【正文】 轉(zhuǎn)軸移動(dòng)至ab邊（其它條件不變），再求電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式；（3）當(dāng)線(xiàn)圈作成半徑為r = 的圓形，再求電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式。 答案：（1）314cos100πtV 、（2）不變、（3）不變。第六章 電磁場(chǎng)解題模型：一、電磁場(chǎng)中的單桿模型1． ，電壓表與電流表的量程分別為0～10V和0～3A，電表均為理想電表。導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌電阻均不計(jì)，且導(dǎo)軌光滑，導(dǎo)軌平面水平，ab棒處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。（1）當(dāng)變阻器R接入電路的阻值調(diào)到30，且用＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，兩表中恰好有一表滿(mǎn)偏，而另一表又能安全使用，則此時(shí)ab棒的速度是多少？（2）當(dāng)變阻器R接入電路的阻值調(diào)到，且仍使ab棒的速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，兩表中恰有一表滿(mǎn)偏，而另一表能安全使用，則此時(shí)作用于ab棒的水平向右的拉力F2是多大？ 解析：（1）假設(shè)電流表指針滿(mǎn)偏，即I＝3A，那么此時(shí)電壓表的示數(shù)為U＝＝15V，電壓表示數(shù)超過(guò)了量程，不能正常使用，不合題意。因此，應(yīng)該是電壓表正好達(dá)到滿(mǎn)偏。當(dāng)電壓表滿(mǎn)偏時(shí)，即U1＝10V，此時(shí)電流表示數(shù)為設(shè)a、b棒穩(wěn)定時(shí)的速度為，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E1，則E1＝BLv1，且E1＝I1(R1＋R并)＝20Va、b棒受到的安培力為F1＝BIL＝40N解得（2）利用假設(shè)法可以判斷，此時(shí)電流表恰好滿(mǎn)偏，即I2＝3A，此時(shí)電壓表的示數(shù)為＝6V可以安全使用，符合題意。由F＝BIL可知，穩(wěn)定時(shí)棒受到的拉力與棒中的電流成正比，所以。2． ，一個(gè)足夠長(zhǎng)的“U”形金屬導(dǎo)軌NMPQ固定在水平面內(nèi)，MN、PQ兩導(dǎo)軌間的寬為L(zhǎng)＝。一根質(zhì)量為m＝，abMP恰好圍成一個(gè)正方形。該軌道平面處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可以調(diào)節(jié)的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。ab棒的電阻為R＝，其他各部分電阻均不計(jì)。開(kāi)始時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度。 （1）若保持磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，從t＝0時(shí)刻開(kāi)始，給ab棒施加一個(gè)水平向右的拉力，使它做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。此拉力F的大小隨時(shí)間t變化關(guān)系如圖2乙所示。求勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度及ab棒與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦力。（2）若從t＝0開(kāi)始，使磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從B0開(kāi)始使其以＝。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間ab棒開(kāi)始滑動(dòng)？此時(shí)通過(guò)ab棒的電流大小和方向如何？（ab棒與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等）解析：（1）當(dāng)t＝0時(shí)，當(dāng)t＝2s時(shí)，F(xiàn)2＝8N聯(lián)立以上式得：（2）當(dāng)時(shí)，為導(dǎo)體棒剛滑動(dòng)的臨界條件，則有：則3． ，處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌相距1m，導(dǎo)軌平面與水平面成＝37176。角，下端連接阻值為R的電阻。勻速磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直。、電阻不計(jì)的金屬棒放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸。（1）求金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止開(kāi)始下滑時(shí)的加速度大??；（2）當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電阻R消耗的功率為8W，求該速度的大小；（3）在上問(wèn)中，若R＝，金屬棒中的電流方向由a到b，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。（g＝10m/s2，176。＝，cos37176。＝） 解析：（1）金屬棒開(kāi)始下滑的初速為零，根據(jù)牛頓第二定律 ①由①式解得 ②（2）設(shè)金屬棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，速度為v，所受安培力為F，棒在沿導(dǎo)軌方向受力平衡： ③此時(shí)金屬棒克服安培力做功的功率等于電路中電阻R消耗的電功率 ④由③、④兩式解得： ⑤（3）設(shè)電路中電流為I，兩導(dǎo)軌間金屬棒的長(zhǎng)為l，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B ⑥ ⑦由⑥、⑦兩式解得 ⑧磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面向上。4． ，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2m的正方形導(dǎo)線(xiàn)框ABCD和一金屬棒MN由粗細(xì)相同的同種材料制成，每米長(zhǎng)電阻為R0＝1/m，以導(dǎo)線(xiàn)框兩條對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O為圓心，半徑r＝＝，方向垂直紙面向里且垂直于導(dǎo)線(xiàn)框所在平面，金屬棒MN與導(dǎo)線(xiàn)框接觸良好且與對(duì)角線(xiàn)AC平行放置于導(dǎo)線(xiàn)框上。若棒以v＝4m/s的速度沿垂直于AC方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至AC位置時(shí)，求（計(jì)算結(jié)果保留二位有效數(shù)字）：（1）棒MN上通過(guò)的電流強(qiáng)度大小和方向；（2）棒MN所受安培力的大小和方向。 解析：（1）棒MN運(yùn)動(dòng)至AC位置時(shí)，棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為線(xiàn)路總電阻。MN棒上的電流將數(shù)值代入上述式子可得：I＝，電流方向：N→M（2）棒MN所受的安培力：方向垂直AC向左。說(shuō)明：要特別注意公式E＝BLv中的L為切割磁感線(xiàn)的有效長(zhǎng)度，即在磁場(chǎng)中與速度方向垂直的導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)度。 5． ，足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌MN和PQ與R相連，平行地放在水平桌面上。質(zhì)量為m的金屬桿ab可以無(wú)摩擦地沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)軌與ab桿的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌寬度為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過(guò)整個(gè)導(dǎo)軌平面。現(xiàn)給金屬桿ab一個(gè)瞬時(shí)沖量I0，使ab桿向右滑行。（1）回路最大電流是多少？（2）當(dāng)滑行過(guò)程中電阻上產(chǎn)生的熱量為Q時(shí)，桿ab的加速度多大？（3）桿ab從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停下共滑行了多少距離？ 答案：（1）由動(dòng)量定理得由題可知金屬桿作減速運(yùn)動(dòng)，剛開(kāi)始有最大速度時(shí)有最大，所以回路最大電流：（2）設(shè)此時(shí)桿的速度為v，由動(dòng)能定理有：而Q＝解之 由牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律得（3）對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量定理有：而所以有又其中x為桿滑行的距離所以有。6． ，光滑平行的水平金屬導(dǎo)軌MNPQ相距l(xiāng)，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接一個(gè)阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面豎直向下、寬為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體棒ab，垂直擱在導(dǎo)軌上，與磁場(chǎng)左邊界相距d0?，F(xiàn)用一大小為F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，棒ab在離開(kāi)磁場(chǎng)前已經(jīng)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的接觸，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）。求：（1）棒ab在離開(kāi)磁場(chǎng)右邊界時(shí)的速度；（2）棒ab通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中整個(gè)回路所消耗的電能；（3）試分析討論ab棒在磁場(chǎng)中可能的運(yùn)動(dòng)情況。 解析：（1）ab棒離開(kāi)磁場(chǎng)右邊界前做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為vm，則有：對(duì)ab棒＝0，解得（2）由能量守恒可得：解得：（3）設(shè)棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v由：棒在進(jìn)入磁場(chǎng)前做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)可分三種情況討論：①若（或），則棒做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；②若（或），則棒先加速后勻速；③若（或），則棒先減速后勻速。二、電磁流量計(jì)模型1． ，在非磁性材料做成的圓管道外加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)管中的導(dǎo)電液體流過(guò)此磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，測(cè)出管壁上的ab兩點(diǎn)間的電動(dòng)勢(shì)，就可以知道管中液體的流量Q——單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)液體的體積（）。已知管的直徑為D，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，試推出Q與的關(guān)系表達(dá)式。 解析：a，b兩點(diǎn)的電勢(shì)差是由于帶電粒子受到洛倫茲力在管壁的上下兩側(cè)堆積電荷產(chǎn)生的。到一定程度后上下兩側(cè)堆積的電荷不再增多，a，b兩點(diǎn)的電勢(shì)差達(dá)到穩(wěn)定值，此時(shí)，洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡：，，圓管的橫截面積故流量。2． 磁流體發(fā)電是一種新型發(fā)電方式。圖甲中的長(zhǎng)方體是發(fā)電導(dǎo)管，其中空部分的長(zhǎng)、高、寬分別為，前后兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，下下兩個(gè)側(cè)面是電阻可略的導(dǎo)體電極，這兩個(gè)電極與負(fù)載電阻相連。整個(gè)發(fā)電導(dǎo)管處于圖乙中磁場(chǎng)線(xiàn)圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)有電阻率為的高溫、高速電離氣體沿導(dǎo)管向右流動(dòng)，并通過(guò)專(zhuān)用管道導(dǎo)出。由于運(yùn)動(dòng)的電離氣體受到磁場(chǎng)作用，產(chǎn)生了電動(dòng)勢(shì)。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速隨磁場(chǎng)有無(wú)而不同。設(shè)發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速處處相同，且不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體流速為，電離氣體所受摩擦阻力總與流速成正比，發(fā)電導(dǎo)管兩端的電離氣體壓強(qiáng)差維持恒定，求：（1）不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體所受的摩擦阻力F多大；（2）磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)E的大?。唬?）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率P。 甲 乙 解析：（1）不存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得。（2）設(shè)磁場(chǎng)存在時(shí)的氣體流速為v，則磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)回路中的電流電流I受到的安培力設(shè)為存在磁場(chǎng)時(shí)的摩擦阻力，依題意，存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得根據(jù)上述各式解得（3）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率由能量守恒定律得故：三、回旋加速模型1． 正電子發(fā)射計(jì)算機(jī)斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國(guó)際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段。（1）PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑，氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時(shí)還產(chǎn)生另一個(gè)粒子，試寫(xiě)出該核反應(yīng)方程。（2），其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場(chǎng)時(shí)的初速度不計(jì)，質(zhì)子在加速器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t（其中已略去了質(zhì)子在加速電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間），質(zhì)子在電場(chǎng)中的加速次數(shù)于回旋半周的次數(shù)相同，加速質(zhì)子時(shí)的電壓大小可視為不變。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。（3）試推證當(dāng)時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)（質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場(chǎng)的影響）。 解析：（1）核反應(yīng)方程為： ①（2）設(shè)質(zhì)子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律得： ②質(zhì)子的回旋周期為： ③高頻電源的頻率為： ④質(zhì)子加速后的最大動(dòng)能為： ⑤設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的次數(shù)為n，則： ⑥又 ⑦可解得： ⑧（3）在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間為： ⑨在D形盒中回旋的總時(shí)間為 ⑩故，即當(dāng)時(shí)，可以忽略不計(jì)。2． ，y軸左方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向跟y軸正方向成 60176。，大小為；y軸右方有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度。有一質(zhì)子以速度，由x軸上的A點(diǎn)（10cm，0）沿與x軸正方向成30176。斜向上射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后射入電場(chǎng)，后又回到磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)作用后又射入電場(chǎng)。已知質(zhì)子質(zhì)量近似為，電荷，質(zhì)子重力不計(jì)。求：（計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字）（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。（2）質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的時(shí)間。（3）質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)。 解析：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，得質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：（2）由于質(zhì)子的初速度方向與x軸正方向夾角為30176。，且半徑恰好等于OA，因此，質(zhì)子將在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周到達(dá)y軸上的C點(diǎn)，如答圖3所示。圖3根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)周期為質(zhì)子從出發(fā)運(yùn)動(dòng)到第一次到達(dá)y軸的時(shí)間為質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)的方向相同，在電場(chǎng)中先做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度減為零后反向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律：，得因此，質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸的時(shí)間t為。（3）質(zhì)子再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與電場(chǎng)的方向相同，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸的D點(diǎn)。根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出C點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為；則質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的位置為即質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，）。3． ，在半徑為R的絕緣圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，圓筒正下方有小孔C與平行金屬板M、N相通。兩板間距離為d，兩板與電動(dòng)勢(shì)為U的電源連接，一帶電量為、質(zhì)量為m的帶電粒子（重力忽略不計(jì)），開(kāi)始時(shí)靜止于C點(diǎn)正下方緊靠N板的A點(diǎn)，經(jīng)電場(chǎng)加速后從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并以最短的時(shí)間從C點(diǎn)射出。已知帶電粒子與筒壁的碰撞無(wú)電荷量的損失，且碰撞后以原速率返回。求：（1）筒內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；（2）帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)至重新回到A點(diǎn)射出所經(jīng)歷的時(shí)間。 答案：（1）帶電粒子從C孔進(jìn)入，與筒壁碰撞2次再?gòu)腃孔射出經(jīng)歷的時(shí)間為最短。由粒子由C孔進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為由即，得（2）粒子從A→C的加速度為由，粒子從A→C的時(shí)間為：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為將（1）求得的B值代入，得，求得：。4． ，一對(duì)平行放置的金屬板M、N的中心各有一小孔P、Q、PQ連線(xiàn)垂直金屬板；N板右側(cè)的圓A內(nèi)分布有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，圓半徑為r，且圓心O在PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)上。現(xiàn)使置于P處的粒子源連續(xù)不斷地沿PQ方向放出質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（帶電粒子的重力和初速度忽略不計(jì)，粒子間的相互作用力忽略不計(jì)），從某一時(shí)刻開(kāi)始，在板M、N間加上如圖5乙所示的交變電壓，周期為T(mén)，電壓大小為U。如果只有在每一個(gè)周期的0—T/4時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，求：（1）在每一個(gè)周期內(nèi)哪段時(shí)間放出的帶電粒子到達(dá)Q孔的速度最大？（2）該圓形磁場(chǎng)的哪些地方有帶電粒子射出，在圖中標(biāo)出有帶電粒子射出的區(qū)域。甲 乙 答案：（1）在每一個(gè)周期內(nèi)放出的帶電粒子到達(dá)Q孔的速度最大。設(shè)最大速度為v，則據(jù)動(dòng)能定理得，求得。（2）因?yàn)榻獾脦щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中的最小偏轉(zhuǎn)角為。所以圖6中斜線(xiàn)部分有帶電粒子射出。圖6四、磁偏轉(zhuǎn)模型1． 一質(zhì)點(diǎn)在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。它從A點(diǎn)出發(fā)，以恒定速率經(jīng)時(shí)間t到B點(diǎn)，圖中x軸上方的軌跡都是半徑為R的半圓，下方的都是半徑為r的半圓。（1）求此質(zhì)點(diǎn)由A到B沿x軸運(yùn)動(dòng)的平均速度。（2）如果此質(zhì)點(diǎn)帶正電，且以上運(yùn)動(dòng)是在一恒定（不隨時(shí)間而變）的磁場(chǎng)中發(fā)生的，試盡可能詳細(xì)地論述此磁場(chǎng)的分布情況。不考慮重力的影響。 解析：（1）由A到B，若上、下各走了N個(gè)半