【正文】 平面內(nèi)任意一點作用單位集中力所引起的位移和面力可表示成 Kelvin 解與輔助解之和，即： ( ) ( ) ( ) ( ),s s K s c s s K s cu u u t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 疊加輔助解后滿足半平面的直線邊界無面力作用的邊界條件。其中下標(biāo) ?? 代表在 P 點作用 x? 方向的單位集中力引起的 Q 點 x? 方向的位移分量。 ()scu?? 的具體公式為： ? ?22( ) 2 1111 24() 1 2 1 212 24() 1 2 1 221 24( ) 222( 3 4 ) 2 418 ( 1 ) ( 3 4 ) l n( 3 4 ) 44( 1 ) ( 1 2 )( 3 4 ) 44( 1 ) ( 1 2 )( 3 418 ( 1 ) ( 3 4 ) l nscdscdscdscdR c x c x RuKR R Rr r c x R ruKRRr r c x R ruKRRuKR????? ? ??? ? ????? ????? ? ? ? ? ??????????? ? ? ? ????????? ? ? ? ??????? ? ? ? ?2224) 2 4r c x c x rRR??? ?????? （ ） 其中（參看圖 ） 1 1 2 21 / 2 1 / 21121( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )( ) , ( )= ( ) 0 , = ( ) 01= a r c t a n ( ) , =8 ( 1 ) Gdr x Q x P R x Q x Px P x P x P x Pr r r r R Rc x P x x QRKR? ? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ?? ? ????? 相應(yīng)的面力分量為： ( ) (c)=s c stn?? ? ???? （ ） (c)s???? 為與上述位移輔助解對應(yīng)的應(yīng)力輔助解，其具體公式列出如下： 22 21 1 2( c ) 121112 4 62 ( R +2c ) 2 ( 1 2 ) 16( 3x +c ) ( 1 2 )= + ssR x x r c x R rKR R R??? ???????????? 中國礦業(yè)大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文 第 15 頁 2 221( c ) ( c )111 2 12 1 22 4 62 2 2 ( 1 2 ) 1612=sssx c x c x R c x RKrR R R???? ????? ? ? ?? ??????? ? ? ????? 2 2 2 2 21 2 2 2(c) 121222 4 62 ( r +2 c ) 2 + 2 ( 1 2 ) 16( x +3 c ) ( 1 2 )= +ssR c r x r c x R rKR R R??? ???????? ????? 2221(c)221 1 22 4 62 6 2 ( 1 2 ) 1612ssc x c x x R c x rKrR R R??? ??? ? ? ?? ????? ? ? ? 22 21 2 1( c ) ( c ) 1221 2 22 12 4 62 ( 2 + ) 2 ( 1 2 ) 16( 3x +c ) ( 1 2 ) +sssR c x r x R c x R rKR R R???? ????????? ? ? ???? ? ? 22 221( c ) 122 2 2 2 4 62 4 2 2 ( 1 2 )3 1 2 16ssr c x c x R c x RKrR R R??? ????? ? ? ??????? ? ? ????? （ ） 其中 ? ?1 / 4 (1 )K ????。 當(dāng) p 點為半平面邊界線 2Ox 上的點時，上述由 Kelvin 解和輔助解疊加所得基本解即 Flamant 解，其公式可以寫成： ? ?()1 1 1 139。 2( 1 2 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? ? ?()1 2 1 239。 (1 2 ) , ,sF du K r r??? ? ? ? ? ? ?()2 1 2 139。 (1 2 ) , ,sF du K r r??? ? ? ? ? ?()2 2 2 239。 2( 1 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? () 2 ( , , )sF rt r rrn?? ? ?? ??? ? （ ） 其中 39。 1 / (2 )dKG?? 。這種解可用于 2Ox 上有外力作用的部分。 相應(yīng)的邊界積分方程為： 00 039。( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ,s s sC p u p u p Q f Q d Q u p q t q d q t p q u q d q p?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?00( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )s F s F s FC p u p u p Q f Q d Q u p q t q d q t p q u q d q?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ( ) ( )39。39。( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) , 39。s F s Fu p q t q d q t p q u q d q p? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? （ ） 中國礦業(yè)大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文 第 16 頁 其中 0? 為半平面內(nèi)部的邊界，例如空洞邊界， 39。? 為半平面邊界上有面力作用的部分。如圖 以上對于半平面問題的 基本解公式都是針對平面應(yīng)變問題給出的，對于平面應(yīng)力問題只要將公式中的泊松比 ? 改為 39。 / (1 )? ? ???即可。對于半空間問題，如果在板空間的平面邊界有部分受外力作用，也可以做類似處理。 Flamant 問題 我們首先建立一個各向同性的半平面，在這個半平面上作用一個集中力 f，這樣的問題就是我們所研究的 Flamant 問題，這一節(jié)我們就來用這種方法下的奇異解構(gòu)造邊界方程的邊界元方法。這種問題一般應(yīng)用到固體力學(xué)領(lǐng)域，對于 Flamant 問題的說明我們可以通過右圖可以看出： .Fy 代表沿 z 軸作用的線荷載，而它的單位為 :N/m。這樣的求解問題，我們可以看成是平面求解問題，很顯然，邊界元法降低了求解問題的維數(shù)。它的求解域為： ,0xy?? ? ? ? ?。 可以得到在 0y? 時 半平面的應(yīng)力為 : （ ） 位移為（其中 L 是常量） : ? ?yx 22Fu 1 2 a r c ta n2 π G2 y x yx x y????? ?? ? ? ????? ????? ? ?12 2 22yy 2 2 2Fu 2 12 π Gx y yLnL x y????? ? ? ?????????? （ ） 得到在半平面邊界上，向量 i ji jtn?? 的分量為 : ? ?x yx xyt ????和 y yyt ?? ，的這樣我們可以得到單位外法線向量為 jn ， 而它的兩個方向的分量分別為為 : 0xn? 和1yn? 。通過方程 ()我們可以得到，在原點 0xy??不可以求解外，對于半平面上中國礦業(yè)大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文 第 17 頁 的任意一點，應(yīng)力大小為 0。也就是說，在原點處，半平面受到的力是單一的。也就是前面所說的集中力。這樣我們就可以建立下面的函數(shù)： 該函數(shù)定義如下： a r c ta n ta nyyA rc kxx ??? （ ） 為了得到在方程（ ）中位移分量，我們就必須得到反 正切函數(shù) arctan /yx的值。 其中 tanyArc x 表示 arctan 的主值，有： / 2 t a n / / 2Arc y x??? ? ? ? （ ） k 由變量 x 和 y 決定，即 : 1 0 , 0001 0 , 0xykxy?????????當(dāng)當(dāng)當(dāng) （ ） 因此 arctan /yx的值位于 ? 和 +? 之間。對半無限區(qū)域 0y? ，該函數(shù)的值在 ? 和0 之間， 即有： arctan / 0yx? ??， y? （ ） 特別的，當(dāng) y=0 時，有： 0 , = 0a r c ta n = 0 0 , = 0xyyx xy????如 果如 果 （ ） 把這些結(jié)果代入（ ）的第一個方程可得： ? ?1 2= , 0 , = 04xyu F x yG? ? ?1 2= + , 0 , = 04xyu F x yG? （ ） 可以看出半平面表面位移在 x 方向的分量為一個定值，不隨著方向去改變。也就是說 0yF ，（如圖 中所示）半平面上的點都會 向著偏離 O 點的方向移動。 相面對 ()中的另外的一個方程進行討論，令 =0y ，可以得到 : ? ?1= 。 = 0yyu F Ln x Ln L yG?? ???? （ ） 在（ ）方程中得到：位移 yu 在力 0yF 作用點為正無窮大，在遠離這個作用點時越來越小。從而能夠看出邊界上，施加載荷時的一些性質(zhì)。雖然我們是在 ,xy平中國礦業(yè)大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文 第 18 頁 面設(shè)定的一些平面應(yīng)變條件，平面應(yīng)變條件適用于法向平行于 z 軸的任意平面，但是線型力在 z 方向是無限長的，我們是沒有辦法改變的。 對 Flamant 問題，方程 ()中的 L 是用來量化 yu 值的常量。由方程 ()知， 當(dāng) = , =0x Ly? 時： =0yu 。 （ ） 幾種常見的方法 下面簡單介紹幾種邊界元方法適用的方法 位勢問題的邊界元法簡介 邊界元法是基于邊界積分方程，采用與有限元法類似的分元、離散思想建立起來的。由于邊界積分方程是定義在邊界上的，因此邊界元法只要在邊界上劃分單元。以二維位勢問題為例，首先假設(shè)把整個邊界劃分為 eN 個單元，即1eNjj??? ??在每個單元上對邊界變量采用一定的插值函數(shù)（也稱形函數(shù)）插值，例如可采用只保證相鄰單元間未知量本身連續(xù)的 Lagrange 插值： () 11( ) ( ) ( )m mll N? ? ? ? ??? ? () 11( ) ( ) ( )m mll Nnn??? ? ????? ? （ ） 其中 ? 是單元上的局部坐標(biāo)，一般情況下 ? ?1,1??? ； m 為單元節(jié)點數(shù)， l 為單元內(nèi)節(jié)點序 號， ()mlN 為相應(yīng)的插值函數(shù)。需要提到與一般有限元不同的是，這里還可以采用相鄰單元間未知量本身都不連續(xù)的常值單元。原則上說，只有未知量是必須利用型函數(shù)插值的，邊界給定量可以不進行插值離散化，而直接利用精確給定函數(shù)。此外，一般說來對不同邊界未知量還可以采用不同的插值規(guī)律。但為簡單起見，下面不妨對未知量、給定量兩者都進行離散插值，且對函數(shù)值和法向?qū)?shù)值采用同樣的插值函數(shù)。將（ ）式代入邊界積分方程（ ）得 ()11( ) ( ) ( ) ( ) ( 。 ( ) ) ( )ejN m mSjl ljlc p p q N p q dn?? ? ? ? ???? ?????? ? ()11( 。 ( ) )( ) ( ) (