【正文】 止時(shí)，由物體的平衡條件知桿對(duì)球的作用力方向豎直向上，且大小等于球的重力mg。小車向右以加速度a運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球受桿的作用力方向與豎直方向的夾角為，如圖4所示，根據(jù)牛頓第二定律有：，兩式相除得：。圖4只有當(dāng)球的加速度且向右時(shí)，桿對(duì)球的作用力才沿桿的方向，此時(shí)才有。小車向左以加速度a運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律知小球所受重力mg和桿對(duì)球的作用力F的合力大小為ma，方向水平向左。根據(jù)力的合成知，方向斜向左上方，與豎直方向的夾角為：8． ，在動(dòng)力小車上固定一直角硬桿ABC，分別系在水平直桿AB兩端的輕彈簧和細(xì)線將小球P懸吊起來。輕彈簧的勁度系數(shù)為k，小球P的質(zhì)量為m，當(dāng)小車沿水平地面以加速度a向右運(yùn)動(dòng)而達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，輕彈簧保持豎直，而細(xì)線與桿的豎直部分的夾角為，試求此時(shí)彈簧的形變量。 答案：，，討論：①若則彈簧伸長②若則彈簧伸長③若則彈簧壓縮五、彈簧模型（動(dòng)力學(xué)）1． ，四個(gè)完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：①中彈簧的左端固定在墻上。②中彈簧的左端受大小也為F的拉力作用。③中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動(dòng)。④中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng)。若認(rèn)為彈簧的質(zhì)量都為零，以llll4依次表示四個(gè)彈簧的伸長量，則有（ ） ① ② ③ ④ A. B. C. D. 解析：當(dāng)彈簧處于靜止（或勻速運(yùn)動(dòng)）時(shí)，彈簧兩端受力大小相等，產(chǎn)生的彈力也相等，用其中任意一端產(chǎn)生的彈力代入胡克定律即可求形變。當(dāng)彈簧處于加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，以彈簧為研究對(duì)象，由于其質(zhì)量為零，無論加速度a為多少，仍然可以得到彈簧兩端受力大小相等。由于彈簧彈力與施加在彈簧上的外力F是作用力與反作用的關(guān)系，因此，彈簧的彈力也處處相等，與靜止情況沒有區(qū)別。在題目所述四種情況中，由于彈簧的右端受到大小皆為F的拉力作用，且彈簧質(zhì)量都為零，根據(jù)作用力與反作用力關(guān)系，彈簧產(chǎn)生的彈力大小皆為F，又由四個(gè)彈簧完全相同，根據(jù)胡克定律，它們的伸長量皆相等，所以正確選項(xiàng)為D。2． 。該裝置是在矩形箱子的前、后壁上各安裝一個(gè)由力敏電阻組成的壓力傳感器。，滑塊可無摩擦的滑動(dòng)，兩彈簧的另一端分別壓在傳感器a、b上，其壓力大小可直接從傳感器的液晶顯示屏上讀出?，F(xiàn)將裝置沿運(yùn)動(dòng)方向固定在汽車上，傳感器b在前，傳感器a在后，汽車靜止時(shí)，傳感器a、b的示數(shù)均為10N（取）（1）若傳感器a的示數(shù)為14N、求此時(shí)汽車的加速度大小和方向。（2）當(dāng)汽車以怎樣的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器a的示數(shù)為零。 解析：（1），a1的方向向右或向前。（2）根據(jù)題意可知，當(dāng)左側(cè)彈簧彈力時(shí)，右側(cè)彈簧的彈力代入數(shù)據(jù)得，方向向左或向后3． ，一根輕彈簧上端固定在O點(diǎn)，下端系一個(gè)鋼球P，球處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)對(duì)球施加一個(gè)方向向右的外力F，吏球緩慢偏移。若外力F方向始終水平，移動(dòng)中彈簧與豎直方向的夾角且彈簧的伸長量不超過彈性限度，則下面給出彈簧伸長量x與的函數(shù)關(guān)系圖象中，最接近的是（ ） 答案：D第二章 圓周運(yùn)動(dòng)解題模型：一、水平方向的圓盤模型1． ，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其正壓力的μ倍，求：（1）當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度時(shí)，細(xì)繩的拉力。（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度時(shí)，細(xì)繩的拉力。 解析：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則，解得。（1）因?yàn)?，所以物體所需向心力小于物體與盤間的最大摩擦力，則物與盤間還未到最大靜摩擦力，細(xì)繩的拉力仍為0，即。（2）因?yàn)椋晕矬w所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細(xì)繩將對(duì)物體施加拉力，由牛頓的第二定律得：，解得。2． ，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，沿直徑方向上放置以細(xì)線相連的A、B兩個(gè)小物塊。A的質(zhì)量為，離軸心，B的質(zhì)量為，離軸心，A、試求：（1）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少時(shí)，細(xì)線上開始出現(xiàn)張力？（2）欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多大？（） （1）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少時(shí)，細(xì)線上開始出現(xiàn)張力？（2）欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多大？（）解析：（1）較小時(shí)，A、B均由靜摩擦力充當(dāng)向心力，增大，可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而，所以A受到的靜摩擦力先達(dá)到最大值。再增大，AB間繩子開始受到拉力。由，得：（2）達(dá)到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A增大的向心力靠增加拉力來提供，由于A增大的向心力超過B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到達(dá)最大靜摩擦力。如再增加，就不能維持勻速圓周運(yùn)動(dòng)了，A、B就在圓盤上滑動(dòng)起來。設(shè)此時(shí)角速度為，繩中張力為，對(duì)A、B受力分析：對(duì)A有對(duì)B有聯(lián)立解得：3． ，兩個(gè)相同材料制成的靠摩擦傳動(dòng)的輪A和輪B水平放置，兩輪半徑，當(dāng)主動(dòng)輪A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在A輪邊緣上放置的小木塊恰能相對(duì)靜止在A輪邊緣上。若將小木塊放在B輪上，欲使木塊相對(duì)B輪也靜止，則木塊距B輪轉(zhuǎn)軸的最大距離為（ ）A. B. C. D. 答案：C二、行星模型1． 已知?dú)湓犹幱诨鶓B(tài)時(shí)，核外電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，則氫原子處于量子數(shù)3，核外電子繞核運(yùn)動(dòng)的速度之比和周期之比為：（ ）A. ；B. C. D. 以上答案均不對(duì)解析：根據(jù)經(jīng)典理論，氫原子核外電子繞核作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由庫侖力提供向心力。即，從而得線速度為周期為又根據(jù)玻爾理論，對(duì)應(yīng)于不同量子數(shù)的軌道半徑與基態(tài)時(shí)軌道半徑r1有下述關(guān)系式：。由以上幾式可得v的通式為：所以電子在第3不同軌道上運(yùn)動(dòng)速度之比為：而周期的通式為：所以，電子在第3不同軌道上運(yùn)動(dòng)周期之比為：由此可知，只有選項(xiàng)B是正確的。2． 衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，由于大氣阻力的作用，其軌道的高度將逐漸變化（由于高度變化很緩慢，變化過程中的任一時(shí)刻，仍可認(rèn)為衛(wèi)星滿足勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律），下述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的一些物理量的變化正確的是：（ ）A. 線速度減小 B. 軌道半徑增大 C. 向心加速度增大 D. 周期增大解析：假設(shè)軌道半徑不變，由于大氣阻力使線速度減小，因而需要的向心力減小，而提供向心力的萬有引力不變，故提供的向心力大于需要的向心力，衛(wèi)星將做向心運(yùn)動(dòng)而使軌道半徑減小，由于衛(wèi)星在變軌后的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，故增大而T減小，又，故a增大，則選項(xiàng)C正確。3． 經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理?，F(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定；該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；（2）若實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為，且。為了理解與的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)。作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)。若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請(qǐng)根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。答案：（1）雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的速率為v，得：（2）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期：這種差異是由雙星系統(tǒng)（類似一個(gè)球）內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用，與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量且位于中點(diǎn)O處）的作用相同?？紤]暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，則有：因?yàn)橹荛L一定時(shí)，周期和速度成反比，得：有以上各式得設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有第三章 功和能一、水平方向的彈性碰撞1． 在光滑水平地面上有兩個(gè)相同的彈性小球A、B，質(zhì)量都為m，現(xiàn)B球靜止，A球向B球運(yùn)動(dòng)，發(fā)生正碰。已知碰撞過程中總機(jī)械能守恒，兩球壓縮最緊時(shí)的彈性勢(shì)能為EP，則碰前A球的速度等于（ ）A. B. C. D. 解析：設(shè)碰前A球的速度為v0，兩球壓縮最緊時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得出，由能量守恒定律得，聯(lián)立解得，所以正確選項(xiàng)為C。2． 在原子核物理中，研究核子與核子關(guān)聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反應(yīng)”。這類反應(yīng)的前半部分過程和下述力學(xué)模型類似，兩個(gè)小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)，在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v0射向B球，C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D，在它們繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)彈簧長度變到最短時(shí)，長度突然被鎖定，不再改變，然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動(dòng)，A與P接觸而不粘連，過一段時(shí)間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無機(jī)械能損失），已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。 （1）求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。（2）求在A球離開擋板P之后的運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能。解析：（1）設(shè)C球與B球粘結(jié)成D時(shí)，D的速度為v1，由動(dòng)量守恒得當(dāng)彈簧壓至最短時(shí)，D與A的速度相等，設(shè)此速度為v2，由動(dòng)量守恒得，由以上兩式求得A的速度。（2）設(shè)彈簧長度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢(shì)能為EP，由能量守恒，有撞擊P后，A與D的動(dòng)能都為零，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長度時(shí)，勢(shì)能全部轉(zhuǎn)彎成D的動(dòng)能，設(shè)D的速度為v3，則有以后彈簧伸長，A球離開擋板P，并獲得速度，當(dāng)A、D的速度相等時(shí)，彈簧伸至最長，設(shè)此時(shí)的速度為v4，由動(dòng)量守恒得當(dāng)彈簧伸到最長時(shí)，其勢(shì)能最大，設(shè)此勢(shì)能為EP39。，由能量守恒，有解以上各式得。3． ，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導(dǎo)軌上，彈簧處在原長狀態(tài)。另一質(zhì)量與B相同滑塊A，從導(dǎo)軌上的P點(diǎn)以某一初速度向B滑行，當(dāng)A滑過距離l1時(shí)，與B相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A、B緊貼在一起運(yùn)動(dòng)，但互不粘連。已知最后A恰好返回出發(fā)點(diǎn)P并停止，滑塊A和B與導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦因數(shù)都為，運(yùn)動(dòng)過程中彈簧最大形變量為l2，重力加速度為g，求A從P出發(fā)的初速度v0。 解析：令A(yù)、B質(zhì)量皆為m，A剛接觸B時(shí)速度為v1（碰前）由功能關(guān)系，有A、B碰撞過程中動(dòng)量守恒，令碰后A、B共同運(yùn)動(dòng)的速度為v2有碰后A、B先一起向左運(yùn)動(dòng)，接著A、B一起被彈回，在彈簧恢復(fù)到原長時(shí)，設(shè)A、B的共同速度為v3，在這一過程中，彈簧勢(shì)能始末狀態(tài)都為零，利用功能關(guān)系，有此后A、B開始分離，A單獨(dú)向右滑到P點(diǎn)停下，由功能關(guān)系有由以上各式，解得4． 用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2kg的A、B兩物塊都以的速度在光滑水平地面上運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長，質(zhì)量為4kg的物體C靜止在前方，B與C碰撞后二者粘在一起運(yùn)動(dòng)。求在以后的運(yùn)動(dòng)中，（1）當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)物體A的速度多大？（2）彈性勢(shì)能的最大值是多大？（3）A的速度有可能向左嗎？為什么？ 解析：（1）當(dāng)A、B、C三者的速度相等時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，由于A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有解得：（2）B、C碰撞時(shí)B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為，則設(shè)物塊A速度為vA時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大為EP，根據(jù)能量守恒（3）由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得設(shè)A的速度方向向左，則則作用后A、B、C動(dòng)能之和實(shí)際上系統(tǒng)的機(jī)械能根據(jù)能量守恒定律，是不可能的。故A不可能向左運(yùn)動(dòng)。5． ，在光滑水平長直軌道上，A、B兩小球之間有一處于原長的輕質(zhì)彈簧，彈簧右端與B球連接，左端與A球接觸但不粘連，已知，開始時(shí)A、B均靜止。在A球的左邊有一質(zhì)量為的小球C以初速度向右運(yùn)動(dòng)，與A球碰撞后粘連在一起，成為一個(gè)復(fù)合球D，碰撞時(shí)間極短，接著逐漸壓縮彈簧并使B球運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，D球與彈簧分離（彈簧始終處于彈性限度內(nèi)）。 （1）上述過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能是多少？（2）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)B球速度是多大？（3）若開始時(shí)在B球右側(cè)某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在D球與彈簧分離前使B球與擋板發(fā)生碰撞，并在碰后立即將擋板撤走，設(shè)B球與擋板碰撞時(shí)間極短，碰后B球速度大小不變，但方向相反，試求出此后彈簧的彈性勢(shì)能最大值的范圍。答案：（1）設(shè)C與A相碰后速度為v1，三個(gè)球共同速度為v2時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由動(dòng)量守恒，能量守恒有：（2）設(shè)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，D球速度為，B球速度為則有（3）設(shè)B球與擋板相碰前瞬間D、B兩球速度與擋板碰后彈性勢(shì)能最大，D、B兩球速度相等，設(shè)為當(dāng)時(shí)，最大時(shí)，最小，所以二、水平方向的非彈性碰撞1． ，木塊與水平彈簧相連放在光滑的水平面上，子彈沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)（時(shí)間極短），然后將彈簧壓縮到最短。關(guān)于子彈和木塊組成的系統(tǒng)，下列說法真確的是A． 從子彈開始射入到彈簧壓縮到最短的過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒B． 子彈射入木塊的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒C． 子彈射入木塊的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒D． 木塊壓縮彈簧的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒 答案：B2． ，一個(gè)長為L、質(zhì)量為M的長方形木塊，靜止在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），以水平初速度從木塊的左端滑向右端，設(shè)物塊與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，當(dāng)物塊與木塊達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)，物塊仍在長木塊上，求系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能的量Q。