數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)外文翻譯-外文文獻(xiàn)-資料下載頁
2025-01-19 11:52本頁面
【導(dǎo)讀】在初等函數(shù)的應(yīng)用。泰勒公式如果函數(shù)()fx在0xx?的某一鄰域內(nèi)，有直到1n?階導(dǎo)數(shù)，就可等于某個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余。為馬克勞林級(jí)數(shù)．那么，它是否以()fx為和函數(shù)呢?若令馬克勞林級(jí)數(shù)的前1n?它就是函數(shù)()fx的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式，也就是說，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的．事實(shí)上，那么，根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，再令0x?(冪級(jí)數(shù)顯然在0x?林公式中的余項(xiàng)以零為極限(當(dāng)n??展開成x的冪級(jí)數(shù)．。，還要考察余項(xiàng)()nrx．。注意到對(duì)任一確定的x值，xe是一個(gè)確定的常數(shù)，而級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，這表明級(jí)數(shù)確實(shí)收斂于()xfxe?在此之前，我們已經(jīng)得到了函數(shù)x?11，xe及sinx的冪級(jí)數(shù)展開式，運(yùn)用這幾個(gè)已知。例3利用arctanx的展開式估計(jì)?
【正文】 級(jí)數(shù)的運(yùn)算，可以求得許多函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式．這種求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的方法稱為間接展開法． 例 2 試求函數(shù) ( ) cosf x x? 在 0x? 處的冪級(jí)數(shù)展開式． 解 因?yàn)? (sin ) cosxx?? ， 而 3 5 2 11 1 1s in ( 1 )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnx x x x xn ?? ? ? ? ? ? ??… …,（ x??? ??? ）， 所以根據(jù)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的法則，可得 3 4 21 1 1c o s 1 ( 1 )2 ! 4 ! ( 2 ) !nnx x x xn? ? ? ? ? ? ?… …,（ x??? ??? ）． 2021 .數(shù)學(xué)分析原理 .數(shù)學(xué)分析原理 212 三、 函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的應(yīng) 用舉例 冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用很廣泛，例如可利用它來對(duì)某些數(shù)值或定積分值等進(jìn)行近似計(jì)算． 例 3 利用 arctanx 的展開式估計(jì) ? 的值． 解 由于 πarctan14?， 又因 3 5 7a r c ta n 3 5 7x x xxx? ? ? ? ? …， ( 11x? ? ? )， 所以有 1 1 14 a r c ta n 1 4 (1 )3 5 7? ? ? ? ? ? ? …． 可用右端級(jí)數(shù)的前 n項(xiàng)之和作 為π的近似值．但由于級(jí)數(shù)收斂的速度非常慢，要取足夠多的項(xiàng)才能得到π的較精確的估計(jì)值． 參考文獻(xiàn) [1] 陳傳璋，歐陽光中．?dāng)?shù)學(xué)分析 (下冊(cè) )[M]．北京：高等教育出版稅社， 1983： 18O192 [2] 史濟(jì)懷．母函數(shù) [M]．上海：上海教育出版社， 1980 [3] 鐘玉泉．復(fù)變函數(shù)論 [M]．北京：高等教育出版社， 1988:14l一 162
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