常微分計算題及解答-資料下載頁
2025-03-25 01:12本頁面
【正文】 積分之得 或者 故方程的全部解為 和 .6解：令 原方程化為 即 積分得到 .6解：令 則 代入原方程得：化簡得 解得 故通解為 .6解：（解法一）將原方程重新改寫為 由于 令 方程化為 分離變量可得 即 或者 兩邊積分 .（解法二）由于方程兩端關于是二次齊次函數，故可作變換代入方程后得 消去 不顯含，令 得到伯努利方程 令 所以 兩邊積分 因此通解為 或者改寫 .70、解：原方程對應齊次方程特征方程為，所以對應齊次方程通解為 自由項 是單重特征根。自由項 不是特征根 。故令 代入原方程兩端比較系數得 故方程的通解為 .7解：相應齊次方程的特征方程為 故，齊次方程的通解為 。非齊次方程的特解可令為 。故 即 得 , 代入(1)得 .所以 .故原方程的通解為 . 。7解：設 代入后得到 滿足 其特征方程，齊次方程的通解為 。設特解為。 滿足解得 于是 所以原方程的通解為 。7解：令，則 原方程化為 。 即 。特征方程為 通解為 或 。7解：令，則原方程化為 ，特征根為。自由項不是特征根，故特解自由項不是特征根，故特解。設 。代入方程后 通解為 或者 。7解：（解法一）由 兩端對求導，得 可將原方程化為 特征方程為 ， 齊次方程通解為 。 自由項 不是特征根。設 代入方程解得 其通解為 （為任意常數）原方程的通解為 。（解法二）也可由 代入原放后得方程 以下解法同解法一。7解：由（2）式解得 （3）代入（1）得到 或 （4）相應特征方程 齊次方程通解為 自由項 不是特征根。設 代入方程（4）得到 ，得 。故方程（4）的通解為 代入（3）式得到即原方程通解為 。7解：由（3）式正是一階常系數微分方程，特征方程，故代入（2） （4）特征方程 。而自由項 不是特征根。設，解得： 。故方程（2）可解出 代入（1）式得到 （5） 特征方程為 自由項中不是特征根，是單重特征根，故設特解為 。代入（5）得得 ，方程（5）的通解為 最后可寫出方程組的通解為 7解：系數矩陣的特征方程是求得特征值為 。相應于的特征向量滿足 解之得 。相應于的特征向量滿足 解之得。由此得方程組的通解為 。7解：系數矩陣的特征方程為求得特征值為 。相應于的特征向量滿足 即。所以，特征向量可取為 相應于的特征向量滿足 即。所以，特征向量可取為 由此得方程組的通解為 。80、解：把方程組改寫為 為系數矩陣的特征方程解之，得特征值為 。相應于的特征向量滿足 解之得。不妨取，則。那么，對應的解為 相應于的特征向量滿足 解之得。不妨取。那么，對應的解為 于是，方程組的通解為 。20
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