【正文】 第 7章 格和布爾代數(shù) 定理 設 〈 B， ∨ ， ∧ ， ′， 0， 1〉 為有限布爾代數(shù)，令 A={a|a∈ B且 a是原子 }，則 B同構于布爾代數(shù)〈 P(A)， ∪ ,∩,∽ , ,A〉 。 證明 構造映射 f： B→ P(A)， 使得對任意 b∈ B,f(b)=A(b)。 (1)證明 f為一單射 。 若 f(b)=f(c),有 A(b)=A(c)。 由引理 2得 b= a∈ A(b), c= a∈ A(c) a,所以 b=c,故 f是單射 。 ()a A b??()a A c??第 7章 格和布爾代數(shù) （ 2）證明 f S∈ P(A),則 S A。 令 b= a∈ S a,由引理 2得 b= a∈ A(b) a。 由唯一性有 S=A(b)=f(b)。若 S= =A(b)=f(b),所以 f為滿射得證。 ?? ?aS?? bS??第 7章 格和布爾代數(shù) (3)接著要證明 f保持運算，即 f滿足式（ ）、式（ ）和式（ ）。 設 b， c為 B中任意兩個元素且 b≠0， c≠0。 對任意的原子 x, x∈ A(b∧ c) x b∧ c x b且 x c x∈ A(b)且x∈ A(c) x∈ A(b)∩A(c) 所以 A(b∧ c)=A(b)∩A(c), 即f(b∧ c)=f(b)∩f(c)。 ? ? ??第 7章 格和布爾代數(shù) 對任意的原子 x, x∈ A(b∨ c) x b∨ c x b或 x c x∈ A(b) 或 x∈ A(c) x∈ A(b)∪ A(c) 所以 A(b∨ c)=A(b)∪ A(c),即 f(b∨ c)=f(b)∪ f(c)。 b∈ B,且 b≠0,對任意的原子 x, x∈ A(b′) x∧ b=0 x∧ b≠x x≤b x A(b) x∈∽ A(b) 所以 A(b′） =∽ A(b),即 f(b′)=∽ (f(b))， 定理得證 。 ?? ? ??? ? ? ? ?第 7章 格和布爾代數(shù) 本定理有如下推論： 推論 1 若有限布爾代數(shù)有 n個原子 ， 則它有 2n個元素 。 推論 2 任何具有 2n個元素的布爾代數(shù)互相同構 。 注意 這一定理對無限布爾代數(shù)不能成立 。 根據(jù)這一定理 ， 有限布爾代數(shù)的基數(shù)都是 2的冪 。同時在同構的意義上對于任何 2n， n為自然數(shù) ， 僅存在一個 2n元的布爾代數(shù) ， 如圖 Hasse圖所示的 1元 、 2元 、 4元 、 8元的布爾代數(shù) 。 第 7章 格和布爾代數(shù) 圖 第 7章 格和布爾代數(shù) 例題選解 【 例 】 設 〈 L， ≤〉 是格， a,b,c∈ L， a≤b，證明： (a∨ b∧ c))∨ c=(b∧ (a∨ c))∨ c 證明 因為 a≤b，且 a≤a∨ c，所以 a≤b∧ (a∨ c)，故a∨ c≤（ b∧ (a∨ c)） ∨ c。由格的吸收律、結合律知（ a∨ b∧ c)） ∨ c=a∨ c，所以 （ a∨ (b∧ c)） ∨ c≤（ b∧ (a∨ c)） ∨ c 第 7章 格和布爾代數(shù) 又由格的分配不等式知 （ b∧ (a∨ c)） ∨ c≤（ b∨ c）∧ (a∨ c)， 而 （ b∨ c） ∧ (a∧ c)≤a∨ c=（ a∨ (b∧ c)） ∨ c 故 （ a∨ (b∧ c)） ∨ c=(b∧ (a∨ c))∨ c 第 7章 格和布爾代數(shù) 【 例 】 設 〈 L， ≤〉 是格 ， a、 b、 c、 d∈ L， 證明： (a∧ b)∨ (c∧ d)≤（ a∨ c） ∧ (b∨ d） 證明 a、 b、 c、 d∈ L， 因為 a∧ b≤a， a∧ b≤b， c∧ d≤c，c∧ d≤d， 所以 (a∧ b)∨ (c∧ d)≤a∨ c， (a∧ b)∨ (c∧ d)≤b∨ d 因此 (a∧ b)∨ (c∧ d)≤（ a∨ c） ∧ （ b∨ d） ?第 7章 格和布爾代數(shù) 【 例 】 一個格 〈 A， ≤〉 是分配格 iff a,b,c∈ A有 (a∨ b)∧ c≤a∨ (b∧ c)。 證明 先證必要性：設 〈 A， ≤〉 是分配格 。a,b,c∈ A， 由 a∧ c≤a， b∧ c≤b∧ c， 可得 （ a∧ c） ∨ （ b∧ c） ≤a∨ （ b∧ c） 而 （ a∨ b） ∧ c=（ a∧ c） ∨ （ b∧ c） 所以 （ a∨ b） ∧ c≤a∨ (b∧ c) ??第 7章 格和布爾代數(shù) a,b,c∈ A有 (a∨ b)∧ c≤a∨ (b∧ c)，則有 (a∨ b)∧ c =((a∨ b)∧ c） ∧ c≤（ a∨ (b∧ c)） ∧ c =((b∧ c)∨ a） ∧ c≤（ b∧ c） ∨ （ a∧ c） （ b∧ c） ∨ （ a∧ c） ≤(a∨ b)∧ c， 因此有 (a∨ b)∧ c=（ b∧ c） ∨ （ a∧ c） 即 〈 A， ≤〉 是分配格。 ?第 7章 格和布爾代數(shù) 【 例 】 設 G是 30的因子集合 ， G上關系 “ |” 是整除關系 。 (1)畫出 〈 G， |〉 的 Hasse圖 。 (2)畫出 〈 G， |〉 的所有元素個數(shù)大于等于 4的不同構的子格的 Hasse圖 。 (3)上面各子格都是什么格 ？ （ 分配格 ， 模格 ， 有補格 ） 。 (4)上面各子格中有布爾代數(shù)嗎 ？ 若有 ， 指出并給出原子集合 。 第 7章 格和布爾代數(shù) 圖 30103115562第 7章 格和布爾代數(shù) 解 （ 1） G={1， 2， 3， 5， 6， 10， 15， 30},其哈斯圖 (2)〈 G， |〉 的所有元素個數(shù)大于等于 4的不同構的子格的 Hasse圖見圖 。 （ 3） 所有的子格均是分配格 、 模格 。 圖 （ b） 、 （ f） 所示的格還是有補格 。 （ 4）圖 （ b）、（ f）所示的格是布爾代數(shù)。其中，圖（ b）的原子集合為 {15， 6}，圖（ f）的原子集合為 {2， 3， 5}。 第 7章 格和布爾代數(shù) 圖 30103115562303115 10530115 6301155 33015 61151530( a ) ( b )( c )( f )( e )( d )3第 7章 格和布爾代數(shù) 習 題 七 1. 圖 ，哪一個是格？并說明理由。 第 7章 格和布爾代數(shù) 圖 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f )第 7章 格和布爾代數(shù) 2． 對格 L中任意元素 a， b， c， d， 證明： （ 1） a b,a c當且僅當 a b∧ c。 （ 2） a c,b c當且僅當 a∨ b c。 （ 3） a∨ (a∧ b)=a。 （ 4） 若 a b c,d∧ c＝ a， 則 d∧ b＝ a。 （ 5） 若 a b c,d∧ a＝ c， 則 d∧ b＝ c。 （ 6） （ a∧ b） ∨ （ a∧ c） a∧ （ b∨ c） 。 （ 7） （（ a∧ b） ∨ （ a∧ c）） ∧ （（ a∧ b） ∨ （ b∧ c）） =a∧ b。 第 7章 格和布爾代數(shù) （ 8）（ a∧ b） ∨ （ b∧ C） ∨ （ c∧ a a∨ b ∧ （ b∨ C） ∧ （ c∨ a）。 (9)若 a b， 則有 (a∨ (b∧ c))∧ c=(b∧ (a∨ c))∧ c。 (10)a∧ b a且 a∧ b b當且僅當 a與 b是不可比較的 ， 即 a b,b a都不能成立 。 第 7章 格和布爾代數(shù) 3． 證明：格 L的兩個子格的交仍為 L的子格 。 a， b為格 L中的兩個元素 ,證明： S={x|x∈ L且 a x b}可構成 L的一個子格 。 f為格 L1到格 L2的同態(tài)映射 ， 證明 f的同態(tài)像是L2的子格 。 6． 設 〈 L， ∨ ,∧ 〉 為格 ， a∈ L， 令 La={x|x∈ L且x≤a},Ma={x|x∈ L 且 a≤x} ， 則 〈 La ， ∨ ,∧ 〉 ,〈 Ma ，∨ ,∧ 〉 都是 L的子格 。 7． 證明定理 。 Hasse圖中的格各是什么格 。（ 分配格 ， 模格 ， 補格 ， 布爾格 ） 第 7章 格和布爾代數(shù) (2)。 10． 證明：在有界分配格中 ,有補元的所有元素可以構成一個子格 。 11． 設 〈 L， ∧ ,∨ 〉 為有補分配格 ， a,b為 L中任意元素 ， 證明： b′ a′當且僅當 a∧ b′=0當且僅當 a′∨ b=1。 12． 設 a是布爾代數(shù) 〈 B， ∧ ， ∨ ， ′， 0， 1〉 的原子 ， x為 B中任一元素 ， 則 x或 a x′， 但不兼而有之 。 13． 設 a， b為布爾代數(shù) B中任意元素 ， 求證： a＝ b當且僅當 （ a∧ b′） ∨ （ a′∧ b） ＝ 0。 第 7章 格和布爾代數(shù) :在布爾同態(tài)的定義 （ 定義 ） 中 ,式（ ） 和式 （ ） 兩條件之一可省去 。 f為布爾代數(shù) 〈 A， ∧ ， ∨ ， ′， 0， 1〉 到布爾代數(shù) 〈 B， ∧ ， ∨ ， ′， 0， 1〉 的布爾同態(tài) ， 則 f（ 0） =0， f（ 1） =1。 〈 B， ∧ ， ∨ ， ′， 0， 1〉 為布爾代數(shù) ， 定義B a， b∈ B， a b=（ a∧ b′） ∨ （ a′∧ b） a*b=a∧ b 證明 〈 B, ， *〉 ） 為一含幺交換環(huán) 。 ???第 7章 格和布爾代數(shù) 17． G是 12的因子集合 ， |是 G上的整除關系 。 (1)畫出 〈 G， |〉 的 Hasse圖 。 (2)畫出 〈 G， |〉 的所有元素個數(shù)大于等于 4的子格的Hasse圖 。 (3)上述各子格都是什么格 ？ （ 分配格 ， 模格 ， 有補格 ） (4)上述各子格中有布爾代數(shù)嗎 ？ 若有 ， 指出并給出原子集合 。 第 7章 格和布爾代數(shù) 18． 設 G是 24的因子集合 ， |是 G上的整除關系 。 (1)畫出 〈 G， |〉 的 Hasse圖 。 (2)畫出 〈 G， |〉 的所有 5元素子格的 Hasse圖 。 (3)上述子格各是什么格 ？ （ 分配格 ， 模格 ， 有補格 ） (4)〈 G， |〉 是布爾代數(shù)嗎 ？ 若是 ， 請給出原子集合 。