[高等教育]計(jì)算機(jī)輔助幾何造型技術(shù)-第2章-文庫吧
2025-01-04 09:00 本頁面
【正文】 111G0G111o o11u uuu11oo2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 12 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 現(xiàn)在解決在任意區(qū)間 上帶一階導(dǎo)數(shù)的插值問題 設(shè)對(duì)應(yīng)于區(qū)間兩端的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)值分別為： 1 , 1,i i i iy y m m??進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換 ? ?1 ,iixx?111iii i ix x x xux x h????????39。 39。 39。u x x idxy y y hdu??2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 13 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 第 i段曲線的表達(dá)式 1 0 1 1 0 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]i i i i i iy x y F u y F u h m G u m G u??? ? ? ?矩陣形式 ? ?10 1 0 111231( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( )1 0 0 00 0 1 013 3 2 12 2 1 10 , 1 , 2 ,iiiiiiiiiiiiyyy x F u F u G u G uhmhmyyu u uhmhmin??????????????????????????????????????? ? ???????? ??? ? ??2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 14 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 上式確定的函數(shù) y(u),它本身及一階導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)性但二階導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)還不能確定，取決于m的取值，上式對(duì) x求導(dǎo)兩次后 1 0 1 1 0 1221 1 1 139。39。( ) 39。39。( ) 39。39。( ) 39。39。( ) 39。39。( )i i i i ii i i iy x y F u y F u m G u m G uh h h h??? ? ? ?0 39。39。( ) 1 2 6F u u?? 1 39。39。( ) 12 6F u u? ? ?0 39。39。( ) 6 4G u u??1 39。39。( ) 6 2G u u??2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 15 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 考察連續(xù)性 對(duì)于第 i段曲線的末點(diǎn)（ u=1） iiiiiiiiii hmhmhyhyxy4266)(39。39。1221 ???? ??對(duì)于第 i+1段曲線的始點(diǎn)（ u=0） 1112112114266)(39。39。??????? ?????iiiiiiiiii hmhmhyhyxy2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 16 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 讓兩段曲線的二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，則兩式必須相等 111111 1 11 1 123iii i ii i i ii i i i i ii i i i i ihhm m mh h h hh y y h y yh h h h h h?????? ? ?? ? ??????? ??? ? ? ???????引入記號(hào) 1 1 111, 1 , 3i i i i ii i i i i ii i i ih y y y yu c uh h h h? ? ?? ? ????? ??? ? ? ? ???? ??2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 17 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 可寫為 112 0 , 1 , 1i i i i i im m u m c i n? ??? ? ? ? ? ? ? ?稱為樣條函數(shù)的 m關(guān)系式 雖然此時(shí)還不知道各內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的 im但正可以通過這些為保證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而建立起來的關(guān)系式解出 這些關(guān)系式是包含 n+1個(gè)未知數(shù) 方程的個(gè)數(shù)是 n1個(gè)，還不足以完全確定這些未知數(shù) 還必須添加兩個(gè)條件。一般取端點(diǎn)條件 2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 18 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 1 0 1 1 2 1+2m m u m c? ??端點(diǎn)條件 1 已知曲線在兩端點(diǎn)處的斜率 0 , nmm就化成關(guān)于 n1個(gè)未知量 ， n1個(gè)線性方程 其中第一個(gè)方程為 第 n1個(gè)方程為 1 2 1 n 1 n n 1+2n n nm m u m c? ? ? ? ??從而即可求出唯一的解。 2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 19 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 給定兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù) 端點(diǎn)條件 2 0 , nMM則在二階導(dǎo)數(shù)公式中： i=0 時(shí) 00110110 2)(32 cMhhyymm ?????i=n時(shí)： nnnnnnnn cMhhyymm ????? ?? 2)(32 11特別當(dāng)兩端二階導(dǎo)數(shù)為 0時(shí)，這種端點(diǎn)條件稱為自由端點(diǎn)條件 當(dāng)曲線在端點(diǎn)出現(xiàn)拐點(diǎn)或與一直線相切時(shí)，可以使用 2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 20 第二章 三次樣條曲線與參數(shù)樣條曲線 在求得所有的 mi 后分段三次曲線即可確定 整條三次樣條曲線的表達(dá)式為： 12311 0 0 00 0 1 0( ) 13 3 2 12 2 1 10 , 1 , 2 ,iiiiiiyyy x u u uhmhmin???????????????????????? ? ???????? ??? ? ??( ) ( ) 0 , 1 , 2 ,iy x y x i n? ? ? ??2022/2/14 南昌航空大學(xué)航機(jī)學(xué)院 21 第二章
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