５０年）還很年輕時就決心有所創(chuàng)新，于是他確定了“數(shù)學(xué)萬能論”的名稱和概念。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號”邏輯的基礎(chǔ)，而２０世紀(jì)的“符號”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。　　在１８世紀(jì)，數(shù)學(xué)史的先驅(qū)作家蒙托克萊（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）說，他已聽說了關(guān)于古希臘人首先稱數(shù)學(xué)為“一般知識”，這一事實有兩種解釋：一種解釋是，數(shù)學(xué)本身優(yōu)于其它知識領(lǐng)域；而另一種解釋是，作為一般知識性的學(xué)科，數(shù)學(xué)在修辭學(xué)，辯證法，語法和倫理學(xué)等等之前就結(jié)構(gòu)完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因為在普羅克洛斯關(guān)于歐幾里得的評注中，或在任何古代資料中，都沒有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證。然而１９世紀(jì)的語源學(xué)家卻傾向于第一種解釋，而２０世紀(jì)的古典學(xué)者卻又偏向第二種解釋。但我們發(fā)現(xiàn)這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數(shù)學(xué)且數(shù)學(xué)的優(yōu)越性是無與倫比的。數(shù)的發(fā)展計數(shù)方法的出現(xiàn)　　一般說來，最古老的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)從人類把大小、形狀和數(shù)的概念系統(tǒng)化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有數(shù)的概念和懂得計數(shù)方法的原始人的出現(xiàn)可以看作是數(shù)學(xué)的第一起點！　　數(shù)的概念和計數(shù)方法還在有文字記載以前就發(fā)展起來了。但是，關(guān)于這些數(shù)學(xué)的發(fā)展方式則多半來源于揣測。人類的在最原始的時代就有了數(shù)的意識，至少在為數(shù)不多的一些東西中增加幾個或從中取出幾個時，能夠辨認(rèn)其多寡。隨著逐步進化，簡單的計算成為了生產(chǎn)和生活中必不可少的活動。一個部落首領(lǐng)必須知道自己的部落有多少成員、有多少敵人；一個人需要知道他羊群里的羊是否少了?；蛟S最早的計數(shù)方法是使用簡單算籌以一一對應(yīng)的原則來進行的。例如，當(dāng)數(shù)羊的只數(shù)時，每有一只羊就扳一個指頭。顯然，古人也能夠使用一些簡單的方法計數(shù)，例如集攢小石子或小木棍；在土塊或石頭上刻道或在木頭上刻槽；或在繩上打結(jié)，作為對應(yīng)于為數(shù)不多的東西的數(shù)目的語言符合。以后，隨著書寫方式的改變，逐漸形成了一族代表這些數(shù)目的書寫符號?！　≡谡Z言計數(shù)的較早階段，即使是同樣的數(shù)字，但如果實際物體不同，表示方法也大不一樣。例如，對于兩只羊和兩個人所用的語音詞是不同的。例如，在英語中有team of horse表示共同拉車，拉犁的兩匹馬，yoke of oxen共扼的兩頭牛，brace of partridge一對鷓鴣，pair of shoes一雙鞋。把2種共同性質(zhì)加以抽象，并采用與任何具體事物都無關(guān)的某個語音來代表它，或許人類經(jīng)過很長時間以后才實現(xiàn)的，雖然在今天看來，這是如此的簡單。計數(shù)方法的系統(tǒng)化　　隨著社會生產(chǎn)的發(fā)展，更為廣泛的計數(shù)成為了生活和生產(chǎn)的必需。要完成這樣復(fù)雜的計數(shù)就必須將計數(shù)的方法系統(tǒng)化。　　古人采取的方法是這樣的：把數(shù)目排列成便于考慮的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是說：選取某一數(shù)b作為計數(shù)的基（base）也叫記數(shù)根（radix）或進位制（scale）并定出數(shù)目1，2，3……b的名稱。這時，大于b的數(shù)目用已選定名稱的數(shù)目的組合表示?！　∮捎谌说氖种柑峁┝艘粋€方便的匹配工具，所以，人們大多選用10個數(shù)作為數(shù)基b，這是不奇怪的。例如，考慮我們現(xiàn)在用的數(shù)詞，它們就是以10為基而形成的。1，2，……10這十個數(shù)，英語中均有基特殊的名稱：one,two,…… ten。當(dāng)我們數(shù)到十一時，我們說eleven11；語言學(xué)家告訴我們，它是從ein lifon導(dǎo)出的意思是剩下或比10多1。類似地，twelve（12）是從twe lif比10多2導(dǎo)出的；還有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然后有twenty20，即twetig，或兩個10。Twentyone（兩個10和1）等等?！　∮凶C據(jù)表明：2，3和4也曾被當(dāng)作原始的數(shù)基。例如，澳洲東部昆士蘭的土人就是這么計數(shù)的：1，2，2和1，兩個2，多一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是這么計教的：a,oa,ua,oaoa,oaoaa, 和oaoaoa。阿根廷火地島的某部落，頭幾個數(shù)的名稱，就是以3為基的；與此相似，南美的一些部落用4為基?！　】梢栽O(shè)想：五進制即以5為基的數(shù)系，是最初用得很廣泛的計數(shù)法。到現(xiàn)在，一些南美的部落還是用手計數(shù)1，2，3，4，手，手和1等等。西伯利亞的尤卡吉爾人用的是混合基計數(shù)法：1，2，3，3和1，5，兩個3，多1個，兩個4，10去1，10。德國農(nóng)民日歷，一直到1800年還以5為數(shù)基?！　∫灿凶C據(jù)表明，在有史以前12曾被用作數(shù)基，即采用十二進制，這主要與量度有關(guān)，使用這樣的一個數(shù)基，可能是由于一年大約有12年朔望月；也可能是上于12能被許多整數(shù)整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，鐘有12個小時，一年有12個月。Dozen（打），gross（籮）這些詞在英語中還用作更高級的單位。（一打是12個，一籮是12打）?！　《M制即以20為基的數(shù)系，曾被廣泛應(yīng)用，它使用人想起人類的赤腳時代。這種計數(shù)法，曾經(jīng)由美洲印第安人使用，并以其用于高度發(fā)達的瑪雅（Maya）數(shù)系中而著稱。法語中用quartevingt四個20代替huitante80，用quatrevingtdix四個20加10代替nonante90，從這里可以看出克爾特人以20為基數(shù)的痕跡。在蓋爾人、丹麥人和威爾士人的語言中也能發(fā)現(xiàn)這種痕跡。格陵蘭使用 一個人代表20，兩個人代表40等等。英國人也常用score20這個字?！　」糯捅葌惾擞昧M位制，即以60為基的數(shù)系，直到現(xiàn)在，當(dāng)以分、秒為單位計量時間和角度時，六十進位制仍被廣泛使用。手指記數(shù)　　在遙遠(yuǎn)的古代，除了口頭上說的數(shù)以外，手指數(shù)（finger nrmber）在也曾被廣泛應(yīng)用。事實上，用手指和手的不同位置表示數(shù)，應(yīng)該比使用數(shù)的符號或數(shù)的名稱還早。例如，最早的表示1，2，3和4的書寫符號是適當(dāng)數(shù)目的豎的或橫的筆劃，它們堅起平伸的手指數(shù)目；digit（即手指）這個詞也可以用來表示數(shù)字（從1到9），這也能追溯到同一來源?！　∮幸欢螘r間，手指數(shù)曾被擴展到包括出現(xiàn)在商業(yè)交易中的最大的數(shù)，并且在中世紀(jì)就已為國際通用。發(fā)展到后來，1，2，……和10，20……90這些數(shù)用左手來表示，100，200……900和1，000，……9，000，這些數(shù)用右手來表示。用這種方法，10，000以內(nèi)的任何數(shù)都能用兩只手表示?！　∈种笖?shù)的樣式，在文藝復(fù)興時期的算術(shù)書上有記載。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和無名指表示2，部分屈折的小指、無名指和中指表示3，屈折中指和無名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的無名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和無名指表示8，完全屈折的小指、無名指和中批表示9?！　‰m然手指數(shù)起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始種族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和愛斯基摩人的部落中仍然采用手指數(shù)。記錄工具的出現(xiàn)　　數(shù)字的記錄和長期保存離不開記錄的工具。但是，記錄工具的發(fā)明和改進是一個非常漫長的過程。我們現(xiàn)在常用的機器制造的紙張只有100多年的歷史。以前的手工制作的紙是非常昂貴和難以得到的，即使是這種紙也是在十二世紀(jì)才傳到歐洲，雖然聰明的中國古人早在一千多年前，就已經(jīng)掌握了這一門技術(shù)?！　〉?，古人為了滿足自己記錄的需要，也想辦法創(chuàng)造了一些工具。一種早期類似紙的書寫材料，稱為紙草片（Papyrus），是古代埃及人發(fā)明的，而且，公元前650年左右，已經(jīng)傳入希臘。它是一種叫做紙草（papu）的蘆葦做的。把蘆葦?shù)那o切成一條條細(xì)長的薄片，并排合成一張，一層層地往上放，完全用水浸濕，再將水?dāng)D壓出來，然后放到太陽地里曬干。也許由于植物中天然膠質(zhì)，幾層粘到一起了。在紙草片干了以后，再用圓的硬東西用力把它們壓平衡，這樣就能書寫了。用紙草片打草稿，就是一小片，也要花不少錢?！　×硪环N早期的書寫材料是羊皮紙，是用動物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，這是稀有和難得的。更昂貴的是一種用牛犢皮做的仿羊皮紙，稱做犢皮紙。事實上，羊皮紙已經(jīng)是非常昂貴的了。以致中世紀(jì)出現(xiàn)一種習(xí)慣：洗去老羊皮手稿上的墨跡，然后再用。這樣的手稿，現(xiàn)在被稱做重寫羊皮紙。有這樣的情況：在若干年后，重寫羊皮文件上最初寫的原稿又模糊地出現(xiàn)了。一些有趣的修復(fù)就是這樣做成的?！　〈蠹s兩千年以前，羅馬人書寫用品是涂上薄薄一層蠟的小木板和一支硬筆。在羅馬帝國之前和羅馬帝國時代，常用沙盤進行簡單的計算和畫幾何圖形。要推測更早的記錄工具，也并不困難。因為，毫無疑問，人們很早就用石頭和粘土做書寫記錄了。印度和阿拉伯?dāng)?shù)系　　我們現(xiàn)在常用的數(shù)字符號系統(tǒng)，是印度阿拉伯?dāng)?shù)系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因為它可能是印度人發(fā)明的，又由阿拉伯人傳到西歐的?！　∧壳?，保存下來現(xiàn)在所用的數(shù)字符號的最早樣品是印度的一些石柱上發(fā)現(xiàn)的，這些石柱是公元前250左右烏索庫王建造的。至于其它在印度的早期樣品，如果解釋正確的話，則是從大約公元前100暝誑拷幟潛叩囊蛔繳系囊ざ辭繳峽滔碌募鍬賈瀉痛喲笤脊?00年在納西克窯洞中刻下的一些碑文中發(fā)現(xiàn)。這些早期樣本中既沒有零，也沒有采用位置記號。但是，考古學(xué)家推測，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某個時刻傳到印度的，因為波斯數(shù)學(xué)家花拉子密在公元825年寫的一本書中描述過這樣一種完整的印度數(shù)系。　　這些新的數(shù)字符號，最初是在何時和如何引進歐洲的，即使到了現(xiàn)在也還沒有弄清：但是考古學(xué)家認(rèn)為，這些符號十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家們帶過來的。在十世紀(jì)西班牙書稿中就發(fā)現(xiàn)有這些符號，它們可能是由阿拉伯人傳到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了這個半島，直到1492年還在那里。通過花拉子密的專著的十二世紀(jì)拉丁文譯本以及后來歐洲人的有關(guān)著作，這一完整的數(shù)系得到廣泛的傳播?！　≡谑兰o(jì)以后的四百年中，提倡這數(shù)系的珠算家與算法家展開了競爭，到公元1500年左右，我們現(xiàn)有的計算規(guī)則獲得優(yōu)勢。在這以后的一百年中，珠算家?guī)缀醣蝗诉z忘，到了十八世紀(jì)在西歐就見不到算盤的蹤跡了。算盤作為一個奇妙的東西再次出現(xiàn)于歐洲，是法國幾何學(xué)家JV蓬斯菜（Poncelet）在拿破侖計伐俄國的戰(zhàn)爭中當(dāng)了俘擄，被釋放后，把一個算盤的樣品帶回了法國?！　∮《劝⒗?dāng)?shù)系中的數(shù)字符號曾多次變異，只是由于印刷業(yè)的發(fā)展，才開始穩(wěn)定下來的。英語中的zero（零）這個詞可能是從阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演變過來的；而阿拉伯文 sifr又是從印度文中表示無和空的詞sunya翻譯過來。阿拉伯文sifr在十三世紀(jì)由奈莫拉里烏斯（Nemorarius）引進到德國，寫作cifra，由此我們得到現(xiàn)在的字cipher（零）。人身上的尺子我們每個人身上都攜帶著幾把尺子。假如你“一拃”的長度