【正文】 W Lq= ? Wq Little公式。 第 61頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 例 93： 考慮一個(gè)鐵路列車(chē)編組站。設(shè)待編列車(chē)到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)到達(dá) 2列；服務(wù)臺(tái)是編組站，編組時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每 20分鐘可編一組。已知編組站上共有 2股道，當(dāng)均被占用時(shí)，不能接車(chē)，再來(lái)的列車(chē)只能停在站外或前方站。求在平衡狀態(tài)下系統(tǒng)中列車(chē)的平均數(shù)；每一列車(chē)的平均逗留時(shí)間；等待編組的列車(chē)平 第 62頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 均數(shù)。如果列車(chē)因站中 2股道均被占用而停在站外或前方站時(shí)，每列車(chē)每小時(shí)費(fèi)用為 a元，求每天由于列車(chē)在站外等待而造成的損失。 解：本例可看成一個(gè) M/M/1/?排隊(duì)問(wèn)題，其中 ? =2， ? =3， ?=?/?=2/31 ? 系統(tǒng)中列車(chē)的平均數(shù) L= ?/ (1?)=(2/3)/(12/3)=2（列） 第 63頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ? 列車(chē)在系統(tǒng)中的平均停留時(shí)間 W=L/?= 2/2=1（小時(shí)） ? 系統(tǒng)中等待編組的列車(chē)平均數(shù) Lq=L?= 22/3=4/3（列） ? 列車(chē)在系統(tǒng)中的平均等待編組時(shí)間 Wq = Lq/ ?=(4/3)/(1/2)=2/3（小時(shí)） 第 64頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ? 記列車(chē)平均延誤（由于站內(nèi) 2股道均被占用而不能進(jìn)站）時(shí)間為 W0 ? 則 W0 = WP{N2}=W{1P0P1P2} =W{1(l?) (l?) ?1 (l?) ?2} =1* ?3= ?3=(2/3)3=（小時(shí)） 故每天列車(chē)由于等待而支出的平均費(fèi)用E=24?W0a=24*2**a= 第 65頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 例 94： 某修理店只有一位修理工，來(lái)修理的顧客到達(dá)過(guò)程為 Poisson流，平均每小時(shí) 4人；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要 6分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有 3位顧客的概率；店內(nèi)至少有一位顧客的概率；在店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間；顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率。 第 66頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 解：本例可看成一個(gè) M/M/1/?排隊(duì)問(wèn)題，其中 ? =4， ? =1/=10(人 /小時(shí)）， ?= ?/?=2/51 ? 修理店內(nèi)空閑的概率 P0= 1?= (12/5)= ? 店內(nèi)恰有 3個(gè)顧客的概率 P3= ?3(1?)=(2/5)3(12/5)= 第 67頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ? 店內(nèi)至少有 1位顧客的概率 P {N?1}=1P0=1 (1?)= ? =2/5= ? 在店內(nèi)平均顧客數(shù) L= ?/ (1?)=(2/5)/(12/5)= (人） ? 每位顧客在店內(nèi)平均逗留時(shí)間 W=L/?=第 68頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ? 等待服務(wù)的平均顧客數(shù) Lq=L?=(人 ) ? 每個(gè)顧客平均等待服務(wù)時(shí)間 Wq = Lq/ ?= =4分鐘 第 69頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ? 顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率 P{T10}=e10(1/61/15)=e1= P{Tt}=e (??)t t=10分鐘 , ?=10人 /小時(shí) =10/60 =1/6 ?=4人 /小時(shí) =4/60 =1/15 第 70頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) M/M/S 等待制排隊(duì)模型 ?二、多服務(wù)臺(tái)問(wèn)題 ，又表示為M/M/S/ ? ：顧客相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為 ?的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺(tái)數(shù)為 S；每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為 ?的負(fù)指數(shù)分布。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若有空閑服務(wù)臺(tái)馬上被進(jìn)行服務(wù)，否則便排成一隊(duì)列等待，等待空間為無(wú)限。 第 71頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ?隊(duì)長(zhǎng)的分布 記 Pn=p{N=n},n=0,1,2… .為系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng) N的概率分布，對(duì)多服務(wù)臺(tái)有 ?n=?； n=0,1,2… . ?n= n? n=0,1,2… .s ?n= s? n=s,s+1,s+2… . 第 72頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) ?s= ?/s= ?/s?, 當(dāng) ?s1時(shí)，有 Cn= (?/?)n n! (?/?)s s! (?/s?)ns= (?/?)n s!sns n=1,2,…..s n?s pn= (p)n n! n=1,2,…..s ?n s!sns n ? s p0 p0 第 73頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 其中： p0=[?0s1pn/n!+ ?s/s!(1 ?s)]1 當(dāng) n ? s時(shí)，顧客必須等待，記 C(s, ?)= ?s?pn= ?s/s!(1 ?s) p0 稱(chēng)為 Erlang等待公式，它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，需要等待的概率。 第 74頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 平均排隊(duì)長(zhǎng)： Lq=?s?(ns)pn = p0 ?s ?s /s!(1 ?s)2 或 Lq = C(s, ?) ?s / (1 ?s) 記系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù) s,顯然 s也是正在忙的服務(wù)臺(tái)平均數(shù)。 S= ?0s1npn+ s*?s?pn = ? 第 75頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 平均隊(duì)長(zhǎng)： L=平均排隊(duì)長(zhǎng) +正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù) = Lq + ? 對(duì)多服務(wù)臺(tái)， Little公式依然成立： W=L/? Wq=Lq/ ? =W(1/?) 第 76頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 例 95： 考慮一個(gè)醫(yī)院急診室的管理問(wèn)題，根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，急診病人相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每半小時(shí)來(lái)一個(gè)；醫(yī)生處理一個(gè)病人的時(shí)間也服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要 20分鐘。急診室已有一個(gè)醫(yī)生，管理人員考慮是否需要再增加一個(gè)醫(yī)生。 第 77頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) 解： 本問(wèn)題可看成 M/M/S/?排隊(duì)問(wèn)題，其中（時(shí)間為小時(shí)） ? =2， ?=3， ? =2/3， s =1,2,… .. 計(jì)算結(jié)果如下表： 第 78頁(yè) 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 石宇強(qiáng) 運(yùn)籌學(xué) S=1 S=2 空閑概率 p0 有一個(gè)病人概率 p1 有二個(gè)病人概率 p2 平均病人數(shù) L 2 平均等待病人數(shù) Lq 病人平均逗留時(shí)間 W(小時(shí) ) 1 病人平均等待時(shí)間 Wq(小時(shí) ) 病人需要等待概率 p{Tq0} 等待時(shí)間超過(guò)半小時(shí)的概率 p{Tq} 等待時(shí)間超過(guò)一小時(shí)的概率 p{Tq1}