【正文】 數(shù)后面的0的個(gè)數(shù)互不相同，但都是偶數(shù)個(gè)，且它們的和恰好為，那么除以99的余數(shù)就等于分成的這些數(shù)除以99的余數(shù)的和．由于這些數(shù)除以99的余數(shù)分別為1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差為2002的等差數(shù)列，共450項(xiàng)，可知所有這些余數(shù)的和為： ，而248804130除以99的余數(shù)等于除以99的余數(shù)，為3．所以除以99的余數(shù)為3．【鞏固】 將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位數(shù)：1234567891011121320072008，試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù)．【解析】 以19992000這個(gè)八位數(shù)為例，它被9除的余數(shù)等于被9除的余數(shù)，但是由于1999與被9除的余數(shù)相同，2000與被9除的余數(shù)相同，所以19992000就與被9除的余數(shù)相同．由此可得，從1開始的自然數(shù)1234567891011121320072008被9除的余數(shù)與前2008個(gè)自然數(shù)之和除以9的余數(shù)相同．根據(jù)等差數(shù)列求和公式，這個(gè)和為：，它被9除的余數(shù)為1．另外還可以利用連續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和必能被9整除這個(gè)性質(zhì)，將原多位數(shù)分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等數(shù)，可見它被9除的余數(shù)與2008被9除的余數(shù)相同．因此，此數(shù)被9除的余數(shù)為1．【例 20】 (2008年清華附中考題)已知n是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少？【解析】2008能夠整除，所以的余數(shù)是2007．【鞏固】 的末三位數(shù)是多少？【解析】 首先，僅考慮后三位數(shù)字，所求的數(shù)目相當(dāng)于的平方再乘以的末三位．而，其末三位為；然后來看前者．它是一個(gè)奇數(shù)的平方，設(shè)其為 (k為奇數(shù))，由于，而奇數(shù)的平方除以8余1，所以是8的倍數(shù)，則是200的倍數(shù)，設(shè)，則，所以它與105的乘積，所以不論m的值是多少，所求的末三位都是625．【例 21】 有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10，第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8，求兩個(gè)三位數(shù)的和?！窘馕觥?本題條件僅給出了兩個(gè)乘數(shù)的數(shù)字之和，同時(shí)發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分?jǐn)?shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù)。因?yàn)檫@是一個(gè)一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個(gè)三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么□1031除以9的余數(shù)也必須為8，□，即所以兩個(gè)三位數(shù)是143和217，那么兩個(gè)三位數(shù)的和是360【例 22】 設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？【解析】 由于一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5．另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為5或14，的各位數(shù)字之和為5，即．課后練習(xí)：練習(xí)1. (2002年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_______．【解析】 因?yàn)楸怀龜?shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為，所以，被除數(shù)為。練習(xí)2. 已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個(gè)？【解析】 本題為一道余數(shù)與約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式的小綜合性題目。由題意所求的自然數(shù)一定是200810即1998的約數(shù)，同時(shí)還要滿足大于10這個(gè)條件。這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個(gè)大于10的約數(shù)，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16個(gè)約數(shù)，其中1，2，3，6，9是比10小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個(gè)。練習(xí)3. (全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)六張卡片上分別標(biāo)上1191251841861912494六個(gè)數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另—個(gè)人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________．(第五屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競賽初賽) 【解析】 根據(jù)“甲、乙二人各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另一個(gè)人的2倍”可知，甲、乙手中五張卡片上的數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)．計(jì)算這六個(gè)數(shù)的總和是，10565除以3余2；因?yàn)榧?、乙二人手中五張卡片上的?shù)之和是3的倍數(shù)，那么丙手中的卡片上的數(shù)除以3余2．六個(gè)數(shù)中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的數(shù)為1193．練習(xí)4. 求的余數(shù) 【解析】 本題為余數(shù)乘法定理的拓展模式，即數(shù)字的乘方與一個(gè)數(shù)相除的余數(shù)情況。由6443247。19余2，求原式的余數(shù)只要求的余數(shù)即可。但是如果用2247。19發(fā)現(xiàn)會(huì)進(jìn)入一個(gè)死循環(huán)，因?yàn)檫@時(shí)被除數(shù)比除數(shù)小了，所以可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，64247。19余數(shù)為7，那么求的余數(shù)就轉(zhuǎn)化為求的余數(shù)，即49247。19的余數(shù)。49247。19余數(shù)為11，所以原式的余數(shù)為11.練習(xí)5. 已知60，154，200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是，，求該自然數(shù)的值．【解析】 根據(jù)題意可知，自然數(shù)61，154，201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是，．由于，所以自然數(shù)與同余；由于，所以與201同余， 所以除數(shù)是和的公約數(shù)，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法可得到 ，該除數(shù)為29．經(jīng)檢驗(yàn)成立．練習(xí)6. (香港圣公會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有三所學(xué)校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所學(xué)校初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍；；還有一所學(xué)校高中、初中人數(shù)相等．三所學(xué)?？?cè)藬?shù)是5480人，那么A?？?cè)藬?shù)是________人．【解析】 三所學(xué)校的高中生分別是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A?；駽校初中人數(shù)，該校總?cè)藬?shù)是奇數(shù)，而按照給出條件得出其他兩?？?cè)藬?shù)都是偶數(shù)，與三?？?cè)藬?shù)5480是偶數(shù)矛盾，．三校初中的總?cè)藬?shù)是，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．從余數(shù)來看，就斷定初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍，只能是C校．所以，A?？?cè)藬?shù)是 (人) ．月考備選【備選1】除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是．求出符合條件的所有的兩位數(shù)．【解析】 ，那么符合條件的所有的兩位數(shù)有，因?yàn)椤坝鄶?shù)小于除數(shù)”,所以舍去，答案只有?！緜溥x2】有一個(gè)自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33．求這個(gè)數(shù)是多少？【解析】 由于這個(gè)數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543345，并且得到的商為33．所以所求的數(shù)為．【備選3】 (2001年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)若2836，4582，5164，6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為_______．【解析】 設(shè)除數(shù)為A．因?yàn)?836，4582,5164，6522除以A的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被A整除．又因?yàn)橛鄶?shù)是兩位數(shù)，所以A至少是兩位數(shù)．，因?yàn)?，所以A是194的大于10的約數(shù)．194的大于10的約數(shù)只有97和194．如果，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符．如果，經(jīng)檢驗(yàn)，余數(shù)都是23，除數(shù)余數(shù)．【備選4】除以7的余數(shù)是多少？【解析】 除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：．【備選5】一個(gè)自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，并且三個(gè)商數(shù)的和是570，求這個(gè)自然數(shù)．【解析】 這個(gè)數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，所以這個(gè)數(shù)加上6后能被7，8，9整除，而，所以這個(gè)數(shù)加上6后是504的倍數(shù)．由于這個(gè)數(shù)被7，8，9除的三個(gè)商數(shù)的和是570，那么這個(gè)數(shù)加上6后被被7，8，9除的三個(gè)商數(shù)的和是，而，所以這個(gè)數(shù)加上6等于504的3倍，這個(gè)數(shù)是．