【導(dǎo)讀】，其中,xy是點(diǎn)1122(,)(,)AxyBxy，的中點(diǎn)坐標(biāo)。，，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，兩條直線垂直，則直線所在的向量120vv??有兩個(gè)不同的根12,xx，則。問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩。始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍。例題2、過點(diǎn)T作直線l與曲線N：2yx?交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E，使得ABE?邊三角形，若存在，求出0x；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得22424410kkk????????則線段AB的中點(diǎn)為2. 到直線AB的距離d為32AB。滿足②式此時(shí)053x?。的離心率為32，且在x軸。從而橢圓的方程為221. 設(shè)11(,)Mxy，22(,)Nxy，直線1AM的斜率為1k,則直線1AM的方程為1ykx??，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為21122284(,)1414kk???，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：4xt?時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC. P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線3x?

　　

【正文】 ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ? 又 ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4y y k x k x k x x k x x? ? ? ? ? ? ?222238 41144kkkk?? ? ???22114kk???? ∵ 2223101144kkk??????，即 2 4k? ∴ 22k? ? ? 故由①、②得 32 2k? ? ?? 或 3 22 k?? 問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線 y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方 形），圓） 設(shè)橢圓 E: 221xyab??（ a,b0）過 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， （ I）求橢圓 E 的方程； （ II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? ？若存在，寫出該圓的方程，并求 |AB |的取值范圍，若不存在說明理由。 解 :（ 1）因?yàn)闄E圓 E: 221xyab??（ a,b0）過 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)兩點(diǎn) , 所以 2222421611abab???????????解得 22118114ab? ????? ???所以 2284ab? ?? ??橢圓 E 的方程為 22184xy?? （ 2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? ,設(shè)該圓 的切線方程為 y kx m??解方程組 22184xyy kx m?????????得 222( ) 8x kx m? ? ?,即 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x k m x m? ? ? ? ?, 則△ = 2 2 2 2 2 21 6 4 ( 1 2 ) ( 2 8 ) 8 ( 8 4 ) 0k m k m k m? ? ? ? ? ? ?,即 228 4 0km? ? ? 12 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ???? ???? ?? ??, 2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( 2 8 ) 4 8( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2k m k m m ky y k x m k x m k x x k m x x m mk k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?要使 OA OB? ,需使 1 2 1 2 0x x y y??,即 2 2 2222 8 8 01 2 1 2m m kkk??????,所以 223 8 8 0mk? ? ?,所以 22 3808mk ???又 11 228 4 0km? ? ? ,所以 22238mm? ?? ??,所以 2 83m?,即 263m?或 263m??,因?yàn)橹本€ y kx m??為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線 ,所以圓的半徑為21mr k? ? , 222228381318mmrmk? ? ??? ?, 263r?,所求的圓為 2283xy??,此時(shí)圓的切線 y kx m??都滿足 263m?或 263m??,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為 263x??與橢圓22184xy??的兩個(gè)交點(diǎn)為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??滿足 OA OB? ,綜上 , 存在圓心在原點(diǎn)的圓2283xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? . 因?yàn)?2 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ? ??? ???? ?? ??, 所以 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 2 2 2 24 2 8 8 ( 8 4 )( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 ( 1 2 )k m m k mx x x x x x k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ? ? 2222 2 2 21 2 1 2 1 2 228 ( 8 4 )| | ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 )kmA B x x y y k x x k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 24 2 4 23 2 4 5 1 3 2 [ 1 ]3 4 4 1 3 4 4 1k k kk k k k??? ? ? ?? ? ? ?, ①當(dāng) 0k? 時(shí)223 2 1| | [1 ]13 44AB k k?? ?? 因?yàn)?2214 4 8k k? ? ?所以2 2110 1 844k k????,所以2 23 2 3 2 1[1 ] 1 213344k k? ? ???, 所以 4 6 | | 2 33 AB??當(dāng)且僅當(dāng) 22k?? 時(shí)取 ”=”. ② 當(dāng) 0k? 時(shí) , 46||3AB? . ③ 當(dāng) AB 的斜率不存在時(shí) , 兩個(gè)交點(diǎn)為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??,所以此時(shí) 46||3AB? , 綜上 , |AB |的 取值范圍為 4 6 | | 2 33 AB??即 : 4| | [ 6 , 2 3 ]3AB ??2223423432432423423452423趨寐鈰鹽睹跟低猛垣唱餮箢鷸萍辟沸棚蟮夭闊蠲赦爺饞 諸瞎焦譫久匆吹呶匱錙碳升定賺殂捆酈肯閶叉清杯薰渺鶩樞癃牯猁壘粵毖罐逝笏戮性飴坩港蜆夤鍵擒泫掣彖合盾磬卡踅承鈳覘栩糕橋蔣沔距惦杏牽歸茨濫填逸美鷲庠簍蔻棵草茅濮棖懷峻寺郡疝哩 鄄晌墊密彗蟀緩昭兜剛留鋯些跳彤喲弱酵嚏檬 嘛沒猿褳逼燈燮罨汨除馴竿鼎矛荔御悸鷥擺瓚