【正文】 2 3,a??所以 4.9a ?例 40 計(jì)算積分 ? ? 20 2ln d.1xx xx????解 因 ? ? 20 2lnl i m 0 ,1xxxx???故積分 ? ?120 2ln d1xx xx??為定積分 . 又 ? ?120 2ln d1xx xx?? ? ?12220l n 1ln4121xxxx????? ? ?????而 : ? ?2220l n 1l i m l n4121xxxxx???????????? ?222201 l nl i m l n411xxxxx?????? ? ?????? ?2 2 201 l im l n 1 l n 0 ,4 x x x x? ??? ? ? ???所以 : ? ?120 2l n 1d l n 2 .41xx xx????同理 , 有 ? ? ? ?22 221 21l n l n 1 l n 2d l n ,4 1 4211x x x xxxxx???? ????? ? ? ???? ???所以 ? ? 20 2ln d 0 .1xx xx?????解 2 ? ?120 2ln d1xx xx??1xt? 12 221ln1d11tt ttt?????? ????????????? ? ? ?2211 22l n l nd d ,11t t x xtxtx?? ??? ? ? ?????所以 : 原積分為 0.例 41 求積分 π 4401 c os d.3x x??解 π 4401 co s d3x x?? π 440π1 cos d1 2 3 xx?? ?π40π 1 1 1 3c o s 4 c o s 2 d1 2 3 8 2 8x x x??? ? ? ??????5 π1 .96 12?? ⑴ 面積計(jì)算 ① 直角坐標(biāo)情形 設(shè)區(qū)域 由 D ? ? ? ? ? ?1 2 1 2, , ,x a x b y f x y f x f f? ? ? ? ?確定 , 則區(qū)域的面積為 : ? ?2fx? ?1fxxa byO? ? ? ?21 .dbaA f x f x x???????② 極坐標(biāo)情形 設(shè)平面區(qū)域 由曲線 D? ? ? ? ? ?1 2 1 2, , , ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?確定 , ? ?2? ? ??????? ?1? ? ??? ? ? ?22211 .2 dA ?? ? ? ? ? ???????? ⑵ 則區(qū)域的面積為 : ⑵ 體積計(jì)算 ① 已知平行截面面積的體積計(jì)算 設(shè)有一物體位于 之間 , 任一個(gè)垂 ? ?,x a x b a b? ? ?? ? d .baV A x x? ?xx? ?Axa bx ? ?,Ax直于 的平面與該物體相交的面積為 則該物體的 體積為 : ② 旋轉(zhuǎn)體體積 xyo? ?y f x?xba 設(shè)區(qū)域 由 圍成 , D ? ? ? ?, , , 0 0x a x b y f x y f? ? ? ? ?? ?2 aV f x x? ?而區(qū)域 繞 旋轉(zhuǎn)所得到的體積為 : D y? ? d2 aV x f x x? ?D x區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體 , 則體積為 ⑶ 弧長的計(jì)算 設(shè)曲線 方程為 ,C ? ? ? ? ? ?1 ,y f x C a b?? 則曲線的弧 長為 : 2 as y x????參數(shù)方程情況 : ? ? ? ?22 d .s t t t?? ???????設(shè)曲線為 : ? ?? ? ? ? xttyt?????????????則 : 極坐標(biāo)情形 : 設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為 : ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?22 d .s ?? ? ? ? ? ?????則 : ⑷ 側(cè)面積公式 設(shè)曲線 方程為 ,C ? ? ? ? ? ?1 ,y f x C a b??旋轉(zhuǎn)一周所得到的側(cè)面積為 : 則曲線繞 軸 x? ? ? ? 2 d2 π 1 .baS f x f x x??? ?????極坐標(biāo)情況 : 設(shè)光滑曲線 : ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ?? ? ?則 曲線繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的側(cè)面積為 : ? ? 222 π. ds i nS ?? ? ? ? ? ? ?????例 42 求星形線 ? ?33c os , 02 πsi nx a t ty a t? ?? ??? ???圍成圖形的面 積 , 全長 , 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的體積及側(cè)面積 . x解 ⑴面積 0 d4aA y x? ? 02 4 2π24 s i n c dosa t t t?? ?? ?π2 4 6204 s i n s dina t t t??? 23π .8 a?π2220 d4L x y t?????⑵ 全長 π204 3 s i n c o s da t t t? ?π2 206 s i n 6 .a t a??????⑶ 旋轉(zhuǎn)體體積 ? ?202 πdaxV f x x? ? π3 7 2206 s i n c o s da t t t? ?? ?π3 7 9 320 326 s in s in d t t t a? ? ??⑷ 側(cè)面積 : 2041 daS y y x? ????π2 4 2201212 π s in c o s .5d πa t t t a???例 43 作半徑為 的球外切正圓錐 , 問此圓錐的高 為多 r hxyBAOC D解 設(shè)底圓半徑為 , , , ,R C D O C r O B R O A h? ? ? ?則有 : ,O B C DO A A D?即 : ? ? 2 2,Rrh h r r???少時(shí) , 其體積最小 , 并求出該最小值 . 得 : xyBAOC D? ? 222,2rh rhRh rhh r r?????由此 : ? ?222ππ ,3 3 2rhV h R hhr?? ?求導(dǎo)得 : ? ?? ?222π4 ,3 2r h rhVhhr?? ??令其為零 , 得 4 , 0 .h r h?? 由于極小值一定存在 , 所以 當(dāng) 時(shí) , 取極小值 , 且極小值為 4hr? V? ? ? ?2234π84 π.3 4 2 3rrV r rrr?? ? ⑴ 功 物體作直線運(yùn)動過程中受到變力 的作用 , 則 ? ?Fx變力所作的功為 : ? ? F x x? ?⑵ 水壓力 ⑶ 引力 例 44 某閘門的形狀與大小入圖所示 , 其中直線 為對稱 l為 閘門矩形部分的高 5:4, hlxy111h?hO2yx?A BCD解 閘門矩形部分所受到的水壓 2yx?,ABCD軸 , 閘門的上部為矩形 下部為拋物線 與 AB線段 圍成 , 當(dāng)水面與閘門的上端起平時(shí) , 欲使閘門矩 形部分所承受的水壓力與閘門下部所承受的水壓力之比 應(yīng)為多少米 ? 力為 : ? ?11 121 dhP g h y y??? ? ??? ? 12 211, hg h y gh?? ???? ? ? ? ???閘門下部所承受的水壓力為 : ? ?12 021 dP g h y y y?? ? ?? 124,3 15gh?????????由題意 : 125 ,4PP ?即 ? ?2 5,4 / 3 2 / 1 5 4hh??得 12,3hh??（舍去） 即 , 取 （米 ） . 2h?四、微分方程 ⑴ 可分離變量的微分方程 ? ? ? ? ,y f x g y? ?⑵ 一階線性微分方程 ? ? ? ?y P x y Q x? ?? ，公式解 : ? ? ? ? ? ?dde e d .P x x P x xy Q x x C? ???????????⑶ 齊次方程 ? ?, yy f x y x? ??? ?? ????解法 : 令變換 : ,yu x?則有 d,dddyuuxxx??代入到方程中去 : ? ?dd .uu x ux ???即 ? ? .dd ux u ux ???從而化為一個(gè)變量可分離的微分方程 . ⑷ Bernoulli方程 ? ? ? ? ? ? 0 , 1dy P x y Q x ydx ? ?? ? ?解法 : 做代換 則 于是方程成為 1 ,zy ???? ?ddd ,d1zy yxx ?? ???? ? ? ? ? ? ? ?d 1d P x z Q xx ??? ? ? ?此為一階線性微分方程 . 求出通解后 , 再代入 1 ,zy ???則得到原方程的通解 . 例 43 求解下列微分方程 : ⑴ 223423d d 0 .x y xxyyy???解 方程變形后為 : 2 2 2d 3 3 x x y xxyy y y?? ? ?即 : 22d3.dxx yyy? ? ?? ?33dd2 e e dyyyyx y y C?????? ? ??????此為一階線性微分方程 , 由公式解得 : 321 dy y Cy?????????? y??⑵ 1 e d e 1 d 0 .xxyy xxyy?? ??? ? ? ??? ??????解 方程變形后為 : 1de.d1exyxyxyxy?????????????????令 ,xu y?則 d1e,d 1 euuuuuyy????即 : d 1 ee,d 1 e 1 euuuuu u uyuy? ? ?? ? ???1 e 1d d ,euu uyuy? ???? ?l n e l n ,uu y C? ? ? ?e,u Cu y??代入 得原方程的解 : ,xu y?e.xyx y C??⑶ ? ?d 1 d .x y y x y x??解 方程變形后為 : 2d .dyyyxx??此為伯努利方程 . 令 : 1,zx?? 則有 : d 1.dzzxx? ? ?得 : ? ?l n ,z x x C? ? ?即 : 1 ??例 44 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?1 , ,f x C? ? ? ? ? , 1 ,y f x x??? ?0 , 1y x t t? ? ?所圍成的區(qū)域繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到 x? ? ? ? ? ?2π ,3V t t f t f x???????試求滿足上式及條件 的函數(shù) ? ? 22 9f ? ? ?.fx解 由條件得 ? ? ? ?20πdtV t f x x? ? ? ? ? ?2π ,3 t f t f x???????求