[高等教育]計算機輔助幾何造型技術-第2章-資料下載頁
2025-01-19 09:00本頁面
【正文】 線與參數(shù)樣條曲線 導矢 39。(0)r 39。(1)r與 T (0)與 T (1)成正比例，于是可寫成 同兩端的單位切矢 )0()0(39。 0 Tr ?? )1()1(39。1 Tr ?? 切矢模長 α0與 α1的含義是：當 α0與 α1同時增大時僅僅 會使曲線更豐滿，而若只增大 α0，則將會使更長的一段曲 線在轉入 T(1)的方向之前保持接近 T (0)的方向，當 α0與 α1 的值很大時，曲線會出現(xiàn)彎折（尖點）和打圈圈（二重點） 2022/2/14 南昌航空大學航機學院 48 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 α0， α1同 時 增 大T0r0T1r12022/2/14 南昌航空大學航機學院 49 T1r1T0r0α0增大 α1不 變2022/2/14 南昌航空大學航機學院 50 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 討論如何保證弗格森三次參數(shù)曲線段合成的曲線達到二階連續(xù)。 )0()1( )2()1( rr ??????TrTr2)2(1)1()0(39。)1(39。??2022/2/14 南昌航空大學航機學院 51 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 ?????12)1()2()1(39。)0(39。rr后者也就是 其中 T是再接合點處公切線的單位矢量， α1和 α2如前所述，是控制曲線段“豐滿”程度的數(shù)量 常數(shù) 為常數(shù) ?2022/2/14 南昌航空大學航機學院 52 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 如果在接合處要求曲率連續(xù)，則必須使 ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )33( 2 ) ( 1 )39。( 0 ) 39。39。( 0 ) 39。( 1 ) 39。39。( 1 )39。( 0 ) 39。( 1 )r r r rrr???將（ 228）代入上式得 ( 2 ) 2 ( 1 )39。39。( 0) 39。39。( 1 )T r T r?? ? ?這個關系式為 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 )39。39。( 0) 39。39。( 1 ) 39。( 1 )r r r????所滿足 2022/2/14 南昌航空大學航機學院 53 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 式中 ?為任意常數(shù) 這是因為上式兩端左乘 T后有 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 )2 ( 1 )39。39。( 0 ) 39。39。( 1 ) 39。( 1 )39。39。( 1 )T r r rTr???? ? ??? 的作用是在保證接合處曲率相等的前提下使曲線設計著 有更大的靈活性 ?綜上所述得兩參數(shù)曲線段之間位置、斜率和曲率連續(xù)的條件。 2022/2/14 南昌航空大學航機學院 54 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 弗格森把他的注意力集中在尋找達到曲率連續(xù)的做簡單、 最明顯的方法上，于是他采用 1 , 0????這種最簡單的連接辦法。為了保證兩參數(shù)曲線段之間 的位置、斜率和曲率連續(xù)，有 )0()1( )2()1( rr ?)0(39。)1(39。 )2()1( rr ?)0(39。39。)1(39。39。 )2()1( rr ?2022/2/14 南昌航空大學航機學院 55 二階導矢 容易從式（ 226）求得，因此可把式（ 235）寫成 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )6 ( 0 ) 6 ( 1 ) 2 39。( 0 ) 4 39。( 1 )6 ( 0 ) 6 ( 1 ) 2 39。( 0 ) 2 39。( 1 )r r r rr r r r? ? ?? ? ? ? ?擬合一條合成弗格森曲線，使之通過一批點 nrrr ?, 10這些點的切矢量為 nttt ?, 10則可以把上式簡化后的結果表為 ? ?1 1 1 14 3 ( ) 0 , 1 , , 1i i i i it t t r r i n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2022/2/14 南昌航空大學航機學院 56 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 這是相鄰三點的切矢量之間的遞推關系式。只要指定 0t nt就能根據(jù)這個方程組，僅僅利用位置信息確定所有其余的 切矢量。當切矢量取這些值時即可保證合成曲線的曲率連續(xù) 這個過程和上述的建立一般三次樣條曲線的過程十分類似。 比較一下式（ 236）和 m關系式（ 29）的異同是很有意義的 如果令式（ 29）中 11 ?? ?ii hh 1 / 2iiu? ??即得 )(34 1111 ???? ???? iiiii yymmm2022/2/14 南昌航空大學航機學院 57 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 由此可以看出，當節(jié)點均勻分布且適當選擇坐標系的度量單位， 使得所有的 1?ih 的情況下 合成弗格森曲線的切矢量關系式和三次樣條的 m關系式實質上 完全一樣。所以可以認為合成弗格森曲線是三次參數(shù)樣條曲線 的一種特殊情況。兩者不同的地方是，在三次樣條中考慮到子 區(qū)間的長度 ,在累加弦長三次參數(shù)樣條的情況下即為弦長，而 在合成弗格森曲線中則假定弦長為 1 兩者相同的地方是 ，它們都取 0? ?即都以二階導數(shù)連續(xù)作為曲率連續(xù)的條件，也就是說為了簡單 而犧牲了曲線設計的 靈活性 2022/2/14 南昌航空大學航機學院 58 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 因此這兩種曲線都比較適合于擬合而不像后面介 紹的貝齊埃曲線主要適合于設計。貝齊埃在選擇曲線 段之間的連續(xù)條件時比弗格森限制要少，因而給曲線 設計提供了所需的額外自由度。特別對合成弗格森曲 線來說，主要適合于擬合型值點間隔 比較均勻 的曲線， 否則將會出現(xiàn)不好的效果 日本的穗板為主張用 iii ll 1???實際上就是以累加弦長為參數(shù)來解決這個問題
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