【正文】 的電場(chǎng)可以近似地表示為，及均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻躍遷到電離態(tài)的幾率。 解：①當(dāng)電離后的電子動(dòng)能為零時(shí)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的單色光的頻率最小，其值為 ②時(shí)，氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)為 在時(shí)刻， 微擾 其中在時(shí)刻躍遷到電離態(tài)的幾率為 對(duì)于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項(xiàng)，故不考慮第一項(xiàng)， Oθαxyz（） 其中取電子電離后的動(dòng)量方向?yàn)閆方向，取、所在平面為面，則有 ∴ ，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即 求經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。 解：對(duì)于2p態(tài)，可取三值，其相應(yīng)的狀態(tài)為 氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從躍遷到的幾率之和。 由 (取方向?yàn)閆軸方向) = 0 = 0 由上述結(jié)果可知， ∴ 當(dāng)時(shí)， 其中。 解： 由選擇定則，知是禁戒的 故只需計(jì)算的幾率 而 2p有三個(gè)狀態(tài)，即 (1)先計(jì)算z的矩陣元 (2)計(jì)算x的矩陣元 (3)計(jì)算的矩陣元 (4)計(jì)算 計(jì)算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時(shí)所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度。 解： 若 ，則 解： 由 時(shí)， 即選擇定則為 補(bǔ)充練習(xí)三 一維無限深勢(shì)阱中的粒子受到微擾 作用，試求基態(tài)能級(jí)的一級(jí)修正。 解：基態(tài)波函數(shù)（零級(jí)近似）為 ∴能量一級(jí)修正為 具有電荷為的離子，在其平衡位置附近作一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在光的照射下發(fā)生躍遷。設(shè)入射光的能量為。其波長(zhǎng)較長(zhǎng)，求： ① 原來處于基態(tài)的離子，單位時(shí)間內(nèi)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。 ②討論躍遷的選擇定則。 （提示：利用積分關(guān)系 答：① ②僅當(dāng)，所以諧振子的偶極躍遷的選擇定則是） 解：① ∴ (對(duì)于一維線性諧振子～) 其中 一維線性諧振子的波函數(shù)為 ∴ ∴ ② 躍遷幾率，當(dāng)時(shí)的躍遷為禁戒躍遷。 可見，所討論的選擇定則為。電荷e的諧振子，在時(shí)處于基態(tài)，時(shí)處于弱電場(chǎng)之中(為常數(shù))，試求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)的幾率。 解：取電場(chǎng)方向?yàn)檩S正方向，則有 當(dāng)經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間以后，即當(dāng)時(shí)。 ∴ 實(shí)際上在以后即可用上述結(jié)果。第七章 自旋與全同粒子：證：由對(duì)易關(guān)系 及 反對(duì)易關(guān)系 ， 得 上式兩邊乘，得 ∵ ∴ 求在自旋態(tài)中，和的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系： 解：在表象中、的矩陣表示分別為 ∴ 在態(tài)中 討論：由、的對(duì)易關(guān)系 [，] 要求 ①在態(tài)中， ∴ 可見①式符合上式的要求。 解：的久期方程為 ∴ 的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 ，得由歸一化條件 ，得即 ∴ 對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 由歸一化條件，得 即 ∴ 對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為 同理可求得的本征值為。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為 求自旋角動(dòng)量方向的投影 本征值和所屬的本征函數(shù)。 在這些本征態(tài)中，測(cè)量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？解：在 表象，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為 即 所以的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則由歸一化條件，得 可見， 的可能值為 相應(yīng)的幾率為 同理可求得 對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)為在此態(tài)中，的可能值為 相應(yīng)的幾率為 ①求軌道角動(dòng)量z分量和自旋角動(dòng)量z分量的平均值； ②求總磁矩 的 z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。解：ψ可改寫成從ψ的表達(dá)式中可看出的可能值為 0相應(yīng)的幾率為 的可能值為 相應(yīng)的幾率為 一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？解：體系可能的狀態(tài)有4個(gè)。設(shè)兩個(gè)單粒子態(tài)為，則體系可能的狀態(tài)為 證明和組成的正交歸一系。解： =0同理可證其它的正交歸一關(guān)系。 設(shè)兩電子在彈性輳力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，每個(gè)電子的勢(shì)能是。如果電子之間的庫(kù)侖能和相比可以忽略，求當(dāng)一個(gè)電子處在基態(tài)，另一電子處于沿x方向運(yùn)動(dòng)的第一激發(fā)態(tài)時(shí)，兩電子組成體系的波函數(shù)。解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S方程 考慮到 ，令其中 ， 對(duì)于基態(tài)，對(duì)于沿χ方向的第一激發(fā)態(tài)， 兩電子的空間波函數(shù)能夠組成一個(gè)對(duì)稱波函數(shù)和一個(gè)反對(duì)稱波函數(shù)，其形式為而兩電子的自旋波函數(shù)可組成三個(gè)對(duì)稱態(tài)和一個(gè)反對(duì)稱態(tài)，即 和綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數(shù)應(yīng)是反對(duì)稱波函數(shù)，即獨(dú)態(tài)： 三重態(tài)： 主要參考書：[1] 周世勛，《量子力學(xué)教程》，高教出版社，1979[2] 張宏寶編 量子力學(xué)教程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書，69