【正文】 x x y y y? ? ? ?0039。 1 039。 0 11 0 0 1 1x x xy y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?dyycxx ?? 39。39。???????????????????????????????11000000139。39。yxdcyx?放縮 圖像處理與識別 39。 c o s ( ) s i n ( )39。 s i n ( ) c o s ( )x x yy x y????????39。 c o s ( ) s i n ( ) 039。 s i n ( ) c o s ( ) 01 0 0 1 1xxyy?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??旋轉(zhuǎn) 圖像處理與識別 復(fù)雜變換 右圖顯示了在失真和相應(yīng)的校正圖像中的四邊形區(qū)域，四邊的頂點(diǎn)是相應(yīng)的 “ 控制點(diǎn) ” 。假設(shè)四邊形區(qū)域中的幾何形變過程用雙線性方程對來建模，即： 1 2 3 45 6 7 8( , )( , )a x y c x c y c x y cb x y c x c y c x y c? ? ? ?? ? ? ?F D C B A F D C A B 圖像處理與識別 ? 幾何變換的應(yīng)用舉例 ? 圖像在生成過程中，由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同，會使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真。幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真。系統(tǒng)失真是有規(guī)律的、能預(yù)測的；非系統(tǒng)失真則是隨機(jī)的。 ? 但對圖像作定量分析時(shí)，就要對失真的圖像進(jìn)行幾何校正（即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像），以免影響分析精度。基本方法是先建立幾何校正的數(shù)學(xué)模型；其次利用已知條件確定模型參數(shù)；最后根據(jù)模型對圖像進(jìn)行幾何校正。通常分為兩步： ? (1)圖像空間的坐標(biāo)變換； ? (2)確定校正空間各象素的灰度值。 圖像處理與識別 傅立葉變換 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為 較簡單的運(yùn)算，人們常采用變換的方法來達(dá)到目的．例如 在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較 簡單的加法和減法運(yùn)算．在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎? 析運(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換 的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 為重要的方法之一．積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸 多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中， 例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無線電技術(shù)以及信號處理 等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用． 圖像處理與識別 所謂積分變換，就是把某函數(shù)類 A中的任意一個(gè)函數(shù) ，經(jīng)過某種可逆的積分方法（即為通過含參變量 的積分） ( ) ( ) ( , ) dbaF f t K t t??? ?變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類 B中的函數(shù) ( ),F ? ( , )Kt ?是一個(gè)確 定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核． ()F ?稱為 ()ft的像函數(shù)或簡稱為像 ， ()ft稱為 ()F ?的原函數(shù)． )(tf?這里 圖像處理與識別 在這樣的積分變換下，微分運(yùn)算可變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，原來的偏微分方程可以減少自變量的個(gè)數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像函數(shù)類 B中找到解的像；再經(jīng)過逆變換，便可以得到原來要在 A中所求的解，而且是顯式解． 另外需要說明的是，當(dāng)選取不同的積分區(qū)域和核函數(shù)時(shí)， 就得到不同名稱的積分變換 : 圖像處理與識別 7． 3 傅里葉變換定義 傅里葉變換的定義： 若 ()fx稱表達(dá)式 ? ? i( ) dxF f x e x?? ?? ???? ?（ ） 為 ()fx 的傅里葉變換式 ,記作 ( ) [ ( ) ]F F f x? ? ． 我們 稱函數(shù) ()F ? 為 ()fx的傅里葉變換，簡稱傅氏變換 滿足傅氏積分定理?xiàng)l件， （或稱為像函數(shù)）． 圖像處理與識別 傅里葉逆變換 的定義： 如果 ? ? i1 ( ) d2 πxf x F e ???????? ? () 則上式為 ()fx 的傅里葉逆變換式，記為 1( ) [ ( ) ]f x F F ???我們稱 )(xf 為 ()F ?（或稱為像原函數(shù)或原函數(shù)）． 的傅里葉逆變換，簡稱傅氏逆變換 圖像處理與識別 在實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換常常采用如下三種形式，由于 它們采用不同的定義式，往往給出不同的結(jié)果，為了便于相互 轉(zhuǎn)換，特給出如下關(guān)系式： ii1111( ) ( ) d , ( ) ( ) d2 π 2 πxxF f x e x f x F e??? ? ?? ? ? ??? ? ? ????? ii221( ) ( ) d , ( ) ( ) d2 πxxF f x e x f x F e??? ? ?? ? ? ??? ? ? ?????圖像處理與識別 i2 π i2 π33( ) ( ) d , ( ) ( ) dxxF f t e x f x F e??? ? ?? ? ? ??? ? ? ?????三者之間的關(guān)系為 1 2 311( ) ( ) ( )2 π2 π 2 πF F F ?????三種定義可統(tǒng)一用下述變換對形式描述 1( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]F F f xf x F F?????? ??圖像處理與識別 特別說明：不同書籍可能采用了不同的傅氏變換對定義， 所以在傅氏變換的運(yùn)算和推導(dǎo)中可能會相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)比如 11,2 π 2 π 讀者應(yīng)能理解．本課程采用的傅氏變換 (對 )是大量 書籍中常采用的統(tǒng)一定義 , 若未特殊申明，均使用的是第二種 定義式． ? ?? ?ii( ) d 1( ) d2 πxxF f x e xf x F e??????????????? ???? ????1( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]F F f xf x F F?????? ??圖像處理與識別 ),( 21 nxxxf ? 的傅氏變換如下： 1 1 2 21 2 1 2i ( )1 2 1 2( , , , ) [ ( , , , ) ]( , , , ) d d dnnnnx x xnnF f x x xf x x x e x x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??F它的逆變換公式為： 1 1 2 2i ( )1 2 1 2 1 21( , , , ) ( , , , ) d d d(2 π )nnx x xn n nnf x x x F e? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??圖像處理與識別 廣義傅里葉變換 前面我們定義的傅氏變換要求滿足狄利克雷條件，那么對 一些很簡單、很常用的函數(shù)，例如單位階躍函數(shù)，正、余弦函 數(shù)等都無法確定其傅氏變換．這無疑限制了傅氏變換的應(yīng)用． 所以我們引入廣義傅氏變換概念系指 ?? 函數(shù)及其相關(guān)函數(shù) 的傅氏變換． 在后面我們將看到， ? 函數(shù)的傅氏變換在求解數(shù)理方程中有 著特殊的作用． 這里先介紹其有關(guān)基本定義和性質(zhì)． 圖像處理與識別 1. ??函數(shù)定義 定義 ?? 函數(shù) 如果一個(gè)函數(shù)滿足下列條件，則稱之為 ?? 函數(shù)，并記為 ()x?0 , 0(), 0xxx???? ???? () 且 ( )d 1xx??????x()x?()x?圖像處理與識別 函數(shù)，可以看做在 x=0的一個(gè)沖激量，如果在 x=x0處有 一個(gè)沖激可以記為 ()x?0000 , (), xxxxxx????? ???? x0()xx? ?0x 且 0( )d 1x x x???????圖像處理與識別 我們不加證明地指出與定義 ?? 函數(shù)的另一定義 定義 ??函數(shù) 如果對于任意一個(gè)在區(qū)間 ( , )? ? ? ? 上連續(xù)的函數(shù) ()ft 恒有 00( ) ( ) d ( )x x f x x f x???????則稱滿足上式中的函數(shù) 0()xx? ?為 ?? 函數(shù) ， 對于任意的連續(xù)可微函數(shù) ()ft ,定義 ()x?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 圖像處理與識別 ( ) ( ) d ( ) ( ) dx f x x x f x x????? ? ? ??? ????根據(jù)上式顯然有 ( ) ( )( ) ( ) d ( 1 ) ( ) ( ) d , 1 , 2 , 3 ,n n nx f x x x f x x n????? ? ? ?? ? ???由 ??函數(shù)定義 ( ) ( ) ( )0 0 0( ) ( ) d ( 1 ) ( ) ( ) d ( 1 ) ( )n n n n nx x f x x x x f x x f x????? ? ? ?? ? ? ? ? ??? () 圖像處理與識別 二維傅里葉變換 1i2 ( )( , ) [ ( , ) ]( , ) x u y vf x y F F u vF u v e du dv??? ? ? ? ?? ? ? ??? ??二維傅立葉逆變換 i 2 ( )( , ) [ ( , ) ]( , ) u x v yF u v F f x yf x y e d x d y?? ? ? ? ??? ? ? ??? ??圖像處理與識別 ?離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 x f(x0)=f(x0+?x) 0 1 2 3 1 2 3 4 圖像處理與識別 傅立葉變換導(dǎo)言 :傅立葉變換 F(0) = 1/4Σf(x)exp[0] = 1/4[f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)] = 1/4(2 + 3 + 4 + 4) = F(1) = 1/4Σf( x)exp[j2π x/4)] = 1/4(2e0 + 3e –j2π 1/4 + 4e –j2π 2/4 + 4e –j2π 3/4) = 1/4(2 + j) F(2) = 1/4(1 + j0) F(3) = 1/4(2 + j) 圖像處理與識別 ?離散傅立葉變換的顯示 通過對傅立葉變換模，來顯示傅立葉變換圖象。由于模的值域大于顯示的值域，因此要進(jìn)行動態(tài)值域的壓縮 D(u,v) = c log(1 + |F(u,v)|) 其中： c = 255 / k。 k = max(log(1 + |F(u,v)|)) 值域 [0,k]的上限 （ 最大值 ） 圖像處理與識別 ?離散傅立葉變換的顯示 圖像處理與識別 圖像處理與識別 ?離散傅立葉變換的顯示 ——對稱平移后 圖像處理與識別 圖像處理與識別 二維傅立葉變換特性 ?可分離性 ?周期與共軛對稱 ?平移性 ?旋轉(zhuǎn)特性 ? 線性與相似性 ? 均值性 ? 拉普拉斯 ? 卷積與相關(guān) 圖像處理與識別 二維傅立葉變換特性 :可分離性 –先對行做變換： 然后對列進(jìn)行變換 f(x,y) （ 0， 0） （ N1， M1） x y F(x,v) （ 0， 0） （ N1， M1） x v F(x,v) （ 0， 0） （ N1， M1） x v F(u,v) （ 0， 0） （ N1， M1） u v 圖像處理與識別 快速傅立葉變換 : FFT算法思想 分析這些表達(dá)式得到如下的特性： （ 1）一個(gè) N個(gè)點(diǎn)的變換，能夠通過將原