【正文】 系統(tǒng)（到來的時間可以預測和服務時間是恒定）一般不存在排隊等候的現象。管理人員需要掌握充分的有關排隊等候的資料，主要包括以下幾點： 提供等候排隊的空間所花費的成本。 顧客離開而造成的可能存在的商業(yè)損失。 信譽可能損失。 顧客滿意度可能降低。 發(fā)生的阻塞可能會打亂商業(yè)活動運作和（或）顧客。等候線分析的目標排隊理論的本質是使總成本達到最小。在排隊過程存在著兩種基本費用：與顧客等待有關以及與系統(tǒng)容量有關。系統(tǒng)容量成本是維護所提供的服務、穩(wěn)定服務水平所支出的成本。如汽車服務中的汽車道的多少、超級市場付賬服務臺數量、維修機器的人員數量、在高速公路上車道的數量等。由于這些容量是不能儲存的，故當設施、設備等處于空閑的狀態(tài)時，容量就會消失。有關顧客等待的成本包括支付給等待服務的雇員的薪金（如等待維修用的工具或設備、等待卡車卸載的司機）和等待所占用空間所花費的成本（候診室的大小、洗車位的多少、在飛機著落前所要消耗原料所占的空間）以及由于顧客拒絕等候或由于等候過長而將來失去顧客所造成的商業(yè)損失。常常遇到一些實實在在的困難，不得不采取花費顧客等待時間，尤其是大部分費用不是可數的數據。應對這類問題，常用的方法就是把等待的時間和隊列的長度看作是可變的，管理人員確定顧客可接受的等候時間以及隊列長度，并建立一個服務水平達到這一要求的系統(tǒng)。排隊理論的傳統(tǒng)分析目標在于平衡系統(tǒng)提供一定服務水平所花的費用與顧客排隊所支付的成本。圖1充分說明了這一原理。注意到，當容量增加會伴隨著費用的增加，明顯它們間的關系是線性關系。在實際情況下，階梯函數比直線更適當應用。 當容量增量，傾向于減少等待的顧客的數量和時間，從而減少等待成本。 在典型的交易關系中，總成本可以用Ｕ形曲線代表。 分析的目標是在獲得一定服務能力水平的情況下如何使總成本最小。(它不同于在存貨EOQ模型的情況，在總成本曲線的極小的點通常不是兩條成本線相交的地方。)在隊伍內等候的外部顧客（與雇員即內部顧客相對）通常會對組織的質量存在著消極的影響。結果很多組織把注意力放在如何提供更快的服務速度——快速服務并不是僅僅增加服務器的數量。減少顧客等待比提供更快的服務速度能總成本曲線向下滑移更多。圖1 排列理論分析的目標在于尋找最低成本時的最佳容量系統(tǒng)特征有許多排隊理論模型可供選擇分析。顯然，能否分析成功很大程序取決于是否選擇了合適的模型。模型的選擇受系統(tǒng)特征的影響，主要特征如下： 人口來源 服務器（渠道）的數量 到來和服務的方式 隊列的制度（服務命令）如圖2描述了一個簡單的排隊系統(tǒng)。 號召人群在線等候顧客等候命令系統(tǒng)接受服務離開將到顧客圖2 一個簡單的隊列系統(tǒng)人口來源在這方面分析排隊問題在于潛在顧客來源是否有限制。有兩種可能情況：無限制的顧客來源與有限制的顧客來源。在無限制來源情況下，顧客的潛在的數量很大地超出系統(tǒng)容量。無限制顧客來源存在于服務是無限制的情況下，如超級市場、藥房、銀行、餐館、劇院、娛樂中心和收費橋。理論上，在“號召顧客群”中的大量顧客的服務請求能得以實現。某一時候可能出現需要修理的機器超過預計修理的數量而得不到修理，或者超出于應分配給每個維修工的數量。同樣，一個操作工可能同時要負責四臺機器的操作，護士同時接收病人入院和退房的要求，秘書要負責記錄三個董事長的工作指令，一個公司的銷售店可能要求需要20輛卡車。服務器（渠道）的數量排隊系統(tǒng)容量是指每臺服務器的功能與能提供服務需求的數量。服務器和渠道是同義的。通常假設，每一種渠道在每一次幾乎只處理一名顧客。系統(tǒng)可以是單一或多渠道的（一組服務人員組成服務團體，如一個外科醫(yī)療小組共同處理一個單一系統(tǒng)）。單一系統(tǒng)的例子還有只有一個結算臺的小雜貨店，某些劇院，只有一條汽車道的服務和只有一位出納的銀行。多渠道系統(tǒng)（擁有多臺服務器）常見于銀行系統(tǒng)、售飛機票系統(tǒng)、自動服務系統(tǒng)、加油站等。它們的分別聯系在于服務層次的數量或一個排隊系統(tǒng)的所處的階段。例如，人們往往從一種吸引力轉移到另一種吸引力，每個階段解釋了隊伍的形成的一般理由。圖3說明一些最常見的的排隊系統(tǒng)。由于在有限的空間，不可能包括所有的細節(jié)，在這里也不能一一述說，因此我們集中討論單階系統(tǒng)。一個服務臺,一種服務形式一個服務臺，多種服務形式多個服務臺，一種服務形式多個服務臺多種服務形式圖3 基于四種形式變化的隊列系統(tǒng)到來和服務的形式等候隊列是顧客到來的隨機性和服務方式多樣化的直接結果。它們的發(fā)生是隨機的，顧客到來的高度不確定性以及服務要求的多樣化導致系統(tǒng)臨時超載。很多情況下，可變性可由用分布理論描述。實際上，常用假設模型來分析，顧客的到達率可以用泊松分布描述。服務時間可以用消極指數來描述。圖4說明了這些分布泊松分布可以相當好地描述每個單位時間顧客到來的數量（即個/小時。）圖5A說明了泊松分布是如何描述顧客到來情況（即事故發(fā)生）。或許以三天情況為一研究時期。有時，到來顧客3或4個，有時1個或2個，甚至有些有時無人。消極指數能很好地描述顧客服務時間（即事故經過時間）。圖5B用消極指數來說明圖5A所出現顧客所需要的服務時間。注意到一些服務時間是十分之短——接近0，同時有一些服務時間十分長。這就是消極指數的特征。當顧客成群地到來或當服務時間十分長時，等候隊列經常會發(fā)生。要是同時出現上述兩種情況，等候隊列就很可能會發(fā)生。例如圖5B在第一天最多顧客時達7個。從圖5A我們可以知道，第7名顧客的到達時間恰好是十點后一點點，同時第5名和第6名的到達時間就在其前一點點。因此第7名顧客要等待是很可能發(fā)生的。一個類似的情況，第三天最后發(fā)生在最后三名顧客身上的情況：第13名顧客要求很長的服務時間（圖5B），而且在其后兩名顧客到來的時間與之很接近（圖5A，第三天），這樣會導致等候隊列的形成。十分有意義的是，泊松分布與消極指數方式不同但都提供同樣的信息。也就是說，要是服務時間用指數描述那服務率就能用泊松描述。同樣地，要是顧客到達率是泊松分布描述，那服務要求的間隔時間（即兩名顧客到達的時間間隔）就是指數描述。例如：如果一個服務系統(tǒng)每小時能服務12名顧客，平均每名顧客的服務時間為5分鐘上，并且顧客到達率10個/小時，那么兩名顧客到來的間隔時間為6分鐘。模型的描述一般用到達和服務率為描述對象，用泊松分布來描述。同樣地，顧客到達率與服務時間用指數來描述。這些因素與實際情況核對是很重要的。實際情況信息是通過數據收集，為了完成這一目標通常利用卡方測試。有關卡方測試的理論在很多基礎統(tǒng)計的課本都有描述，這方面的內容超出此書的內容。故不在此詳說。研究表明，這些假定能較為準確地描述顧客的到來，但對于服務時間很難描述。當假定條件得到的情況不滿意時，可以（1）建立一個更合適的模型，（2）尋找現有的（通常比較復雜的）模型，或者（3）利用計算機仿真。這些選擇都比現行的效果會更好，但同時成本會更高。圖 4 泊松分布與消極指數分布描述 圖5 顧客到來及服務時間隊列制度隊列制度提供了服務顧客的方式，所有除了特殊的個別情況的服務系統(tǒng)，提供服務形式都是先到先得。這個規(guī)定是共同的，如在銀行、商店、電影院、餐館、四個位的停車場、注冊地方等等。不遵從先到先接受服務規(guī)則的情況有：醫(yī)院的急診室、企業(yè)的緊急訂單、緊急主要的工作等。在這些或類似這些的情況，顧客花費的等候成本不同，那些高費用（即緊急事件）會首先接受服務，盡管其他顧客先到。系統(tǒng)性能措施當要評估現有的或要建立的系統(tǒng)時，管理人員一般把注意點放在以下五項措施：等待的平均數量，在線的或系統(tǒng)的。顧客等待的平均時間，在線的或系統(tǒng)的。系統(tǒng)利用率，即利用的百分比。服務水平與系統(tǒng)容量所支付的費用。某些存在會導致等候的因素的到來。這些措施能顯示系統(tǒng)的運行情況，它能反應系統(tǒng)繁忙情況而非空閑情況。表面上，操作者都想系統(tǒng)利用率達到百分之百。然而，正如圖6所顯示的，當系統(tǒng)利用率提高的同時，等候時間以及等候隊列的長度也會增長。實際上，當利用率接近100%，某些費用就變得很大。 在正常情況下，利用率達100%并不是一個現實目標。 即使它能達到，服務部門的運用并不不是最好。 他們有淡季的時候。 因此，操作管理員應該設法使系統(tǒng)達到使等待的費用和容量成本減到最小。圖6系統(tǒng)利用率的提高伴隨著在線等候顧客的數量增加或顧客平均服務時間增加隊列模型：無限來源有許多模型可供經理和分析員選擇。這里討論四種應用最廣泛最被分析人員接受的基本模型。目的在于說明模型應用的某一方面，而不是所有方面。假設他們都有泊松到達率，并假設模型所對的系統(tǒng)是穩(wěn)定工作的，即假設他們的平均到來顧客人數與服務率是穩(wěn)定的。這四種基本模型是：單一渠道，服務時間呈指數變化單一渠道，恒定的服務時間多渠道，服務時間呈指數變化多渠道優(yōu)先服務，服務時間呈指數變化為了更好地理解排隊模型的用途，表格1說明了一些無限來源模型的參數。表1 無限來源的模型所涉及的參數符號描 述λ顧客到達率μ服務率L1在線等候服務的顧客平均數量L2在系統(tǒng)等候服務的顧客平均數量系統(tǒng)利用率W1顧客在線等候的平均時間W2顧客在系統(tǒng)等候的平均時間1/μ服務時間P00個單元在系統(tǒng)的概率Pnn個單元在系統(tǒng)的概率M服務的渠道Lmax等候顧客的最大限制數量基本關系所有無限來源的模型都有一些基本關系。這些關系對獲得期望值有很大的幫助。這些基本關系如下：注：用λ和μ分別代表同一條件下的到來率和服務率（即個/小時或個/分）系統(tǒng)利用率：反映需求與容量比率（M表示服務總量，μ表示服務率） (1)能得到服務的平均顧客數量 (2)平均顧客數量L1:在隊列等候服務的顧客數（模型支持。通過建立表格或公式得到）L2：系統(tǒng)接受的顧客（在線上等候與正在接受服務之和）L2=L1+r （3）顧客等候平均時間：在線等候的平均時間: W1= （4）在系統(tǒng)等候的平均時間: W2=W1+ （5）所有無限來源模型要求系統(tǒng)的利用率少于1。這些模型僅適用于未超載的系統(tǒng)。在隊列等候的顧客平均數量L1是一個關鍵值，它是衡量系統(tǒng)其他因素的決定因素，如在系統(tǒng)的平均顧客數量、在隊列等候的平均時間、在系統(tǒng)平均時間。因此L1值是解決問題時要決定的第一個值。例子：一面包店，周日早上平均每小時有18位顧客。到來顧客可用一個表示18的泊松分布來描述。每個店員平均四分鐘服務一名顧客，這個時間可以用表示4分鐘的指數分布來描述。 到達數與服務率是什么？ 計算每次服務的平均數量。 ，計算在系統(tǒng)等候的平均數量（即在隊列等候的加上正接受服務的）。顧客在隊列等候的平均時間，顧客在系統(tǒng)等候的平均時間。 當服務員分別為2個、3個、4個時系統(tǒng)的利用率解決問題中已給出顧客的到來率，每小時有18位顧客到來：。改變一下服務時間的形式轉變成與時間率相配，即取倒數。（每名顧客服務4分鐘）/（每小時60分鐘）＝1/15＝1/μ, 即服務率μ為15（每小時一名店員可以服務15名顧客） ＝ = 個已知在隊列等候的顧客數量: L1= 個，則在系統(tǒng)等候的顧客數量：L2=L1+ r =+= 個故顧客在線等候的平均時間： 小時/個 ,即12 分鐘顧客在系統(tǒng)等候的平均時間：W2=W1+ =+ = 小時/個, 即16分鐘系統(tǒng)利用率當店員為2人時， = 即利用率為60%當店員為3人時， = 即利用率為40%當店員為4人時， = 即利用率為30%因此當到來率恒定，而服務容量（Mμ）增大時，系統(tǒng)的利用率反而降低。