【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 津英語(yǔ)字典沒(méi)有參照梵文。公元１０世紀(jì)的拜占庭希臘字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理學(xué)”、“幾何學(xué)”和“算術(shù)”的詞條，但沒(méi)有直接列出“數(shù)學(xué)”—詞?！　　　　皵?shù)學(xué)”一詞從表示一般的知識(shí)到專門表示數(shù)學(xué)專業(yè)，經(jīng)歷一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，僅在亞里士多德時(shí)代，而不是在柏拉圖時(shí)代，這一過(guò)程才完成。數(shù)學(xué)名稱的專有化不僅在于其意義深遠(yuǎn)，而在于當(dāng)時(shí)古希臘只有“詩(shī)歌”一詞的專有化才能與數(shù)學(xué)名稱的專有化相媲美?！霸?shī)歌”原來(lái)的意思是“已經(jīng)制造或完成的某些東西”，“詩(shī)歌”一詞的專有化在柏拉圖時(shí)代就完成了。而不知是什么原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識(shí)問(wèn)題從來(lái)沒(méi)有提到詩(shī)歌，也沒(méi)有提到詩(shī)歌與數(shù)學(xué)名稱專有化之間奇特的相似性。但數(shù)學(xué)名稱的專有化確實(shí)受到人們的注意。　　首先，亞里士多德提出，　“數(shù)學(xué)”一詞的專門化使用是源于畢達(dá)哥拉斯的想法，但沒(méi)有任何資料表明對(duì)于起源于愛(ài)奧尼亞的自然哲學(xué)有類似的思考。其次在愛(ài)奧尼亞人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“純”數(shù)學(xué)方面的成就是可信的，因?yàn)槌说跉W根尼拉爾修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ?。蹋幔澹颍簦椋酰螅┖?jiǎn)短提到外，這一可信性還有一個(gè)較遲的而直接的數(shù)學(xué)來(lái)源，即來(lái)源于普羅克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）對(duì)歐幾里得的評(píng)注：但這一可信性不是來(lái)源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個(gè)“自然哲學(xué)家”；也不是來(lái)源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個(gè)政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛(ài)好者”，甚至還能預(yù)報(bào)日蝕。以上這些可能有助于解釋為什么在柏拉圖的體系中，幾乎沒(méi)有愛(ài)奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“萬(wàn)物都在運(yùn)動(dòng)中，物無(wú)常往”，　“人們不可能兩次落進(jìn)同一條河里”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒(méi)受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實(shí)體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達(dá)哥拉斯數(shù)學(xué)的強(qiáng)有力的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手?！　?duì)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種“生活的方式”。事實(shí)上，從公元２世紀(jì)的拉丁作家格利烏斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世紀(jì)的希臘哲學(xué)家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世紀(jì)的希臘哲學(xué)家揚(yáng)布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些證詞中看出，似乎畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)于成年人有一個(gè)“一般的學(xué)位課程”，其中有正式登記者和臨時(shí)登記者。臨時(shí)成員稱為“旁聽(tīng)者”，正式成員稱為“數(shù)學(xué)家”?！　∵@里“數(shù)學(xué)家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的精神經(jīng)久不衰。對(duì)于那些被阿基米德神奇的發(fā)明所深深吸引的人來(lái)說(shuō)，阿基米德是唯一的獨(dú)特的數(shù)學(xué)家，從理論的地位講，牛頓是一個(gè)數(shù)學(xué)家，盡管他也是半個(gè)物理學(xué)家，一般公眾和新聞?dòng)浾邔幵赴褠?ài)因斯坦看作數(shù)學(xué)家，盡管他完全是物理學(xué)家。當(dāng)羅吉爾培根（Ｒｏｇｅｒ?。拢幔悖铮睿保玻保矗保玻梗材辏┩ㄟ^(guò)提倡接近科學(xué)的“實(shí)體論”，向他所在世紀(jì)提出挑戰(zhàn)時(shí)，他正將科學(xué)放進(jìn)了一個(gè)數(shù)學(xué)的大框架，盡管他在數(shù)學(xué)上的造詣是有限的，當(dāng)?shù)芽▋海ǎ模澹螅悖幔颍簦澹?，１５９６－－１６５０年）還很年輕時(shí)就決心有所創(chuàng)新，于是他確定了“數(shù)學(xué)萬(wàn)能論”的名稱和概念。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號(hào)”邏輯的基礎(chǔ)，而２０世紀(jì)的“符號(hào)”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。　　在１８世紀(jì)，數(shù)學(xué)史的先驅(qū)作家蒙托克萊（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）說(shuō)，他已聽(tīng)說(shuō)了關(guān)于古希臘人首先稱數(shù)學(xué)為“一般知識(shí)”，這一事實(shí)有兩種解釋：一種解釋是，數(shù)學(xué)本身優(yōu)于其它知識(shí)領(lǐng)域；而另一種解釋是，作為一般知識(shí)性的學(xué)科，數(shù)學(xué)在修辭學(xué)，辯證法，語(yǔ)法和倫理學(xué)等等之前就結(jié)構(gòu)完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因?yàn)樵谄樟_克洛斯關(guān)于歐幾里得的評(píng)注中，或在任何古代資料中，都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證。然而１９世紀(jì)的語(yǔ)源學(xué)家卻傾向于第一種解釋，而２０世紀(jì)的古典學(xué)者卻又偏向第二種解釋。但我們發(fā)現(xiàn)這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數(shù)學(xué)且數(shù)學(xué)的優(yōu)越性是無(wú)與倫比的。數(shù)的發(fā)展計(jì)數(shù)方法的出現(xiàn)　　一般說(shuō)來(lái)，最古老的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)從人類把大小、形狀和數(shù)的概念系統(tǒng)化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有數(shù)的概念和懂得計(jì)數(shù)方法的原始人的出現(xiàn)可以看作是數(shù)學(xué)的第一起點(diǎn)！　　數(shù)的概念和計(jì)數(shù)方法還在有文字記載以前就發(fā)展起來(lái)了。但是，關(guān)于這些數(shù)學(xué)的發(fā)展方式則多半來(lái)源于揣測(cè)。人類的在最原始的時(shí)代就有了數(shù)的意識(shí)，至少在為數(shù)不多的一些東西中增加幾個(gè)或從中取出幾個(gè)時(shí)，能夠辨認(rèn)其多寡。隨著逐步進(jìn)化，簡(jiǎn)單的計(jì)算成為了生產(chǎn)和生活中必不可少的活動(dòng)。一個(gè)部落首領(lǐng)必須知道自己的部落有多少成員、有多少敵人；一個(gè)人需要知道他羊群里的羊是否少了?；蛟S最早的計(jì)數(shù)方法是使用簡(jiǎn)單算籌以一一對(duì)應(yīng)的原則來(lái)進(jìn)行的。例如，當(dāng)數(shù)羊的只數(shù)時(shí)，每有一只羊就扳一個(gè)指頭。顯然，古人也能夠使用一些簡(jiǎn)單的方法計(jì)數(shù)，例如集攢小石子或小木棍；在土塊或石頭上刻道或在木頭上刻槽；或在繩上打結(jié)，作為對(duì)應(yīng)于為數(shù)不多的東西的數(shù)目的語(yǔ)言符合。以后，隨著書寫方式的改變，逐漸形成了一族代表這些數(shù)目的書寫符號(hào)?！　≡谡Z(yǔ)言計(jì)數(shù)的較早階段，即使是同樣的數(shù)字，但如果實(shí)際物體不同，表示方法也大不一樣。例如，對(duì)于兩只羊和兩個(gè)人所用的語(yǔ)音詞是不同的。例如，在英語(yǔ)中有team of horse表示共同拉車，拉犁的兩匹馬，yoke of oxen共扼的兩頭牛，brace of partridge一對(duì)鷓鴣，pair of shoes一雙鞋。把2種共同性質(zhì)加以抽象，并采用與任何具體事物都無(wú)關(guān)的某個(gè)語(yǔ)音來(lái)代表它，或許人類經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間以后才實(shí)現(xiàn)的，雖然在今天看來(lái)，這是如此的簡(jiǎn)單。計(jì)數(shù)方法的系統(tǒng)化　　隨著社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展，更為廣泛的計(jì)數(shù)成為了生活和生產(chǎn)的必需。要完成這樣復(fù)雜的計(jì)數(shù)就必須將計(jì)數(shù)的方法系統(tǒng)化?！　」湃瞬扇〉姆椒ㄊ沁@樣的：把數(shù)目排列成便于考慮的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是說(shuō)：選取某一數(shù)b作為計(jì)數(shù)的基（base）也叫記數(shù)根（radix）或進(jìn)位制（scale）并定出數(shù)目1，2，3……b的名稱。這時(shí)，大于b的數(shù)目用已選定名稱的數(shù)目的組合表示?！　∮捎谌说氖种柑峁┝艘粋€(gè)方便的匹配工具，所以，人們大多選用10個(gè)數(shù)作為數(shù)基b，這是不奇怪的。例如，考慮我們現(xiàn)在用的數(shù)詞，它們就是以10為基而形成的。1，2，……10這十個(gè)數(shù)，英語(yǔ)中均有基特殊的名稱：one,two,…… ten。當(dāng)我們數(shù)到十一時(shí)，我們說(shuō)eleven11；語(yǔ)言學(xué)家告訴我們，它是從ein lifon導(dǎo)出的意思是剩下或比10多1。類似地，twelve（12）是從twe lif比10多2導(dǎo)出的；還有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然后有twenty20，即twetig，或兩個(gè)10。Twentyone（兩個(gè)10和1）等等?！　∮凶C據(jù)表明：2，3和4也曾被當(dāng)作原始的數(shù)基。例如，澳洲東部昆士蘭的土人就是這么計(jì)數(shù)的：1，2，2和1，兩個(gè)2，多一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是這么計(jì)教的：a,oa,ua,oaoa,oaoaa, 和oaoaoa。阿根廷火地島的某部落，頭幾個(gè)數(shù)的名稱，就是以3為基的；與此相似，南美的一些部落用4為基?！　】梢栽O(shè)想：五進(jìn)制即以5為基的數(shù)系，是最初用得很廣泛的計(jì)數(shù)法。到現(xiàn)在，一些南美的部落還是用手計(jì)數(shù)1，2，3，4，手，手和1等等。西伯利亞的尤卡吉爾人用的是混合基計(jì)數(shù)法：1，2，3，3和1，5，兩個(gè)3，多1個(gè)，兩個(gè)4，10去1，10。德國(guó)農(nóng)民日歷，一直到1800年還以5為數(shù)基?！　∫灿凶C據(jù)表明，在有史以前12曾被用作數(shù)基，即采用十二進(jìn)制，這主要與量度有關(guān)，使用這樣的一個(gè)數(shù)基，可能是由于一年大約有12年朔望月；也可能是上于12能被許多整數(shù)整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，鐘有12個(gè)小時(shí)，一年有12個(gè)月。Dozen（打），gross（籮）這些詞在英語(yǔ)中還用作更高級(jí)的單位。（一打是12個(gè)，一籮是12打）?！　《M(jìn)制即以20為基的數(shù)系，曾被廣泛應(yīng)用，它使用人想起人類的赤腳時(shí)代。這種計(jì)數(shù)法，曾經(jīng)由美洲印第安人使用，并以其用于高度發(fā)達(dá)的瑪雅（Maya）數(shù)系中而著稱。法語(yǔ)中用quartevingt四個(gè)20代替huitante80，用quatrevingtdix四個(gè)20加10代替nonante90，從這里可以看出克爾特人以20為基數(shù)的痕跡。在蓋爾人、丹麥人和威爾士人的語(yǔ)言中也能發(fā)現(xiàn)這種痕跡。格陵蘭使用 一個(gè)人代表20，兩個(gè)人代表40等等。英國(guó)人也常用score20這個(gè)字。　　古代巴比倫人用六十進(jìn)位制，即以60為基的數(shù)系，直到現(xiàn)在，當(dāng)以分、秒為單位計(jì)量時(shí)間和角度時(shí)，六十進(jìn)位制仍被廣泛使用。手指記數(shù)　　在遙遠(yuǎn)的古代，除了口頭上說(shuō)的數(shù)以外，手指數(shù)（finger nrmber）在也曾被廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，用手指和手的不同位置表示數(shù)，應(yīng)該比使用數(shù)的符號(hào)或數(shù)的名稱還早。例如，最早的表示1，2，3和4的書寫符號(hào)是適當(dāng)數(shù)目的豎的或橫的筆劃，它們堅(jiān)起平伸的手指數(shù)目；digit（即手指）這個(gè)詞也可以用來(lái)表示數(shù)字（從1到9），這也能追溯到同一來(lái)源?！　∮幸欢螘r(shí)間，手指數(shù)曾被擴(kuò)展到包括出現(xiàn)在商業(yè)交易中的最大的數(shù)，并且在中世紀(jì)就已為國(guó)際通用。發(fā)展到后來(lái)，1，2，……和10，20……90這些數(shù)用左手來(lái)表示，100，200……900和1，000，……9，000，這些數(shù)用右手來(lái)表示。用這種方法，10，000以內(nèi)的任何數(shù)都能用兩只手表示。　　手指數(shù)的樣式，在文藝復(fù)興時(shí)期的算術(shù)書上有記載。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和無(wú)名指表示2，部分屈折的小指、無(wú)名指和中指表示3，屈折中指和無(wú)名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的無(wú)名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和無(wú)名指表示8，完全屈折的小指、無(wú)名指和中批表示9?！　‰m然手指數(shù)起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始種族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和愛(ài)斯基摩人的部落中仍然采用手指數(shù)。記錄工具的出現(xiàn)　　數(shù)字的記錄和長(zhǎng)期保存離不開(kāi)記錄的工具。但是，記錄工具的發(fā)明和改進(jìn)是一個(gè)非常漫長(zhǎng)的過(guò)程。我們現(xiàn)在常用的機(jī)器制造的紙張只有100多年的歷史。以前的手工制作的紙是非常昂貴和難以得到的，即使是這種紙也是在十二世紀(jì)才傳到歐洲，雖然聰明的中國(guó)古人早在一千多年前，就已經(jīng)掌握了這一門技術(shù)?！　〉?，古人為了滿足自己記錄的需要，也想辦法創(chuàng)造了一些工具。一種早期類似紙的書寫材料，稱為紙草片（Papyrus），是古代埃及人發(fā)明的，而且，公元前650年左右，已經(jīng)傳入希臘。它是一種叫做紙草（papu）的蘆葦做的。把蘆葦?shù)那o切成一條條細(xì)長(zhǎng)的薄片，并排合成一張，一層層地往上放，完全用水浸濕，再將水?dāng)D壓出來(lái)，然后放到太陽(yáng)地里曬干。也許由于植物中天然膠質(zhì)，幾層粘到一起了。在紙草片干了以后，再用圓的硬東西用力把它們壓平衡，這樣就能書寫了。用紙草片打草稿，就是一小片，也要花不少錢?！　×硪环N早期的書寫材料是羊皮紙，是用動(dòng)物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，這是稀有和難得的。更昂貴的是一種用牛犢皮做的仿羊皮紙，稱做犢皮紙。事實(shí)上，羊皮紙已經(jīng)是非常昂貴的了。以致中世紀(jì)出現(xiàn)一種習(xí)慣：洗去老羊皮手稿上的墨跡，然后再用。這樣的手稿，現(xiàn)在被稱做重寫羊皮紙。有這樣的情況：在若干年后，重寫羊皮文件上最初寫的原稿又模糊地出現(xiàn)了。一些有趣的修復(fù)就是這樣做成的?！　〈蠹s兩千年以前，羅馬人書寫用品是涂上薄薄一層蠟的小木板和一支硬筆。在羅馬帝國(guó)之前和羅馬帝國(guó)時(shí)代，常用沙盤進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和畫幾何圖形。要推測(cè)更早的記錄工具，也并不困難。因?yàn)?，毫無(wú)疑問(wèn)，人們很早就用石頭和粘土做書寫記錄了。印度和阿拉伯?dāng)?shù)系　　我們現(xiàn)在常用的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，是印度阿拉伯?dāng)?shù)系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因?yàn)樗赡苁怯《热税l(fā)明的，又由阿拉伯人傳到西歐的?！　∧壳埃４嫦聛?lái)現(xiàn)在所用的數(shù)字符號(hào)的最早樣品是印度的一些石柱上發(fā)現(xiàn)的，這些石柱是公元前250左右烏索庫(kù)王建造的。至于其它在印度的早期樣品，如果解釋正確的話，則是從大約公元前100暝誑拷幟潛叩囊蛔繳系囊ざ辭繳峽滔碌募鍬賈瀉痛喲笤脊?00年在納西克窯洞中刻下的一些碑文中發(fā)現(xiàn)。這些早期樣本中既沒(méi)有零，也沒(méi)有采用位置記號(hào)。但是，考古學(xué)家推測(cè)，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某個(gè)時(shí)刻傳到印度的，因?yàn)椴ㄋ箶?shù)學(xué)家花拉子密在公元825年寫的一本書中描述過(guò)這樣一種完整的印度數(shù)系。　　這些新的數(shù)字符號(hào)，最初是在何時(shí)和如何引進(jìn)歐洲的，即使到了現(xiàn)在也還沒(méi)有弄清：但是考古學(xué)家認(rèn)為，這些符號(hào)十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家們帶過(guò)來(lái)的。在十世紀(jì)西班牙書稿中就發(fā)現(xiàn)有這些符號(hào)，它們可能是由阿拉伯人傳到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了這個(gè)半島，直到1492年還在那里。通過(guò)花拉子密的專著的十二世紀(jì)拉丁文譯本以及后來(lái)歐洲人的有關(guān)著作，這一完整的數(shù)系得到廣泛的傳播?！　≡谑兰o(jì)以后的四百年中，提倡這數(shù)系的珠算家與算法家展開(kāi)了競(jìng)爭(zhēng)，到公元1500年左右，我們現(xiàn)有的計(jì)算規(guī)則獲得優(yōu)勢(shì)。在這以后的一百年中，珠算家?guī)缀醣蝗诉z忘，到了十八世紀(jì)在西歐就見(jiàn)不到算盤的蹤跡了。算盤作為一個(gè)奇妙的東西再次出現(xiàn)于歐洲，是法國(guó)幾何學(xué)家JV蓬斯菜（Poncelet）在拿破侖計(jì)伐俄國(guó)的戰(zhàn)爭(zhēng)中當(dāng)了俘擄，被釋放后，把一個(gè)算盤的樣品帶回了法國(guó)?！　∮《劝⒗?dāng)?shù)系中的數(shù)字符號(hào)曾多次變異，只是由于印刷業(yè)的發(fā)展，才開(kāi)始穩(wěn)定下來(lái)的。英語(yǔ)中的zero（零）這個(gè)詞可能是從阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演變過(guò)來(lái)的；而阿拉伯文 sifr又是從印度文中表示無(wú)和空的詞sunya翻譯過(guò)來(lái)。阿拉伯文sifr在十三世紀(jì)由奈莫拉里烏斯（Nemorarius）引進(jìn)到德國(guó)，寫作cifra，由此我們得到現(xiàn)在的字cipher（零）。人身上的尺子我們每個(gè)人身上都攜帶著幾把尺子。假如你“一拃”的長(zhǎng)度