【正文】 平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程①在廣義力代入①得：②在極坐標(biāo)系下：③故 將以上各式代入②式得 又由于所以①取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢面 ②拉氏函數(shù)③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得：.(1)由于細(xì)管以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.(2)取廣義坐標(biāo).(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能取初始水平面為零勢能面，勢能:拉氏函數(shù)①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.②特解為故①式的通解為③在時(shí)： ④⑤聯(lián)立④⑤得將代回式③可得方程的解為： .（1）按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故自有度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)，.（3）在柱坐標(biāo)系中：以面為零勢能面，則：拉氏函數(shù)①（4）因?yàn)椴伙@含，所以為循環(huán)坐標(biāo)，即常數(shù)②對另一廣義坐標(biāo)代入保守系拉氏方程③有得④所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為（為常數(shù)）所以.（1）體系自由度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)（3）質(zhì)點(diǎn)的速度劈的速度故體系動(dòng)能以面為零勢面，體系勢能：其中為劈勢能.拉氏函數(shù)①（4）代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③聯(lián)立②，③得 解 （1）本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動(dòng)，自由度（2）選取廣義坐標(biāo)（3）根據(jù)剛體力學(xué)其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選為零勢面，體系勢能：其中C為常數(shù).拉氏函數(shù)(4)代入保守系拉氏方程得：對于物體，有 . （1）棒作平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束，故自由度.（2）選廣義坐標(biāo)（3）力學(xué)體系的動(dòng)能根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成又故設(shè)為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑，代入①得動(dòng)能②（4）由③（其中）則④因?yàn)?、在約束條件下任意且獨(dú)立，要使上式成立，必須：⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得：⑥又代入一般形式的拉氏方程得：⑦⑥、⑦兩式為運(yùn)動(dòng)微分方程（6）若擺動(dòng)角很小，則，代入式得：，代入⑥⑦式得：⑧又故代入⑧式得：（因?yàn)榻呛苄?，故可略去?xiàng)） (1)由于曲柄長度固定，自由度.(2)選廣義坐標(biāo)，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：①(3)系統(tǒng)動(dòng)能②（4）由定義式③（5）代入①得：得 . （1）因體系作平面平行運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束方程：(2)體系自由度，但不做功，為保守體系（3）體系動(dòng)能：輪平動(dòng)動(dòng)能輪質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能輪質(zhì)心動(dòng)能輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.①以地面為零勢面，體系勢能則保守系的拉氏函數(shù)②(1)因?yàn)椴伙@含，得知為循環(huán)坐標(biāo).故=常數(shù)③開始時(shí)：則代入得又時(shí)，所以 （1）本系統(tǒng)作平面平行運(yùn)動(dòng)，干限制在球殼內(nèi)運(yùn)動(dòng)，自由度；選廣義坐標(biāo)，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明①（2）體系動(dòng)能=球殼質(zhì)心動(dòng)能+球殼轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+桿質(zhì)心動(dòng)能+桿繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能②其中代入②得以地面為零勢面，則勢能：（其中為常數(shù)）(3)因?yàn)槭茄h(huán)坐標(biāo)，故常熟③而代入①式得④聯(lián)立③、④可得（先由③式兩邊求導(dǎo)，再與④式聯(lián)立）⑤⑤試乘并積分得：又由于當(dāng) .（1）由已知條件可得系統(tǒng)自由度.（2）取廣義坐標(biāo).（3）根據(jù)剛體力學(xué)，體系動(dòng)能：①又將以上各式代入①式得：設(shè)原點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，所以體系勢能體系的拉氏函數(shù)②(1)因?yàn)轶w系只有重力勢能做工，因而為保守系，故可采用③代入③式得即（5）解方程得 （1）由題設(shè)知系統(tǒng)動(dòng)能①取軸為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢能拉氏函數(shù) ②（2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即③同理又代入上式得④令代入③④式得：欲使有非零解，則須有解得周期 （1）系統(tǒng)自由度（2）取廣義坐標(biāo)廣義速度（3）因?yàn)槭俏⒄饎?dòng)，體系動(dòng)能：以為勢能零點(diǎn)，體系勢能拉氏函數(shù)（4）即①同理②同理③設(shè)代入①②③式得欲使有非零解，必須解之又故可得周期 （1）體系自由度（2）取廣義坐標(biāo)廣義速度（3）體系動(dòng)能體系勢能體系的拉氏函數(shù)（4）體系中只有彈力做功，體系為保守系，可用①將以上各式代入①式得： ②先求齊次方程③設(shè)代入③式得要使有非零，必須即又故通解為：其中又存在特解有②③式可得式中及為積分常數(shù)。：以速度我廣義速度，根據(jù)定義①根據(jù)公式（）又有①得 取在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的速度為廣義速度，則在固定坐標(biāo)系中的速度：，自由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，設(shè)質(zhì)點(diǎn)勢能為，則質(zhì)點(diǎn)的拉氏函數(shù)根據(jù)定義：在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中：上式中為質(zhì)點(diǎn)的位矢，為質(zhì)點(diǎn)相對于固定坐標(biāo)系的速度。：取在廣義坐標(biāo)根據(jù)教材（）和（）式得動(dòng)能：勢能：根據(jù)定義式故因?yàn)楣实脼榈诙€(gè)第一積分.同理即得為第三個(gè)第一積分., ①根據(jù)定義②得③根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入③式后可求得:④由正則方程得:⑤⑥代入⑤得整理得 , ⑴小球的位置可由確定,故自由度⑵選廣義坐標(biāo),廣義速度.⑶小球動(dòng)能又由①式得設(shè)小球勢能為V,取固定圓球中心O為零勢點(diǎn),則小球拉氏函數(shù)=①根據(jù)定義有根據(jù)正則方程④⑤對式兩邊求時(shí)間導(dǎo)得：故小球球心切向加速度167。：①根據(jù)泊松括號(hào)的定義：②所以同理可知：, 由②得：同理可得：, 因?yàn)楣释砜汕蟮茫杭匆驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗?(1)小環(huán)的位置可以由角唯一確定，因此體系的自由度，取廣義坐標(biāo)，廣義速度。小球的動(dòng)能：以為勢能零點(diǎn)，則小環(huán)勢能 所以拉氏函數(shù) （2）由哈密頓原理故所以又由于所以因?yàn)槭侨我獾?，所以有被積式為0，即化簡得 ，設(shè)，體系的拉氏函數(shù)①根據(jù)哈密頓原理故 ②因?yàn)樗杂忠驗(yàn)棰垡驗(yàn)槭侨我獾?，所以?，復(fù)擺位置可由角度唯一確定，自由度，取廣義坐標(biāo)，設(shè)為復(fù)擺重心與懸點(diǎn)之間的距離。復(fù)擺的動(dòng)能：取為勢能零點(diǎn)，則勢能：復(fù)擺的拉氏量：①由哈密頓原： 故又因?yàn)?②因?yàn)榈娜我庑运杂校?根據(jù)已知很小，③可求得：其中為初相位。周期，體系拉氏函數(shù)①根據(jù)哈密頓原理：故 ②因?yàn)榇擘谑降茫核? ③又因?yàn)?，且和的任意性所以所以運(yùn)動(dòng)微分方程為：常數(shù)因?yàn)槟负瘮?shù)不是的顯函數(shù)，為正則變換。為母函數(shù)，故為正則變換。又且當(dāng)，變?yōu)闀r(shí)證：由①又故②由于代入②式得得所以存在母函書使：因此，這種變換是正則變換.解:由于故①②由②得又有又③④又故⑤當(dāng)時(shí),由③式得:即當(dāng)時(shí),1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考