[工學(xué)]第四章桿單元和梁單元-資料下載頁
2025-01-19 12:18本頁面
【正文】 o s ( , ^ )c o s ( , ^ )l y Xm y Yn y Z???333c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )l z Xm z Yn z Z??? () 空間梁單元的坐標變換 坐標變換矩陣的具體求算方法包括如下步驟。 (1) 局部坐標系 x軸在整體坐標系中的方向余弦： 2112 2 22 1 2 1 2 12112 2 22 1 2 1 2 12112 2 22 1 2 1 2 1c os( , ^ )( ) ( ) ( )c os( , ^ )( ) ( ) ( )( , ^ )( ) ( ) ( )xxl x Xx x y y z zyym x Yx x y y z zzzn c os x Zx x y y z z???? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ? ? () （ 2）局部坐標系 y軸在整體坐標系中的方向余弦 現(xiàn)在討論具有任意方向的空間梁單元。首先，由節(jié)點 i、j 在整體坐標系下的坐標即可確定 e1在整體坐標系中的三個方向余弦，即 LXX ij ??11? LYY ij ??12? LZZ ij ??13? () 空間梁單元的坐標變換 其中 ? ? ? ? ? ?? ? 2/1222 ijijij ZZYYXXL ?????? () 下面計算 e2和 e3。 在單元的主慣性平面 oxy上任取一點 k（但 k點不能取在 ox軸上），點在整體坐標系中的坐標記為（ Xk， Yk,Zk）。 沿矢量 方向取矢量 g， g在整體坐標系中的三個分量是 1g 2g 3gKikDXX ??KikDYY ??KikDZZ ?? () ? ? 2/1222 )()()( ikikikk ZZYYXXD ?????? () ?ik 空間梁單元的坐標變換 因 z軸垂直于 oxy平面，而 e1和 g均在平面 oxy上，故可取 3egege???11 () e1和 e3既已確定，只需按右手直角坐標系條件確定 e2即可。因而可取 e2= e1+e3 () 由矢量叉乘法則： ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 3? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 31 3 2 11 2 3E E Ee g g g E g g E g g Eg g g 空間梁單元的坐標變換 最后由式 (）有： ? ?1 1 2 1 32 1 3 1 1 1 33 1 1 2 1 21 / 22221 2 3AAAA A A A???????? ??????????? ? ??322gggggg () 則 3egege???11 31223AAAA A A? ? ?1E E E 從而 131AA? ?232AA? ?333AA? ? () ? ? ? ? ? ?2 3 1 3 1 3 2 3 3 3 2 1 3 1 3 1 2 3 3 1 1 3 1 1 3 2 3 1 1 2 3 2 1 1 31 1 1 2 1 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 31E E Ee e e E E E 再記 空間梁單元的坐標變換 把式 ()代入上式，得在整體坐標系中的三個方向余弦為 21 13 2 12 322 11 3 13 123 12 1 11 2( ) /( ) /( ) /A A AA A AA A A? ? ?? ? ?? ? ??? ????????? () 歸納以上，空間梁單元的矩陣 為 λ11 12 1321 22 2331 32 33? ? ?? ? ?? ? ??????????λ () 空間梁單元的坐標變換 （ 2）由給定的包含 ox軸在內(nèi)的單元主慣性平面上一點 k的坐標 ，按式 ()和 ()算出 g g g3。 ? ?k k kX ,Y , Z （ 3）按式 ()算出 A A A A 。 （ 4）按式 ()和式 ()算出 矩陣的第二行和第三行。 ? 計算步驟簡述如下： （ 1）由給定的單元兩端節(jié)點在整體坐標系下的坐標 和 ，按式（ ）和式 ()算出 、 、 。 ? ?i i iX ,Y , Z ? ?j j jX ,Y , Z 11? 12?13? 空間梁單元的單元特性 單元內(nèi)任意點的位移為 { } Tex y zu v w ? ? ???δ N δ () 其中， N為形函數(shù)矩陣；軸向位移和扭轉(zhuǎn)角采用線性位移場函 ， ；橫向位移采用 ， 。 xaau 10 ?? 01x d d x? ??230 1 2 3v b b x b x b x? ? ? ?230 1 2 3w c c x c x c x? ? ? ? 設(shè)梁單元橫截面面積為 A，在 xz面內(nèi)截面慣性矩為 Iy，在 xy面內(nèi)截面慣性矩為 Iz ，單元的扭轉(zhuǎn)慣性矩為 Jk，長度為 l，材料彈性模量和剪切模量為 E、 G。根據(jù)經(jīng)典梁理論，可以導(dǎo)出在局部坐標系內(nèi)的空間梁單元剛度矩陣是 空間梁單元的單元特性 () 33223 2 33 2 3222212012000 0 0640 0 0640 0 0 00 0 0 0 012 6 120 0 0 0 012 6 120 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 06 2 6 40 0 0 0 0 0 02660 0 0 0 0 0 0 0zykyyzzz z zy y ykky y y yyzzEAlEIlEIlGJlEI EIllEI EIllEA EAllEI EI EIl l lEI EI EIl l lGJ GJllEI EI EI EIl l l lEIEI EIl l l?????????k對稱4zEIl??????????????????????????e
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