【正文】 線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180176。，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180176。，∴∠B=3∠C；由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；（3）由（2）知設(shè)∠A=4176。，∵∠C是好角，∴∠B=4n176。；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn176。，其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180∴如果一個三角形的最小角是4176。，三角形另外兩個角的度數(shù)是172；168；1160；4132；88176。、88176。．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題）．解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．　16．（2011?房山區(qū)一模）已知：等邊三角形ABC（1）如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120176。．試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊△ABC內(nèi)一點，且∠APD=120176。．求證：PA+PD+PC＞BD．【考點】等邊三角形的性質(zhì)；等式的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）AP=BP+PC，理由是延長BP至E，使PE=PC，連接CE，由∠BPC=120176。，推出等邊△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60176。，根據(jù)已知等邊△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根據(jù)三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出結(jié)論；（2）在AD外側(cè)作等邊△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再證△AB′C≌△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CB′=BD即可．【解答】猜想：AP=BP+PC，（1）證明：延長BP至E，使PE=PC，連接CE，∵∠BPC=120176。，∴∠CPE=60176。，又PE=PC，∴△CPE為等邊三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60176。，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，∠BCA=60176。，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．（2）證明：在AD外側(cè)作等邊△AB′D，則點P在三角形ADB′外，連接PB39。，B39。C，∵∠APD=120176?！嘤桑?）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60176。，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．【點評】本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系，等式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．　17．（2010?丹東）如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動）．（1）如圖1，當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側(cè)時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；動點型；探究型．【分析】（1）可通過全等三角形來證明EN與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60176。，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60176。加上一個∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120176。，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F(xiàn)，E在同一直線上．（2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結(jié)論仍然成立．【解答】解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上，（2）成立．連接DF，NF，證明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60176。，∠FDN+∠MDF=60176。，∴∠BDM=∠FDN，在△DBM和△DFN中，∴△DBM≌△DFN，∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60176。，∴NF∥BD，∵E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BD，∴F在直線NE上，∵BF=EF，∴MF=EN．（3）如圖③，MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）．連接DF、DE，由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，在△DNE和△DMF中，∴△DNE≌△DMF，∴MF=NE．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)/三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理得出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．　18．（2006?西崗區(qū)）如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的關(guān)系．說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．①畫出將△ACM繞某一點順時針旋轉(zhuǎn)180176。后的圖形；②∠BAC=90176。（如圖）附加題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關(guān)系．【考點】等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；分類討論．【分析】（1）分三種情況討論，當(dāng)∠BAC=90176。，易得△ABC≌△AED；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得ED=2AM；進(jìn)而可以在∠BAC＞90176。與∠BAC＜90176。時，比較可得有ED=2AM的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，選?、谝椎么鸢福窘獯稹拷猓海?）分三種情況；當(dāng)∠BAC=90176。，M是BC的中點∴AM=BM=MC=∠EAD=∠BAC=90176。，AE=AB，AC=AD∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM當(dāng)∠BAC＞90176。，易得ED=2AM當(dāng)∠BAC＜90176。，易得ED=2AM（2）已知（1）的結(jié)論，若∠BAC=90176。，可得ED=2AM附加：結(jié)合上題可得：2AM=DE延長CA到F使AF=AC，連接BF易證△ABF≌△ADE∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．【點評】本題為探究性題目，要求學(xué)生能全面考查可能出現(xiàn)的情況，并依次求出其中的關(guān)系．　19．（2006?大連）如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明．畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉(zhuǎn)90176。后圖形；點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）．附加題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【考點】等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；動點型．【分析】（1）要證DF=EF，就要證出∠FDE=∠FED，也就是∠BDA=∠NEC，觀察這兩個角，不能直接用角的大小關(guān)系或全等來得出相等，那么可通過構(gòu)建全等三角形來得出一個和兩個分別相等的中間值，以此來證出兩角相等，那么可過C作CP⊥AC，那么我們可通過證三角形ABD和APC全等來得出∠ADB=∠ACP，通過證三角形CPN和CEN全等來得出∠MEC=∠NPC．先看第一對三角形，已知的條件有AB=AD，一組直角，而∠ABD和∠PAC都是∠ADB的余角，因此∠ABD=∠PAD，那么兩三角形就全等，可得出AC=PC=CE，∠ADB=∠NPC，又知道了∠NCE=∠PCN=45176。，一條公共邊CN，那么后面的一對三角形也全等，就能得出∠ADB=∠MEC=∠NPC，也就能得出∠FDE=∠FED了由此可得證．（2）解題思路和（1）一樣，也是先證三角形ABD和APC全等，后證三角形CPN和CEN全等，來得出結(jié)論．【解答】解：△DEF是等腰三角形證明：如圖，過點C作CP⊥AC，交AN延長線于點P∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90176。，∠ACB=45176。∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90176?！唷螦BD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN∴∠CEN=∠ADB∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形．附加題：△DEF為等腰三角形證明：過點C作CP⊥AC，交AM的延長線于點P∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90176。，∠ACB=45176。∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90176?！唷螦BD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠D=∠P∵AD=EC，CE=CP又∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠E∴∠D=∠E∴△DEF為等腰三角形．【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)；通過已知和所求條件正確的構(gòu)建出全等三角形是解題的關(guān)鍵．　第33頁（共33頁）