【正文】 ） 考慮幾何邊界條件，修改總體剛度矩陣，求解全部未知位移分量 。 有限元法的基本步驟 ? 物體離散 ? 單元分析 ? 整體分析與求解 ? 結果分析及后處理 P P 力學模型 (平面應力問題 ) 有限元模型 有限元法是一種數值計算方法?？蓮V泛應用于各種微分方程描述的場問題的求解。 二 . 有限元求解例（一維單元） 引例 :用有限元法求圖 1所示受拉階梯桿的位移和應力。已知桿截面面積 A（ 1） =2 104m2， A（ 2）=1 104m2，各段桿長 L（ 1） =L（ 2） =；材料彈性模量 E（ 1） =E（ 2） =2 105MPa，作用于桿端的拉力F3=100N。 x)1(A ,)1(E )2(A)1(E)1(L)2(L3F0 a) 1 321 2e)( x?iFix)( ei?)( eL)( ej?i j jFjxx b) c) 圖 1 受拉階梯桿 a)示意圖 b)有限元模型 c)單元圖 根據材料力學的平面假設， 等截面受拉桿的同一截面的不同點上可認為具有相同的位移和應力 ，即位移只與截面的軸向坐標（圖 1中為 x）有關，所以 可將階梯桿看作由兩個 “ 一維單元 ” 組成 ，同一個單元內截面積及材料特性不變，并用線段表示一維單元。最簡單的情況是，每一個單元有兩個結點，他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共結點聯結。這樣，圖 1a所視的受拉階梯桿就簡化為由兩個一維單元和三個結點構成的有限單元模型（圖 1b）。圖中 ① 和 ② 是單元號， 3是結點號 。取結點位移作為基本未知量，應力由求得的結點位移算出。 )()( xe?)(ei? )(ej?（ 形函數 ） 有限元法將整個求解域 離散為 一系列 僅靠公共結點聯結的單元，而每一個單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內任一點的場變量（如本例中的位移）可由本單元的結點值根據場變量在單元中的假定分布規(guī)律（插值函數）插值求得 。 本例中，每單元有兩個結點，采用線性插值方式是適宜的。圖 1c是一典型單元圖。兩結點分別為 i和 j。設單元中坐標為 x處的場變量為 結點場變量值分別記為 和 。 。 ? ? )()()()()()()()()()()()()()()()()(eejeijiejeieiejejijieiijjiijeiejeiexxLxxLxxxxxxxxxxxxxxx???????????????????????????????????? ????????????????????? ?)()( xx ji ??? ?根據線性插值關系得： （ 1） 是單元自由度列陣； 形函數矩陣，因為它與單元的結點坐標（即單元形狀）和單元插值形狀有關。 式中， L（ e） =xjxi是單元長度； ?)(e? ? ?Tejei )()( ?? 稱為單元 形函數矩陣的分量數目應與單元自由度數目相等。 對于兩自由度線性插值單元由式（ 1）可知形函數矩陣的兩分量為： ?????????????)()()()(eijejiLxxxLxxx （ 2） ???????????????)()()()()()()()()()()()()()(ejeiejeeeeiejeieeeFLEAFLEA)(eiF )(ejF （ 單元結點位移與結點力的關系 ） 由等截面桿變形與拉力的關系（虎克定律）得到 式中， 和 分別為作用于單元 e的結點 i和 （ 3） 結點 j的結點力。 ???????????????????????????????)()()()()()()(1111ejeiejeieeeFFLEA)()()( eee FK ??)(eK?? Tejeie FFF )()()( ?式（ 3）寫成矩陣形式為： 或簡記為： 式中， 稱為單元特性矩陣，在力學問題 稱為 單元結點力列陣 。 （ 4） （ 5） 中常稱為 單元剛度矩陣 ，簡稱單元剛陣； 式（ 5）稱為 單元方程 。 )(eF )(eF )(eiF)(ejFj?1? 2? 3? 到目前為止，單元方程（ 4）或（ 5）尚不能求解，因為結點力列陣 尚屬未知。 的分量 和 外載荷之間的關系。 — 建立總體方程組 為獲得總體方程 和 總體自由度（ 、 ）的對應關系進行擴展。 是相鄰單元作用于單元 e的結點 i和 j的力，即 屬于單元之間的作用力。 只有將具有公共結點的 單元“組集”在一起才能確定上述結點力和結點 和 組，必須先將單元方程按照局部自由度 （ ） i?和 具體來說，單元 1的擴展方程為： ????????????????????????????????????????0000011011)2(2)1(1321)1()1()1(FFLEA 式中，各項上角碼表示單元序號；下角碼表示自由 度總體序號。 （ 6） 單元 2的擴展方程為： ????????????????????????????????????)2(3)2(2321)2()2()2(0110110000FFLEA （ 7） 由于 相鄰兩單元公共結點上的基本場變量（位移）相同 ，所以可將擴展后的各單元方程相加。 將式（ 6）和式（ 7）相加得： ??????????????????????????????????????????????321321)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(00FFFLEALEALEALEALEALEALEALEA （ 8） 上述組集過程可記為： ??????NEeeNEee FK1)(1)( )( 式中， NE代表有限元模型的單元總數。 （ 9） FK ??組集后的結果簡記為： 式中， K稱為總體特性矩陣（力學中常稱為 總體剛度矩陣 和總剛陣）， F稱為 總體結點載荷列陣 。需指出的是，對單元的一個公共結點而言，除了有相鄰單元作用于該結點的力之外，還可能有做用于該結點的外載荷（包括以后要講到的當量結點載荷）。若一結點上無外載荷作用（如本例中結點 2），則說明各相鄰單元作用于該結點的力是平衡的，即該結點的結點合力為零。 0)( 33)2()2()2(2)2()2()2(????? FLEALEA ?????????????????????????????????????????102202640441013216F 若某結點上有外載荷作用（如本例中結點 3），則各單元作用于該結點的內力和（即方程（ 8）中第 3式左端項的負值）與該結點的外載荷（ F3）相平衡，即： 這就是說，列陣 F各分量的含義是作用于相應自由度（結點位移）上的結點外載荷。將相應數據代入式（ 8）得： （ 11） （ 10） 上式即為本題的總體線性代數方程組，但不能獲得唯一解，因為上式中的矩陣是奇異的。這種奇異性不是因數據巧合造成的，而是有其必然性。原因在于總體方程組式（ 8）只考慮了力平衡條件，而只根據力平衡不能唯一地確定系統(tǒng)的位移，因為系統(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。 為獲得各結點位移的唯一解，必須消除可能產生的剛體位移，即必須計入位移邊界條件 。 ，解方程組 01 ??2? 3?01 ??????????????????????????102226103262? 3?本題的位移邊界條件為 那么，式（ 11） 和 說，可從式（ 11）中消去一個方程。譬如， 代入后得： 解得： = 106 m, = 106 m。 ， 中只剩下兩個待求的自由度 去第一個方程并將 。也就是 舍 （ 12） 這與材料力學求得的結果相同。 )(e?)(e?dxxdx ee )()( )()( ???? ? )()()()()( 111)( eeeee LBdxdx ?????????)()()()()( )()( eeeee BExEx ??? ??由材料力學得知，單元中任一點的應變 （ x） （ x） 將式（ 1）及式（ 2）代入上式得 式中， B稱為單元應變一結點位移轉換矩陣 。應力 —— 應變關系為 : （ 15） 與位移 的關系為 : （ 13） （ 14） M PaLE )(102)( 65)1(21)1()1( ?????????????M PaLE 110)(102)( 55)2(32)2()2( ??????????????對于單元 1 對于單元 2 yxohvsjimiviujvjumvmu三． 有限元求解例（ 線性三角形單元 ） （ 1） 單元位移模式 三角形三節(jié)點單元如上圖。 1? 2? 6?)1(),(),(654321?????????yxyxvyxyxu??????? ? ? ?? ????????),(10000001),(),()