數(shù)論之同余問題-資料下載頁(yè)
2025-03-25 03:09本頁(yè)面
【正文】 ，則可能為、其中只有符合(3)，經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意．如果，那么…(4)，則可能為、其中沒有符合(4)的．如果，那么，，因此這時(shí)不可能符合題意．綜上所述，是本題唯一的解．【例 8】 一個(gè)大于1的數(shù)去除290，235，200時(shí)，得余數(shù)分別為，，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】 根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290，233，195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為）．既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0．那么這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又是的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因?yàn)?7和38的公約數(shù)只有19和1，而這個(gè)數(shù)大于1，所以這個(gè)自然數(shù)是19．【鞏固】 一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【解析】 這個(gè)自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又大于10，這個(gè)自然數(shù)只能是17或者是34．如果這個(gè)數(shù)是34，那么它去除90、16220后所得的余數(shù)分別是2216，不符合題目條件；如果這個(gè)數(shù)是17，那么他去除90、16220后所得的余數(shù)分別是116，符合題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是17．【例 9】 甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393．某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍．求等于多少？【解析】 根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 由于，要消去余數(shù), , ,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減．這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4．于是我們可以得到下面的式子： 這樣余數(shù)就處理成相同的．最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被整除．，．51的約數(shù)有151，其中3顯然不滿足，檢驗(yàn)17和51可知17滿足，所以等于17．【鞏固】 一個(gè)自然數(shù)除4279500所得的余數(shù)分別是、求這個(gè)自然數(shù)和的值. 【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為的數(shù)：，、這樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是，故同余.將這三個(gè)數(shù)相減，得到、所求的自然數(shù)一定是和的公約數(shù)，而，所以這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，當(dāng)這個(gè)自然數(shù)是時(shí)，除、所得的余數(shù)分別為、時(shí)成立,所以這個(gè)自然數(shù)是，.課后練習(xí)：練習(xí)1. (2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_______．【解析】 因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為，所以，被除數(shù)為練習(xí)2. (全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)六張卡片上分別標(biāo)上1191251841861912494六個(gè)數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另—個(gè)人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________．
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