數(shù)值分析第5章1-3節(jié)-資料下載頁(yè)
2025-01-19 11:24本頁(yè)面
【正文】 d e t*d e tkka? 3. 如果 ，則計(jì)算停止 0?nna ? ? )0( d e t ?A 4. 回代求解 nnnn abb / ( 1 ) ?1,2,1 ( 2 ) ??? ni對(duì)于iinijjijii ababb /)*(1?????56 5. d e t*d e tnna? 例 3的解法 2用的就是列主元素消去法 . 列主元素消去法也可用矩陣運(yùn)算描述： ??????? , )2()1(,11)2()1(,1111bbILAAIL ii., )1()(,)1()(, ?? ?? kkikkkkikk kk bbILAAIL（ ） 其中 的元素滿足 是初等置 換陣 . kL ),1,2,1(1 ??? nkm ik ? kik,I57 利用 ()得到 )(,11,22,11121niiinnn AAILILIL ???? ?則有 ,~,~ )( nbbPUAP ??若記 .~ 121 ,11,22,11 iiinn n ILILILP ?????AILILILAU 123 ,11,22,33)4( iii??.U?))(( 322333 ,3,21,2,3,32,33 iiiiii IILIIILIL? 考慮 時(shí)的 . 4?n P~,~~~)( 123,1,2,3 123 PALLLAIII ?? iii（ ） ??????? , )2()1(,11)2()1(,1111bbILAAIL ii., )1()(,)1()(, ?? ?? kkikkkkikk kk bbILAAIL（ ） 58 ,~ 3223 ,3,21,2,31 iiii IILIIL ? 為單位下三角陣，其元素的絕對(duì)值不超過(guò) 1. )3,2,1(~ ?kkL 記 ,~~~ 1231 LLLL ??由 ()得到 .LUPA ?其中 為排列矩陣， 為單位下三角陣， 為上三角陣 . P LU其中 ,~ 33 ,32,32 ii ILIL ?,~ 33 LL ?.123 ,1,2,3 iii IIIP ?59 這說(shuō)明對(duì) ()應(yīng)用列主元素消去法相當(dāng)于對(duì) 先 進(jìn)行一系列行交換后對(duì) 再應(yīng)用高斯消去法 . )( bAPbP Ax ?,LUPA ? 定理 8 如果 為非奇異矩陣， A則存在排列矩陣 使 P其中 為單位下三角陣， 為上三角陣 . L U 編程時(shí)， 的元素存放在數(shù)組 的下三角部分， 的元 素存放在 的上三角部分，由記錄主行的整型數(shù)組 可 知 的情況 . L A UA )(Ip nP 而在實(shí)際計(jì)算中只能在計(jì)算過(guò)程中做行的交換 . (列主元素的三角分解定理 ) 60 高斯 若當(dāng)消去法 高斯消去法中，若同時(shí)消去對(duì)角線下方和上方的元素， 設(shè)用高斯 若當(dāng)消去法已完成 步， 化為等價(jià) 1?k bAx ?方程組 ，其中 )()( kk bxA ?.101001)(,1,1,1222111)()(????????????????????????????nnnknknkkkknkkknknkkkbaabaabaabaabaa???????????????bA這種方法稱為 高斯 若當(dāng) (GaussJordan)消去法 . 61 在第 步計(jì)算時(shí) 對(duì)上述矩陣第 行的上、下都進(jìn)行消元 . k ),2,1( nk ?? k 1. 按列選主元素，即確定 使 ki.m a x, iknikki aa k ??? 2. 換行 (當(dāng) 時(shí) )交換 第 行與第 行元素 . kik ? )( bA k ki 3. 計(jì)算乘數(shù) ),2,1(/ kinkaam kkikik ???? 且? ( 可保存在存放 的單元中 ). ikm ika./1 kkkk am ?62 ,1,2,1 ??????????????nkjkinkamaakjikijij ?? 且.,2,1 kinkbmbb kikii ???? 且? 5. 計(jì)算主行 ),1,( nkkjmaa kkkjkj ????上述過(guò)程結(jié)束后有 .?1?1?1)()( 21)1()1(???????????????? ??nkkbbb??bAbA 4. 消元計(jì)算 .kkkk mbb ?63 用高斯 若當(dāng)方法將 約化為單位矩陣，計(jì)算解就在 常數(shù)項(xiàng)位置得到，用不著回代求解，計(jì)算量大約需要 次乘除法，比高斯消去法大，但用高斯 若當(dāng)方法求矩陣 的逆矩陣還是比較合適的 . A2/3n 定理 9 設(shè) 為非奇異矩陣， A方程組 的增廣矩陣為 . nIAX ? )( nIAC ?如果對(duì) 應(yīng) C用高斯 若當(dāng)方法化為 ， )( TIn則 . TA ??1 事實(shí)上，求 的逆矩陣 ，即求 階矩陣 ， A 1?A n X,nIAX ?其中 為單位矩陣 . nI(高斯 若當(dāng)法求逆矩陣 ) 使 64 于是求解 等價(jià)于求解 個(gè)方程組 nIAX ?n.,2,1, njjj ??? eAx可用高斯 若當(dāng)方法求解 .nIAX ?將 按列分塊 X? ? ? ? , 2121 nn eeeIxxxX ?? ??65 例 4 ???????????653542321A的逆矩陣 . 解 ???????????100653010542001321C?????????????? ??3/10113/103/21013/203/10023/51第1 次消元3c用高斯 若當(dāng)方法求 ????????????00132101054210065331 rr66 ???????????????? ??02/112/10012/302/31022/502/101第2 次消元2c???????????????? ??012100133010231001第3 次消元1c且 ,),( 3T3121111 cm ?? mmm).( 1?? AnI,),( 2T3222122 cm ?? mmm.),( 1T3323133 cm ?? mmm67 為了節(jié)省內(nèi)存單元，可不必存放單位矩陣， 經(jīng)消元計(jì)算，最后再調(diào)整一下列就可在 的位置得到 . A1?A 注意第 步消元時(shí)，由 的第 列 k A kT1 ),( nkkkkk aaa ???a計(jì)算 ,),1,( T11kknkkkkkkaaaaa ??? ??m且沖掉 .ka存放在 的第二列位置， 2c A存放在 的 1c A3c存放在 A 的第 1列， 第 3列 . 68 在 位置最后得到矩陣 (其中 為排列陣 )的 逆矩陣 ， A 1APA ? P11?A.111 PAA ?? ?于是
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