大一高等數學期末考試題精編匯總題-資料下載頁
2025-04-04 04:00本頁面
【正文】 仍為無窮小，有a+4b=0解出：a=4/3 b=1/3 代入求得極限A＝8/34．函數的極小值點為 。解：駐點,在駐點處y’’0,故駐點為極小值點。5．設f (x) = x lnx在x0處可導，且f’(x0)=2,則 f (x0)= ?！〗猓簞tf(x)在x=0取得 （填極大值或極小值）。解：二、 是否連續(xù)？是否可導？并求f(x)的導函數。解：當x0及x0時，f(x)為初等函數，連續(xù)。三、 三、 解下列各題1．解：原式＝.2．；解：原式＝3．,求此曲線在x=2 的點處的切線方程,及。解：四、 四、 試確定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在點(1,1)處有拐點，且在x=0處有極大值為1，并求此函數的極小值。解：五、 五、 若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數，求有最大面積的直角三角形。解：設所給直角邊為x,斜邊與其之和為L，則六、 六、 證明不等式：七、 七、 y=f(x)與y=sin(x)在原點相切，求極限八、 八、 設 f (x)在[0,1]上連續(xù)且在 (0,1 ) 內可導，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.證明：(1)至少有一點ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ。(2)l206。R ，存在h206。(0,x)，使得f’(h)l[f(h)h]=1證：（1）令F(x)=f(x)x,則f在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導，F（1/2）=f(1/2)1/20F(1)=f(1)1=010,∴在(1/2,1)內至少有一點x，使F（x ）=0,即f (x)=x.。(2) 證：一、 一、 選擇題（每題4分，共16分）1．（ D ）。A； B； C； D、2．設在處可導，且，則（ B ）。A； B； C； D、。 3．若是的一個原函數，則（ D ）。A； B；C； D、。4．已知函數在處取得極值，則（ B ）。A、且為函數的極小值點；B、且為函數的極小值點；C、且為函數的極大值點；D、且為函數的極大值點。 二、填空題（每題5分，共20分）1． 。2．。3．。4．設為向量，為實數。若，^，^，則。三、計算下列各題（每題9分，共45分）1．求極限。解：2．函數由方程確定，求。解： 又，得。3．求定積分。解：4．求過點且與平面和平行的直線方程。解：。5．設，求。解：， ，四、（7分）長為的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵絲各為多長時，正方形的面積與圓的面積之和最小？解：設正方形的邊長為，則正方形的面積與圓的面積之和為。所以兩段鐵絲分別為時，正方形的面積與圓的面積之和最小。五、解答下列各題（每小題4分，共12分）1．設曲線，軸以及軸所圍區(qū)域被曲線分成面積相等的兩部分，求。解：由，2．設函數在上連續(xù)，且。判斷方程在內有幾個實根？并證明你的結論。解：，在上連續(xù)，所以在內有一個零點。又，在上是單調遞增的，所以在內有唯一零點，即在內有唯一實根。設函數在上可導，且，求證在內至少存在一點，使得。解：，在上可導。由，存在，使得，即。由Roll定理，存在，使得，即。高等數學第一學期半期試題解答（05）一． 一． （共20分）試解下列各題：1．。解：2．。解：3．設。則a= 4 , A= 6 4．函數的極小值點。5. 二． 二． （10分）若是奇函數且x=0在可導,在x=0是什么類型的間斷點？說明理由。三． 三． （共20分）求下列極限1．；解：原式＝2.；解：原式＝3． ,求此曲線在x=2 的點處的切線方程,及。四． 四． （10分）證明：當時。五． 五． （10分）求內接于橢圓，且底邊與x軸平行的等腰三角形之面積的最大值。解：六． 六． （10分）證明：方程在（0，1）上必有唯一的實根(n2)，并求。證： 七． 七． （10分）確定常數a、b,使極限存在，并求出其值。解：要使極限存在，分子與分母應是極限過程中的同階無窮小或高階無窮小，于是有1＋a+b=0，用一次羅必達法則分子仍為無窮小，有a+4b=0解出：a=4/3 b=1/3 代入求得極限為8/3八． 八． （10分）設f (x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可微，且 f (a) = f (b) =0,證明：對。證明：構造函數F(x)=elx f (x) 則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可微F (a) = F (b) =0由羅爾定理即有 證畢。
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