【正文】 的電場可以近似地表示為，及均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率。 解：①當電離后的電子動能為零時，這時對應的單色光的頻率最小，其值為 ②時，氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)為 在時刻， 微擾 其中在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率為 對于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項，故不考慮第一項， Oθαxyz（） 其中取電子電離后的動量方向為Z方向，取、所在平面為面，則有 ∴ ，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即 求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。 解：對于2p態(tài)，可取三值，其相應的狀態(tài)為 氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從躍遷到的幾率之和。 由 (取方向為Z軸方向) = 0 = 0 由上述結果可知， ∴ 當時， 其中。 解： 由選擇定則，知是禁戒的 故只需計算的幾率 而 2p有三個狀態(tài)，即 (1)先計算z的矩陣元 (2)計算x的矩陣元 (3)計算的矩陣元 (4)計算 計算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時所發(fā)出的光譜線強度。 解： 若 ，則 解： 由 時， 即選擇定則為 補充練習三 一維無限深勢阱中的粒子受到微擾 作用，試求基態(tài)能級的一級修正。 解：基態(tài)波函數(shù)（零級近似）為 ∴能量一級修正為 具有電荷為的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧振動，在光的照射下發(fā)生躍遷。設入射光的能量為。其波長較長，求： ① 原來處于基態(tài)的離子，單位時間內(nèi)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。 ②討論躍遷的選擇定則。 （提示：利用積分關系 答：① ②僅當，所以諧振子的偶極躍遷的選擇定則是） 解：① ∴ (對于一維線性諧振子～) 其中 一維線性諧振子的波函數(shù)為 ∴ ∴ ② 躍遷幾率，當時的躍遷為禁戒躍遷。 可見，所討論的選擇定則為。電荷e的諧振子，在時處于基態(tài)，時處于弱電場之中(為常數(shù))，試求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)的幾率。 解：取電場方向為軸正方向，則有 當經(jīng)過很長時間以后，即當時。 ∴ 實際上在以后即可用上述結果。第七章 自旋與全同粒子：證：由對易關系 及 反對易關系 ， 得 上式兩邊乘，得 ∵ ∴ 求在自旋態(tài)中，和的測不準關系： 解：在表象中、的矩陣表示分別為 ∴ 在態(tài)中 討論：由、的對易關系 [，] 要求 ①在態(tài)中， ∴ 可見①式符合上式的要求。 解：的久期方程為 ∴ 的本征值為。設對應于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 ，得由歸一化條件 ，得即 ∴ 對應于本征值的本征函數(shù)為 設對應于本征值的本征函數(shù)為 由本征方程 由歸一化條件，得 即 ∴ 對應于本征值的本征函數(shù)為 同理可求得的本征值為。其相應的本征函數(shù)分別為 求自旋角動量方向的投影 本征值和所屬的本征函數(shù)。 在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？解：在 表象，的矩陣元為其相應的久期方程為 即 所以的本征值為。設對應于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則由歸一化條件，得 可見， 的可能值為 相應的幾率為 同理可求得 對應于的本征函數(shù)為在此態(tài)中，的可能值為 相應的幾率為 ①求軌道角動量z分量和自旋角動量z分量的平均值； ②求總磁矩 的 z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。解：ψ可改寫成從ψ的表達式中可看出的可能值為 0相應的幾率為 的可能值為 相應的幾率為 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構成？解：體系可能的狀態(tài)有4個。設兩個單粒子態(tài)為，則體系可能的狀態(tài)為 證明和組成的正交歸一系。解： =0同理可證其它的正交歸一關系。 設兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是。如果電子之間的庫侖能和相比可以忽略，求當一個電子處在基態(tài)，另一電子處于沿x方向運動的第一激發(fā)態(tài)時，兩電子組成體系的波函數(shù)。解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S方程 考慮到 ，令其中 ， 對于基態(tài)，對于沿χ方向的第一激發(fā)態(tài)， 兩電子的空間波函數(shù)能夠組成一個對稱波函數(shù)和一個反對稱波函數(shù)，其形式為而兩電子的自旋波函數(shù)可組成三個對稱態(tài)和一個反對稱態(tài)，即 和綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數(shù)應是反對稱波函數(shù)，即獨態(tài)： 三重態(tài)： 主要參考書：[1] 周世勛，《量子力學教程》，高教出版社，1979[2] 張宏寶編 量子力學教程學習輔導書，69