【正文】 因此同余式的3個解為, , . （4）.解 因為(7,8,9)=1,（5）. (參考上題)三、證明題 如果整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).證明 設是一正整數(shù),并將寫成10進位數(shù)的形式:=,. 因為100(mod5), 所以我們得到 所以整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù). 證明當是奇數(shù)時，有.證明 因為,所以. 于是,當是奇數(shù)時,我們可以令.從而有, 即. 初等數(shù)論模擬試題四一、計算： 判斷同余式是否有解？(答：無解。方法參照題2)判斷同余式是否有解？解 我們?nèi)菀字?847是素數(shù),所以只需求的值.如果其值是1,則所給的同余式有解,否則無解. 因為,所以 .再,所以 , 所以, =1. 于是所給的同余式有解. 11的平方剩余與平方非剩余.解 因為,所以平方剩余與平方非剩余各有5個. 又因為 ,, 所以,1，3，4，5，2，6，7，8，10是素數(shù)11的平方非剩余. 計算,其中563是素數(shù)., 即429是563的平方剩余. 計算（計算方法參照題4）二、證明題： 證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.證明 因為, 所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由2,1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,177。1,177。2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T 所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。 證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.證明 設是正數(shù),并且, 如果, 則因為對于模4,只與0,1,2,1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, 而這與的假設不符, 即定理的結(jié)論成立. 一個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)與一個平方數(shù)的乘積,仍然是兩個平方數(shù)的和。兩個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)的乘積,也是一個兩個平方數(shù)和的數(shù).（11分）證明 （1）設,則顯然. （2）如果,那么 = =. 素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是唯一的.證明 設,則 ==.所以 . 如果,那么,將其代入前面的表達式,則有 .所以,即必有,.如果,那么,我們將其代入前面的表達式后與上面的方法一致,即必有,所以 初等數(shù)論考試試卷1一、單項選擇題(每題3分，共18分)如果，則( ).A B C D 如果，則15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定如果,是任意整數(shù),則A B C T D 如果( ),則不定方程有解.A B C D 整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或9二、填空題(每題3分，共18分)素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（ ）.同余式有解的充分必要條件是( ).如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( ).的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( ).如果是兩個正整數(shù),則存在( )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)求[136,221,391]=?求解不定方程.解同余式.求,其中563是素數(shù). （8分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.試卷1答案一、單項選擇題(每題3分，共18分)D. A C A A B 二、填空題(每題3分，共18分)素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（唯一的）.同余式有解的充分必要條件是().如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( 與互素 ).的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( 倍數(shù) ).如果是兩個正整數(shù),則存在( 唯一 )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分) 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[]=[1768,391] (4分) = =104391=40664. （4分）求解不定方程.（8分） 解：因為（9，21）=3，所以有解； （2分） 化簡得； （1分）考慮，有， （2分）所以原方程的特解為， （1分）因此，所求的解是。 （2分）解同余式. （8分）解 因為(12,45)=3166。5,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. （1分）又同余式等價于,即. （1分）我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3),（2分）. （1分）因此同余式的3個解為, （1分）, （1分）.（1分）求,其中563是素數(shù). （8分）解 把看成Jacobi符號,我們有（3分）（2分）,（2分）即429是563的平方剩余. （1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因為==, （3分）而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), （2分）并且(2,3)=1, （1分）所以從和有,（3分）即是整數(shù). （1分）證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除. （11分） 證明 因為, （3分）所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由2,1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,177。1,177。2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T （7分）所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。 （1分）證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和. （11分） 證明 設是正數(shù),并且, （3分）如果, （1分）則因為對于模4,只與0,1,2,1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, （4分）而這與的假設不符, （2分）即定理的結(jié)論成立. （1分） 72 / 7