【正文】 的，從零初速度加速，再減速，并停止在終點(diǎn) 。 非線性插值相當(dāng)于，前半段由零初速度加速，后半段減速到零末速度。頭尾段速度小，插值點(diǎn)較密集。中間段速度大，插值點(diǎn)較稀疏。 3．參數(shù)插值 非線性插值無(wú)法控制加減速。參數(shù)插值可以控制加減速。 （ 1）平方插值 （ 2）立方插值 （ 3） Hermite插值 ? 平方插值使用一個(gè)控制點(diǎn)， Vc。立方插值使用兩個(gè)控制點(diǎn)， Vc和 Vd。 Hermite插值使用的兩個(gè)控制點(diǎn)R1,R2分別為在開(kāi)始和結(jié)束點(diǎn) v1,v2的微分（速率）。 ? 4．形狀內(nèi)插 如果要求曲線 A經(jīng)過(guò)動(dòng)畫變成曲線 B。就是要內(nèi)插各中間時(shí)間的曲線。直線 A和直線 B，作線性內(nèi)插得到中間直線。 方法是 A， B線上各取若干對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（數(shù)值），使用上述方法插值，找到它們的內(nèi)插點(diǎn)。在把同一時(shí)刻的各個(gè)內(nèi)插點(diǎn)聯(lián)接成曲線，就是這一時(shí)刻的內(nèi)插曲線。 形狀內(nèi)插不僅可以適用于兩條曲線，也可以適用于兩個(gè)屈面，或兩個(gè)物體。形狀內(nèi)插的第一步是，在一對(duì)曲線上確定若干對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。第二步是，對(duì)于每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，利用點(diǎn)的內(nèi)插方法，找到多個(gè)內(nèi)插點(diǎn)。第三步是，把同一時(shí)刻的各個(gè)內(nèi)插點(diǎn)連成內(nèi)插曲線。 5．自由變形 FFD 自由變形 (FreeForm Deformation, FFD)用于物體形狀的內(nèi)插，得到變形進(jìn)程。它使用控制點(diǎn)的 3D點(diǎn)陣。通過(guò)改變控制點(diǎn)，來(lái)改變物體形狀。 （ 1） 1D坐標(biāo)變形 （ 2） 2D形狀變形 （ 3） 3D形狀變形 自由變形是由控制點(diǎn)的位置，控制對(duì)象的形狀。如果控制點(diǎn)內(nèi)插，得到控制點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程，就可以得到對(duì)象形狀變化的過(guò)程 6．關(guān)鍵幀動(dòng)畫 關(guān)鍵幀動(dòng)畫概念來(lái)自傳統(tǒng)的卡通片制作。在迪斯尼制作室中，動(dòng)畫師設(shè)計(jì)卡通片中的關(guān)鍵畫面，即關(guān)鍵幀。然后，由助理動(dòng)畫師設(shè)計(jì)中間幀。在三維計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中，計(jì)算機(jī)利用插值方法設(shè)計(jì)中間幀。另一種動(dòng)畫設(shè)計(jì)方法是樣條驅(qū)動(dòng)動(dòng)畫，用戶給定物體運(yùn)動(dòng)的軌跡樣條。關(guān)鍵幀動(dòng)畫有下列技術(shù)問(wèn)題 ： （ 1）弧長(zhǎng)參數(shù)化 關(guān)鍵幀插值中，給定物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，求出物體在每一幀畫面中的位置。物體運(yùn)動(dòng)軌跡一般由參數(shù)樣條表示。如果對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行等間隔采樣，可能造成運(yùn)動(dòng)的不均勻性。為了使物體沿著樣條勻速運(yùn)動(dòng)，必須建立弧長(zhǎng)與樣條參數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 （ 2）插值過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制 關(guān)鍵幀插值與純數(shù)學(xué)插值不同。關(guān)鍵幀插值應(yīng)該產(chǎn)生逼真的運(yùn)動(dòng)效果，并給用戶提供方便的控制手段。用戶必須能夠通過(guò)調(diào)整插值函數(shù)來(lái)改變運(yùn)動(dòng)的速度和加速度。 （ 3）物體姿態(tài)的插值 物體的姿態(tài)一般由歐拉角表示。因此，姿態(tài)的插值問(wèn)題就是三個(gè)歐拉角的插值。但是歐拉角表示有局限性。它的旋轉(zhuǎn)矩陣是不可交換的，基于歐拉角的旋轉(zhuǎn)要按特定的次序進(jìn)行。此外，等量的歐拉角變化不一定引起等量的旋轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)的不均勻。歐拉角還可能造成自由度的喪失。Shoemake把四元數(shù)引入到動(dòng)畫中，并提出用單位四元數(shù)空間上的 Bezier樣條來(lái)插值四元數(shù)。 ? 7．漸變和變形物體動(dòng)畫 動(dòng)畫的一個(gè)特點(diǎn)是物體的形狀變形。例如電影“終結(jié)者 II”中，機(jī)械殺手 T1000由液體變成金屬人，由金屬人變成其他角色。 （ 1）變形 變形技術(shù)包括： 與物體表示有關(guān)的變形 、 與物體表示無(wú)關(guān)的變形 、 基于約束的變形 、 軸變形 。 與物體表示有關(guān)的變形，可以作用于由多邊形表示的物體?？梢酝ㄟ^(guò)移動(dòng)多邊形頂點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。但是不適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)可能導(dǎo)致三維走樣，例如原來(lái)共面的多邊形變成不共面的。 與物體表示無(wú)關(guān)的變形，可以作用于由多邊形表示的物體，也可以作用于由參數(shù)曲面表示的物體。一種方法是Sederberg提出的最實(shí)用的 自由變形方法 FFD。它不是直接對(duì)物體變形，而是對(duì)物體嵌入的空間進(jìn)行變形。 FFD方法中的 lattice塊的形狀為平行六面體，這限制了它的應(yīng)用。先對(duì)物體嵌入的 lattice塊的控制頂點(diǎn)設(shè)置動(dòng)畫，再把變形傳播到物體本身。自由變形也可以用于臉部表情動(dòng)畫，科學(xué)計(jì)算可視化等領(lǐng)域。 基于約束的變形，是為了解決 FFD的不足。在FFD中， lattice變形和物體變形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系并不直觀。 Borrel和 Rappoport提出了 簡(jiǎn)單約束變形法 。用戶定義一系列約束點(diǎn)、所需的偏移量和影響區(qū)域半徑，在每個(gè)約束點(diǎn)處定義一個(gè)以該點(diǎn)為中心的局部 B樣條基函數(shù)，該函數(shù)在影響區(qū)域外取值為 0。 該方法計(jì)算量小，在工作站上可實(shí)時(shí)交互。 軸變形，也是為了解決 FFD的不足。在 FFD中，控制點(diǎn)較多時(shí)交互性就較差。 Lazarus提出了基于軸的變形。它用物體軸線的變形來(lái)控制物體的變形。對(duì)軸線設(shè)置動(dòng)畫是很容易的。用該方法仿真魚的游動(dòng)，取得了很好的效果。 （ 2）漸變（ morphing） (如 fishmorph例子 ) 上述的變形，是一個(gè)物體的形狀變化。不給定物體最終形狀。下述的漸變，是物體由一種形狀逐漸變化為另一種形狀。給定物體最終形狀。 兩個(gè)二維多邊形之間的漸變，一般采用頂點(diǎn)間的線性插值。但生成的多邊形可能產(chǎn)生自交和不應(yīng)有的收縮。 Sederberg提出了 基于物理的二維形狀漸變 。把形狀看成為由電線框組成，求解所需能量最小的形變解。 兩個(gè)二維圖像之間的漸變，有 Wolberg的網(wǎng)格變形技術(shù)。他用 B樣條網(wǎng)覆蓋在數(shù)字圖像上，然后移動(dòng) B樣條網(wǎng)的控制頂點(diǎn)來(lái)控制圖像的漸變。 Beier和 Neely提出了 基于特征的自然漸變技術(shù) 。它允許動(dòng)畫師對(duì)漸變進(jìn)行直觀控制，交互地指定漸變中的圖像特征，達(dá)到預(yù)期的效果。 兩個(gè)三維圖像之間的漸變，與物體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有密切聯(lián)系。已經(jīng)有很多有關(guān)的研究。 Blinn和Nishimura提出 基于元球的造型方法 ，這是應(yīng)用最廣的隱式曲面方法。復(fù)雜的人體只需大約 500個(gè)元球。元球是具有密度的特殊的球，一組元球的密度為該組中所有元球密度之和，對(duì)應(yīng)的三維模型可表達(dá)為由等密度面圍成的體。通過(guò)位置、方向、大小和密度的巧妙控制，可以用元球生成復(fù)雜的形體。采用元球造型，物體變形能以自然的方式進(jìn)行 ? 4． 4． 2 過(guò)程動(dòng)畫 過(guò)程動(dòng)畫是用過(guò)程來(lái)描述動(dòng)畫中物體的運(yùn)動(dòng)或變形。簡(jiǎn)單的過(guò)程動(dòng)畫，用一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述。另一類過(guò)程動(dòng)畫，采用特殊方法，如 粒子系統(tǒng)和群體運(yùn)動(dòng) 。 （ 1）粒子系統(tǒng) (參看例子 OpenGL編程 ) 粒子建模用于建模水流、雨雪、火焰等自然現(xiàn)象。它用大量離散的粒子建模模糊的對(duì)象。為產(chǎn)生逼真的圖形，它要求有效的反走樣，并花費(fèi)大量繪制時(shí)間。 Reeves提出了模擬不規(guī)則模糊物體的景物生成系統(tǒng)。一個(gè)物體由一系列粒子來(lái)表示。每個(gè)粒子都要經(jīng)歷 “出生”、“運(yùn)動(dòng)和生長(zhǎng)”、“死亡” 三個(gè)階段。動(dòng)畫劇本可以控制粒子的位置和速度，還控制粒子外形參數(shù)，如顏色、大小和透明度等。粒子系統(tǒng)體現(xiàn)了不規(guī)則物體的動(dòng)態(tài)性和隨機(jī)性，可以產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)進(jìn)化的畫面， 模擬火、云、水等自然現(xiàn)象 。 ? 例如虛擬風(fēng)洞的實(shí)時(shí)可視化。軟件要計(jì)算氣體的流線。粒子會(huì)沿著流線運(yùn)動(dòng)。每幀顯示中，粒子移動(dòng)的距離正比于速度和時(shí)間間隔。當(dāng)粒子跨越到另一流線，就會(huì)沿著另一流線運(yùn)動(dòng)。 粒子不必建模為多面體，只要建模為一個(gè)有色的點(diǎn)。每個(gè)粒子只要保存位置、顏色、出生時(shí)間、壽命。例如在火焰中的粒子，不斷產(chǎn)生、上升、消失。 （ 2）群體運(yùn)動(dòng) 許多動(dòng)物（如鳥和魚）以群體的方式運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)有隨機(jī)性，又有一定的規(guī)律性。 Reynolds提出的群體動(dòng)畫解決了這個(gè)問(wèn)題。群體行為包含兩個(gè)對(duì)立的因素，既要相互靠近，又要避免碰撞。他用三條 優(yōu)先級(jí)遞減 的原則控制群體的行為： 1） 碰撞避免原則 ，避免與相鄰的群體成員相碰； 2） 速度匹配原則 ，盡量匹配相鄰群體成員的速度； 3） 群體合群原則 ，群體成員盡量靠近。 （ 3） 水波的模擬 （ 參看例子 OpenGL編程 ） 水波模擬的簡(jiǎn)單方法是用正弦波，通過(guò)設(shè)置振幅和相位等參數(shù)可以 控制效果 ?？梢杂萌S空間的正弦波狀曲面來(lái)造型水波。 4． 4． 3 關(guān)節(jié)動(dòng)畫 關(guān)節(jié)動(dòng)畫可用于人體動(dòng)畫。 （ 1）正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法 （ 2）逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法 （ 3）動(dòng)力學(xué)中的控制問(wèn)題 （ 4）時(shí)空約束動(dòng)畫 （ 1）正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是設(shè)置關(guān)節(jié)動(dòng)畫的有效方法。通過(guò)對(duì)關(guān)節(jié)角設(shè)置關(guān)鍵幀，得到相關(guān)聯(lián)的各肢體的位置，這是正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法。 一種實(shí)用的解決方法是實(shí)時(shí)紀(jì)錄真人各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)。這就是運(yùn)動(dòng)捕獲。為了克服運(yùn)動(dòng)捕獲方法缺乏靈活性的缺點(diǎn)， Witkin通過(guò)混合動(dòng)畫曲線來(lái)編輯捕獲的數(shù)據(jù)，從而可能建立可重用的運(yùn)動(dòng)庫(kù)、運(yùn)動(dòng)過(guò)渡、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的縮放。 Gleicher提出了運(yùn)動(dòng)重定向的概念，把一個(gè)角色的動(dòng)畫賦給另一個(gè)具有相同關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的角色。 （ 2）逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法可以減少正運(yùn)動(dòng)學(xué)方法的工作。用戶指定末端關(guān)節(jié)的位置，計(jì)算機(jī)自動(dòng)計(jì)算出各中間關(guān)節(jié)的角度。隨著關(guān)節(jié)復(fù)雜性的增加，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算復(fù)雜性急劇增加，需要進(jìn)行數(shù)值求解。Boulic提出了適合關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)編輯的正向和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合的方法。他把要求的關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)插入逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)控制機(jī)制中，動(dòng)畫師可以對(duì)已有的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)作交互的基于目標(biāo)的修改。 （ 3）動(dòng)力學(xué)中的控制問(wèn)題 與運(yùn)動(dòng)學(xué)相比，動(dòng)力學(xué)方法能生成更復(fù)雜更逼真的運(yùn)動(dòng)，而且需要指定的參數(shù)較少，但是計(jì)算量很大，而且難以控制。動(dòng)力學(xué)方法的一個(gè)重要問(wèn)題是對(duì)運(yùn)動(dòng)的控制。若沒(méi)有有效的控制，用戶就必須提供力和力矩這樣的控制指令，這幾乎是不可能的。一種方法是預(yù)處理法，把所需的約束和控制轉(zhuǎn)換成適當(dāng)?shù)牧土?，然后包括到?dòng)力學(xué)方程中。另一種方法將約束以方程形式給出。如果約束方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，則可以用稀疏矩陣法快速求解。如果系統(tǒng)是欠約束的，就會(huì)有無(wú)窮多解。 （ 4）時(shí)空約束動(dòng)畫 動(dòng)畫師的一種任務(wù)是，指定關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，使之以符合物理規(guī)律的方式達(dá)到給定的目標(biāo)，例如投籃球到球框中。為此， Witkin提出了時(shí)空約束方法。動(dòng)畫師指定角色的任務(wù)，角色的物理結(jié)構(gòu)（如幾何、質(zhì)量、連接性質(zhì)等），角色利用的物理資源（如肌肉）。這些描述， 加上牛頓定律，構(gòu)成一個(gè)約束的優(yōu)化問(wèn)題。問(wèn)題的解是符合物理規(guī)律的運(yùn)動(dòng)。 ? 4． 4． 4 動(dòng)力學(xué)方程的系統(tǒng)仿真 系統(tǒng)仿真技術(shù)是解決虛擬環(huán)境中物體動(dòng)態(tài)行為的動(dòng)力學(xué)方法，所以系統(tǒng)仿真是虛擬現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)技術(shù)之一。系統(tǒng)仿真技術(shù)往往承擔(dān)大型仿真任務(wù)，如武器系統(tǒng)的仿真。在大型仿真任務(wù)中，虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)是仿真可視化和人機(jī)交互的先進(jìn)工具。所以，虛擬現(xiàn)實(shí)和系統(tǒng)仿真是緊密相關(guān)和相輔相成的兩個(gè)領(lǐng)域。 1．基于微分方程求解的連續(xù)系統(tǒng)仿真 2．基于差分方程求解的離散系統(tǒng)仿真 連續(xù)系統(tǒng)仿真是把連續(xù)過(guò)程離散化，求微分方程的近似解。離散系統(tǒng)本身就是由離散的差分方程描述的，所以離散系統(tǒng)的仿真就是求解其精確解。