【正文】 處于同一條無差異曲線上而對消費(fèi)者具有相同的偏好。消費(fèi)者在的價(jià)格空間下選擇而不選擇（實(shí)際上根據(jù)假定和是無差異的），根據(jù)顯示性偏好公理，可知此時(shí)選擇的支出至少不會比選擇的支出高，即：亦即： ①同理，消費(fèi)者在的價(jià)格空間下選擇而不選擇，可知此時(shí)選擇的支出至少不會比選擇的支出高，即：亦即： ②將①式和②式相加就可以得到： ③假設(shè)商品的價(jià)格保持不變，即，則③式就可以寫成：。不取等號是因?yàn)樯唐返膬r(jià)格和數(shù)量同時(shí)變動，所以二者乘積必不為零。此式亦可以寫成：。這就是當(dāng)商品價(jià)格變動所引起的替代效應(yīng)，并且符號一定為負(fù)。24．設(shè)某消費(fèi)者面臨兩時(shí)期的消費(fèi)決策。效用函數(shù)是，兩時(shí)期的收入分別為。確定消費(fèi)者的各個(gè)時(shí)期的消費(fèi)量，并指出消費(fèi)者在第一期將會借入還是會貸出。解：該消費(fèi)者面臨的最優(yōu)決策問題為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)可得：一階條件為：解得：?？梢?，該消費(fèi)者在第一期既沒有借入也沒有貸出。26．假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為：，為食品的消費(fèi)量，為所有其他商品的消費(fèi)量。假設(shè)食品的價(jià)格為，所有其他商品的價(jià)格為，收入為元。（1）求最優(yōu)的食品需求量。食品對該消費(fèi)者來說是低檔品嗎？食品對該消費(fèi)者來說是吉芬商品嗎？（2）在許多國家，窮人的食品消費(fèi)得到政府的補(bǔ)貼。常見的補(bǔ)貼辦法是，政府向窮人出售食品券，當(dāng)然，食品券的價(jià)格低于食品的市場價(jià)格。假如我們這里考慮的消費(fèi)者是一個(gè)受補(bǔ)貼的窮人。而且食品券的價(jià)格為，食品的市場價(jià)格為。所有其他商品的價(jià)格被標(biāo)準(zhǔn)化為。消費(fèi)者的收入為。問得到補(bǔ)貼后，消費(fèi)者的消費(fèi)行為會發(fā)生怎樣的變化？解：（1）由消費(fèi)者均衡條件可以得到：，即。將該式代入預(yù)算約束方程，可得最優(yōu)消費(fèi)數(shù)量。由于，所以食品屬于正常商品。由于，價(jià)格與需求量反向變動，符合需求法則，所以食品不是吉芬商品。（2）當(dāng)，發(fā)放補(bǔ)貼時(shí)，，此時(shí)：，而不發(fā)補(bǔ)貼時(shí)，，此時(shí)：，可見，發(fā)放補(bǔ)貼的結(jié)果是使得食品的消費(fèi)增加了一倍，而其他商品的消費(fèi)支出并不會發(fā)生變化。27．一個(gè)人年輕時(shí)候的收入為，一生分為兩個(gè)時(shí)期，，，這些參數(shù)都大于0。（1）求效用最大化時(shí)兩個(gè)時(shí)期分別消費(fèi)多少，并用圖形表示。（2）當(dāng)和變大時(shí)，、怎么變，并用圖形表示。（3）當(dāng)增大時(shí)，、怎么變，并用圖形表示。解：（1）這個(gè)兩時(shí)期最優(yōu)消費(fèi)問題可以重新表述為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：效用最大化的一階條件為：聯(lián)立上述兩個(gè)式子，可得：代入預(yù)算約束方程，可得跨時(shí)期最優(yōu)消費(fèi)數(shù)量為：。如圖27所示：圖27 跨期消費(fèi)的最優(yōu)決策（2）由上題，可以看出，當(dāng)變大時(shí)，變小，變大，如圖28所示。圖28 變大對跨期消費(fèi)的影響當(dāng)變大時(shí)，不發(fā)生變化，變大，如圖29所示。圖29 利率上升對跨期消費(fèi)決策的影響（3）當(dāng)增大時(shí)，都會變大，如圖210所示。圖210 收入增加對跨期消費(fèi)決策的影響28．假設(shè)存在一個(gè)社會，這個(gè)社會由三個(gè)消費(fèi)者組成，分別是3。同時(shí)該社會存在著兩種商品，分別為和。經(jīng)濟(jì)學(xué)家Debreu對這三個(gè)消費(fèi)者的消費(fèi)行為進(jìn)行分析，他認(rèn)為3的偏好可以分別用如下的效應(yīng)函數(shù)來表示：1：；2：；3：。（1）請畫出消費(fèi)者1的無差異曲線以及偏好的上等值集。（2）假如商品和商品的價(jià)格分別是2單位貨幣和3單位貨幣，同時(shí)消費(fèi)者1擁有120單位貨幣，試計(jì)算他對和的最優(yōu)消費(fèi)數(shù)量。（3）證明：消費(fèi)者2和消費(fèi)者3的偏好是一致的。（4）現(xiàn)在假設(shè)商品和的價(jià)格分別為，消費(fèi)者2擁有1單位貨幣，請計(jì)算他的消費(fèi)選擇。（5）用公式和圖像給出消費(fèi)者3對于商品的收入消費(fèi)路徑。解：（1）令效用函數(shù)等于一個(gè)固定的效用常數(shù)，可得消費(fèi)者1的無差異曲線為：。這樣消費(fèi)者1的無差異曲線以及上等值集就可以畫成如圖211的形式。圖211 無差異曲線和偏好的上等值集（2）消費(fèi)者1的效用最大化問題可以表述成：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階條件為：解得：。（3）證明：對效用函數(shù)進(jìn)行線性變換的結(jié)果依然是同一偏好的效用函數(shù)。對消費(fèi)者2的效用函數(shù)取自然對數(shù)可以得到：再令，就可以得到消費(fèi)者3的效用函數(shù)為：可見，這兩個(gè)函數(shù)是同一偏好的效用函數(shù)，兩個(gè)消費(fèi)者的偏好關(guān)系是一致的。（4）消費(fèi)者2的效用最大化問題可以表述成：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：上式分別對和求偏導(dǎo)就可以得到效用最大化的一階條件，最終求解出：（5）由于偏好一致，所以消費(fèi)者3和消費(fèi)者2的收入消費(fèi)路徑是一樣的。設(shè)消費(fèi)者2的收入為，同（4），可求得。當(dāng)?shù)膬r(jià)格不變時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系就是商品的收入消費(fèi)路徑，二者是完全的線性關(guān)系，如圖212所示。圖212 收入消費(fèi)路徑29．某消費(fèi)者的偏好由以下效用函數(shù)描述：。其中是的自然對數(shù)。商品1和商品2的價(jià)格分別為，消費(fèi)者的收入為。（1）寫出消費(fèi)者的最大化問題。（2）求出需求函數(shù)。（3）設(shè)，畫出每種商品與此價(jià)格相應(yīng)的恩格爾曲線，該曲線描述了商品需求和收入之間的關(guān)系（經(jīng)濟(jì)學(xué)家習(xí)慣上把價(jià)格作為縱坐標(biāo)）。（4）設(shè)，畫出商品1的需求曲線，該曲線描述了商品需求和價(jià)格之間的關(guān)系（經(jīng)濟(jì)學(xué)家習(xí)慣上把價(jià)格作為縱坐標(biāo)）。（5）判斷商品1和商品2是互補(bǔ)品還是替代品，是正常商品還是吉芬商品。解：（1）消費(fèi)者效用最大化問題可以表述成：（2）由上面的最優(yōu)化條件可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：分別對、求偏導(dǎo)，可得一階條件為：進(jìn)而可以求得需求函數(shù)為：。（3）當(dāng)時(shí)。恩格爾曲線如圖213所示。圖213 恩格爾曲線（4）設(shè)當(dāng)，時(shí)，商品1的需求曲線如圖214所示。圖214 商品1的需求曲線（5）由前面的計(jì)算可知：?？梢?，商品1和商品2的需求只取決于商品自身的價(jià)格和消費(fèi)者的收入水平，而與另一種商品的價(jià)格無關(guān)，兩種商品是無關(guān)聯(lián)商品。另外，兩種商品的需求都是消費(fèi)者收入的增函數(shù)和自身價(jià)格的減函數(shù)，所以，兩種商品都是正常商品，其需求符合需求法則。30．有一筆年度總額為的高校教育研究基金，現(xiàn)有個(gè)研究項(xiàng)目申請資助，為第個(gè)研究項(xiàng)目獲得的資助，為非負(fù)?；鸸芾碚邚倪@個(gè)研究項(xiàng)目中所獲得的總的回報(bào)為：，其中，均大于0。記。試問此基金管理者如何分配這筆研究基金？（1）寫出最優(yōu)化問題以及一階必要條件（庫恩—塔克條件）。（2）證明：如果，則有部分資金沒有被分配出去。（3）證明：如果，則每一個(gè)項(xiàng)目都獲得了資助。（4）證明：如果第個(gè)項(xiàng)目受到了資助，而第個(gè)項(xiàng)目沒有受到資助，則一定有。解：（1）這個(gè)最優(yōu)化問題可以表述為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階必要條件為：，，證明：（2）由于，因此有。由（1）中的一階必要條件有：，所以。對該不等式求和有：?？梢?，此時(shí)必有一部分資金沒有被分配出去。（3）如果，則。此時(shí)由可得。可見，此時(shí)每一個(gè)項(xiàng)目都獲得了資助。（4）由假設(shè)，再聯(lián)系，可得，即，于是有，即。31．設(shè)效用函數(shù)為。如果，當(dāng)對不同的收入水平提供賭局時(shí)，這個(gè)人將會是風(fēng)險(xiǎn)偏好、風(fēng)險(xiǎn)中性還是風(fēng)險(xiǎn)厭惡？解：令消費(fèi)者的收入為，則該消費(fèi)者效用最大化問題可以表述為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：通過對該最優(yōu)化問題的求解，可以得到：。因而間接效用函數(shù)就成為如下的形式：。則：。由于，效用函數(shù)為凹函數(shù)，因此，這個(gè)人表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的特性。32．一居民有財(cái)富10萬元，包括2萬元的摩托車，他有25%的可能車被盜，假定他的效用函數(shù)為：，其中表示財(cái)富價(jià)值。求：（1）他的效用期望。（2）根據(jù)（1）判斷他是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避還是風(fēng)險(xiǎn)愛好？（3）如果有全保，他最多愿意出多少錢？（4）在該保險(xiǎn)費(fèi)中，公平的保險(xiǎn)費(fèi)（即他的期望損失）為多少？保險(xiǎn)公司在扣除公平的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是多少？解：（1）該居民的期望效用為：（2），效用函數(shù)嚴(yán)格凹，故該戶居民是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者。（3）繳納保險(xiǎn)費(fèi)后，居民的財(cái)富確定為；不繳納保險(xiǎn)費(fèi)。由得，元，故居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保險(xiǎn)費(fèi)為（萬元），故保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是434元。33．若無差異曲線是一條斜率為的直線，且已知消費(fèi)者的收入為，兩種商品和的價(jià)格分別為。求解消費(fèi)者均衡時(shí)的最優(yōu)商品組合。解：消費(fèi)者均衡的必要條件為：。由于無差異曲線為斜率是的直線，所以可見：當(dāng)時(shí)，預(yù)算線與無差異曲線重合，此時(shí)預(yù)算線上的任何點(diǎn)都是最優(yōu)的商品組合；當(dāng)時(shí)，預(yù)算線斜率大于無差異曲線的斜率，此時(shí)最優(yōu)的商品組合是預(yù)算線與縱軸的交點(diǎn)，最優(yōu)的商品組合為；當(dāng)時(shí)，預(yù)算線斜率小于無差異曲線的斜率，此時(shí)最優(yōu)的商品組合是預(yù)算線與橫軸的交點(diǎn)，最優(yōu)的商品組合為。34．某消費(fèi)者的效用函數(shù)為，為其初始財(cái)富，現(xiàn)有投硬幣的賭博，當(dāng)其猜中時(shí)，其財(cái)富為，而猜錯(cuò)，則財(cái)富為。而硬幣正面向上的概率為，正面向下的概率為，試確定其最優(yōu)的賭注。當(dāng)時(shí)，其還會再賭博嗎？賭多少？并確定該消費(fèi)者的風(fēng)險(xiǎn)偏好類型。解：（1）最優(yōu)財(cái)富滿足的為最優(yōu)。（2）當(dāng)時(shí)，所以若當(dāng)時(shí)，該消費(fèi)者會賭，即時(shí)才會賭，故該消費(fèi)者不會賭。（3）根據(jù)阿羅普拉特絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避度量：，故該消費(fèi)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型。（也可直接根據(jù)判斷效用函數(shù)為凹函數(shù)）35．某人的收入為10000元，全部用于購買商品和，其中，效用函數(shù)為。假設(shè)個(gè)人收入稅率為10%，商品的消費(fèi)稅率為20%。為實(shí)現(xiàn)效用極大化，該人對商品、的需求量分別為多少？解：該消費(fèi)者可用于消費(fèi)支出的收入為元。商品的實(shí)際價(jià)格為，故預(yù)算約束為，即。代入效用函數(shù)得：效用極大化的條件為：解得或。當(dāng)時(shí)，不符合題意，故舍去。故商品和的最優(yōu)消費(fèi)數(shù)量分別為。以上內(nèi)容為跨考網(wǎng)整理的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同學(xué)還想獲得更多經(jīng)濟(jì)學(xué)課后習(xí)題資料，可以關(guān)注微信公眾平臺索要經(jīng)濟(jì)學(xué)考研資料,你想要的資料都在這兒→jjxkyzs。 想了解經(jīng)濟(jì)學(xué)考研高分的秘密嗎？請點(diǎn)擊:經(jīng)濟(jì)學(xué)考研解題技巧跨考經(jīng)濟(jì)學(xué)考研輔導(dǎo)提醒您: 成功的原因千千萬,失敗的原因就那么幾個(gè)，加入我們的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研交流群，考研經(jīng)驗(yàn)交流，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，鎖定名校一次進(jìn)!985/211歷年真題解析,答案,核心考點(diǎn)講義,你想要的都在這→ 經(jīng)濟(jì)學(xué)歷年考研真題及詳解