【正文】 xlabel(39。w/wc39。)。 ylabel(39。|H(jw)|^239。)。 title(39。巴特沃斯低通模擬濾波器階數(shù)與頻率關(guān)系 39。)。 grid on 圖 211 濾波器的階數(shù)與頻率的關(guān)系 西安歐亞學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 20 3 FIR 濾波器 在上一章中討論了關(guān)于 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)及 MATLAB 實(shí)現(xiàn)， 很顯然 IIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以以模擬濾波器為原型 做 設(shè)計(jì) 的 ， 而 缺點(diǎn) 則 是相位是非線性的， 如 若需要線性相位， 就 需要進(jìn)行校正。 FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以可以 更加 方 的 便實(shí)現(xiàn)線性相位。 FIR 濾波器的結(jié)構(gòu) FIR 濾波器有以下特點(diǎn)： （ 1） 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)應(yīng) )(hn 在有限個(gè) n 值處不為零。 （ 2） 系統(tǒng)函數(shù)好 )(zH 在 0?z 處收斂，極點(diǎn)全部在 z=0 處。 （ 3） 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但是有些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分 [8]。 FIR 濾波器實(shí)現(xiàn)的機(jī)構(gòu)有： （ 1） 直接型結(jié)構(gòu)。 （ 2） 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 （ 3） 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。 （ 4） 快速卷積型結(jié)構(gòu) [8]。 直接型結(jié)構(gòu) 設(shè) FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng) h(n)為一個(gè)長度為 N 的序列，則系統(tǒng)函數(shù)為 （ 31） 表示這一系統(tǒng)輸入 \輸出的差分方程為 （ 32） 這就是 FIR 濾波器的直接結(jié)構(gòu) [5]。 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) FIR 級聯(lián)型系統(tǒng)函數(shù)表示為 （ 33） ??? ?? 10 )()( Nn nznhzH??? ?? 10 )()()( Nn mnxmhny?? ?? ??? KK kk zz BBbzH 1 2,1,0 )1()( 21西安歐亞學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 21 級聯(lián)型 FIR 可以通過 casfilter 函數(shù)實(shí)現(xiàn)。但是這種形式與 IIR 形式類似，也可以使用 dir2cas 函數(shù)，把分母向量 a 置為 1，用 dir2cas 函數(shù)從級聯(lián)形式轉(zhuǎn)換為直接形式而得到 [5]。 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 若 FIR 濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)為有限長（ N 點(diǎn)）序列 h(n)。對 h(n)可以得到 H(k)，然后利用內(nèi)插公式 （ 34） 來表示系統(tǒng)函數(shù)。這就給 FIR 濾波器提供另一種結(jié)構(gòu) ——頻率抽樣結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)由兩部分級聯(lián)而成 [5]： （ 35） 快速卷積型結(jié)構(gòu) 若 FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng) h(n)是一個(gè) 1N 點(diǎn)有限長序列，輸入 )(xn 是一個(gè) 2N點(diǎn)有限長序列，那么輸出 y(n)是 h(n)的線性卷積，它是一個(gè) 121 ??? NNL 點(diǎn)的有限長序列。 我們將 x(n)補(bǔ)上 2NL? 個(gè)零值點(diǎn)，將 h(n)補(bǔ)上 1NL? 個(gè)零值點(diǎn)，然后進(jìn)行 L 點(diǎn)圓周卷積，就可以代替原 )(nx 與 )(hn 的線性卷積。這樣將得到 FIR 濾波器的快速卷積結(jié)構(gòu)。 常用窗函數(shù)介紹 FIR 濾波器設(shè)計(jì)的主要任務(wù)是根據(jù)給定的性能指標(biāo)確定濾波器系的數(shù) b，即系統(tǒng)單位脈沖序列 )(nh ，它是一個(gè)有限長序列。 FIR 濾波器的理想頻 率響應(yīng)，可寫成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)形式： （ 36） 式中： )(nhd 是對單位脈沖響應(yīng)序列。 為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)應(yīng)該滿足以下兩個(gè)要求： (1)窗函數(shù)的主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶。 (2)相對于主瓣，旁瓣喲啊盡量小，使能量相對集中在產(chǎn)瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性 [6]。 ??? ??? ??? 10 11 )(1)1()( Nk kNN zW kHNzzH???? 10 )()(1)( Nk kc zHzHNzH?????? ?? n njdjd enheH ?? )()(西安歐亞學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 22 但實(shí)際上這 兩點(diǎn)都不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 矩形窗 (Rectangular window) 這是一種最簡單的窗函數(shù)，但從阻帶衰減的角度來看，其性能最差。它的定義為 : ? ? ? ?nRn NR ?? 其頻率響應(yīng)為： (37) 矩形窗的主瓣寬度為 N?4 ，第一副瓣比主瓣低 13dB，阻帶最 小衰減為 21dB。 在 MATLAB 中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為 boxcar，其調(diào)用格式為 w=boxcar(N)，其中 N 是窗函數(shù)的長度，返回值 w 是一個(gè) N 階的向量，它由窗函數(shù)的值組成 [3]。 三角窗 (Triangular window) 三 角窗的時(shí)域表達(dá)式為： (38) 其頻率響應(yīng)為： (39) 其主瓣寬度為 8π/N，第一副瓣比主瓣低 26dB，阻帶最小衰減為 25dB[7]。 在 MATLAB 中，實(shí)現(xiàn)矩形 窗的函數(shù)為 triang，其調(diào)用格式為 w=triang(N)。 漢寧窗 (Hanning window) 漢寧窗函數(shù)又稱升余弦函數(shù)，是余弦平方函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為： (310) 其頻率響應(yīng)為： (311) 其主瓣寬度為 N?8 ，第一旁瓣比主瓣低 31dB，阻帶最小衰減為 44dB。能量更集中在主瓣之中 [7]。 在 MATLAB 中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為 hanning，其調(diào)用格 式為 w=hanning(N)。 海明窗 (Hamming window) 海明窗函數(shù)是一種改進(jìn)的升余弦函數(shù)，活著成為改進(jìn)的漢寧窗。其時(shí)域表達(dá)式為： (312) ? ? ? ?? ? ? ?eNeW NjjR ?? ?? 1212s in 2s in ???? ? ? ????????????????121,1221210,12NnN nNnN nnTr?? ? ? ?? ? eNNeW NjjTr ?????? ?????????? ??? ?? 2 122s i n 4s i n2? ? ? ? ? ?nRNnn NHn 12c o ??? ??? ? eWeW NjHnjHn ?? 2 1???? ? ? ? ? ?nRNnn NHm 12c o ??? ??西安歐亞學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 23 其幅度頻率特性為： (313) 其主瓣寬度為 8π/N，能量更集中在主瓣之中，主瓣的能量約占 %，第一旁瓣的峰值比主瓣小 40dB[7]。 在 MATLAB 中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為 hamming，其調(diào)用格式為 w=hamming(N)。 布拉克曼 (Blackman window) 布拉克曼函數(shù)又稱三級升余弦窗函數(shù)，它對升余弦函數(shù)加上一個(gè)二次諧波余弦分量，從而進(jìn)一步降低波瓣，它的時(shí)域表達(dá)式為： （ 314） 布拉克曼的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的三倍，為 N?12 。它的最大旁瓣比主瓣值低57dB，阻帶最小衰減為 74dB[7]。 在 MATLAB 中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為 blackman，其調(diào)用格式為 w=blackman(N)。 各種窗函數(shù)的實(shí)現(xiàn)與比較 在 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)中，要用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)來 進(jìn)行處理，通過調(diào)整窗口長度 N 可以有效地控制過渡帶寬度，帶內(nèi)波動減少以及加大阻帶衰減 可以通過 調(diào)整窗函數(shù)形狀 來改變 。如果找到合適的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的更多的能量 被集中道 主瓣 上 ，則相應(yīng)的減小 了 旁瓣 的 幅度，而旁瓣的減小可 直接影響 通帶 和 阻帶波動 的相應(yīng)的 減小，阻帶衰減 變 大，但這樣 會影響到系統(tǒng)的 過渡帶。因此，選取窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)事必須 根據(jù)實(shí)際需要和技術(shù)要求來 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn) [7]。 在 MATLAB 中，各個(gè)窗函數(shù)的調(diào)用函數(shù)均已給出且用法比較簡單，所以為了更好的比較、區(qū)別、分析及選擇各個(gè)窗函數(shù)，特對各函數(shù)的幅度特性進(jìn)行比較。圖 31給出了以上五種窗函數(shù)的時(shí)域幅度波形，圖 32 給出了當(dāng) N=64 時(shí)五種窗函數(shù)的頻幅度譜。可以看出，隨著旁瓣的減小，主瓣寬度相應(yīng)增加。 表 31 各種窗函數(shù)的性能比較 窗函數(shù) 第一旁瓣相對于主瓣衰減 /dB 主瓣寬 阻帶最小衰減 /dB 矩形窗 13 4π/N 21 三角窗 25 8π/N 25 漢寧窗 31 8π/N 44 海明窗 41 8π/N 53 布拉克曼窗 57 12π/N 74 ? ? ? ? ?????? ?????? ????????? ???? NWNWWW RRRHm ??????? ? ? ?nRN nN nn NBl ?????? ????? 14c ???西安歐亞學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 24 常用函數(shù)的比較 圖 31 各種窗函數(shù)比較 圖 32 各種窗函數(shù)頻率比較 海明窗設(shè)計(jì)低通濾波器 設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法，頻率抽樣法，等波紋切比雪夫逼近法等，在此主要討論基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器及其 MATLAB 實(shí)現(xiàn)的問題。窗函數(shù)法又稱為傅立葉級數(shù)法，它是在時(shí)域進(jìn)行的，因而必須由理想濾波器的頻率響應(yīng) ? ?eH jd ? 推導(dǎo)出其單位脈沖響應(yīng) ??nhd ，再設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)??nh 去逼近 ??nhd 。 西安歐亞學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 25 假設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng) ? ?eH jd ? 的表示為： (315) 由于理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)序列是傅立葉變換對，所以根據(jù)傅立葉反變換得到 ??nhd 。 求得理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) ??nhd 后，可得到該離散濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)??zHd ： (316) 但該 ??nhd 是 無限長序列，因此 ??zHd 是物理不可 以 實(shí)現(xiàn)的。 為 了使 整個(gè) 系統(tǒng) 變化 為物理可實(shí)現(xiàn)的 系統(tǒng) ， 而 且使實(shí)際 中 的 FIR 型 濾波器頻率響應(yīng) 盡量的更加 逼近理想 的 濾波器的頻率響應(yīng)， 使用了 窗函數(shù) 法 將無限脈沖響應(yīng) ??nhd 截取 了 一段 h(n)用 來近似 的 表示 ??nhd ，可得 到如式（ 317）所示 ： (317) 式中 ω(n)表示窗函數(shù)。 從而有： (318) 式中 N 表示窗口長度，這樣 H(z)的系統(tǒng) 就是物理 上 可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)了 [2]。 由于這種方法是用一定寬度窗函數(shù)截取無限脈沖響應(yīng)序列，獲得有限長的脈沖響應(yīng)序列，從而得到 FIR 濾波器，故稱為 FIR 濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。 clear all。 Wp=*pi。 Ws=*pi。 tr_width=WsWp。 %過渡帶寬度 N=ceil(*pi/tr_width)+1 %濾波器長度 n=0:1:N1。 Wc=(Ws+Wp)/2。 %理想低通濾波器的截至頻率 hd=ideal_lp(Wc,N)。 %理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng) w_ham=(hamming(N))。 %海明窗 h=hd.*w_ham。 %截取得到實(shí)際的單位脈沖響應(yīng) [db,mag,pha,w]=freqz_m4(h,[1])。 %計(jì)算實(shí)際濾波器的幅度響應(yīng) delt