【正文】 分析】此題學(xué)生易忽視對 是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏解。另一方面23?對兩個問題中定義域為 R 和值域為 R 的含義理解不透徹導(dǎo)致錯解。解析：（1）據(jù)題意知若函數(shù)的定義域為 R 即對任意的 x 值恒成立，令????22315mxmx???0?，當(dāng) =0 時，即 或 。經(jīng)驗證當(dāng)2g??23m??1m?2時適合，當(dāng) 時，據(jù)二次函數(shù)知識若對任意 x 值函數(shù)值大于零恒成立，只需1?解之得 或 綜上所知 m 的取值范圍為 或 。230????????1?94??94?（2）如果函數(shù) 的值域為 R 即對數(shù)的真數(shù) 能取到任意的正??fx????22315xx????27數(shù)，令 當(dāng) =0 時，即 或 。經(jīng)驗?????22315gxmxmx?????23m?1?2證當(dāng) 時適合，當(dāng) 時，據(jù)二次函數(shù)知識知要使的函數(shù)值取得所有正值只需0?解之得 綜上可知滿足題意的 m 的取值范圍是 。20??????94??94?【知識點歸類點拔】對于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項系數(shù)含有字母，要注意對字母是否為零進(jìn)行討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)不等式是一次不等式還是二次不等式。同時通過本題的解析同學(xué)們要認(rèn)真體會這種函數(shù)與不等式二者在解題中的結(jié)合要通過二者的相互轉(zhuǎn)化而獲得解題的突破破口。再者本題中函數(shù)的定義域和值域為 R 是兩個不同的概念，前者是對任意的自變量 x 的值函數(shù)值恒正，后者是函數(shù)值必須取遍所有的正值二者有本質(zhì)上的區(qū)別。【練 30】已知函數(shù) 的定義域和值域分別為 R 試分別確定滿足????212fxaxax???條件的 a 的取值范圍。答案：（1） 或 （2） 或?3?1??a??【易錯點 31】不等式的證明方法。學(xué)生不能據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的證明方法,達(dá)不到對各種證明方法的靈活應(yīng)用程度。例 3已知 a＞0，b＞0，且 a+b=：( a+ )(b+ )≥ .145【易錯點分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然 a+ 和 b+ 不能同時取得等號，本題可有如下1證明方法。證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證 4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證 4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤ 或 ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1 ，∴ab≥8 不可能成立∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ， ab41證法二：(均值代換法)設(shè) a= +t1，b= +t2.∵a+ b=1，a＞0，b＞0，∴t 1+t2=0，|t 1|＜ ，|t 2|＜.425164231654)5(41)1)(( )(1()()(1 422 1212 ??????????? ????tttt tttba顯然當(dāng)且僅當(dāng) t=0，即 a=b= 時，等號成立.證法三：(比較法）∵a+b=1 ，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ab41425)1( 0)8(48351) 2??? ??????????ba ab證法四：(綜合法)∵a+ b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ .ab41284251)(41 625)(169)(4312 ??????????????????????abababab5)(?即證法五：(三角代換法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令 a=sin2α ，b=cos 2α ， α ∈(0， )2?.425)1(425sin4)( ,sini16s sicosncosin)co1)((i)2 2222 4422?????????????????? ??ba即 得??????【知識點歸類點拔】：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商) 、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，從正面證如果不易說清楚，“至少” “惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點.【練 31】 （2022 北京文）數(shù)列 由下列條件確定：??nx ???????????Nnxaxann,21,01（1） 證明：對于 總有 ,（2）證明：對于 ，總有 .2?na?1n?【易錯點 32】函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。學(xué)生不能明確和利用三者的關(guān)系在解題中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路。例 3已知二次函數(shù) 滿足 ，且 對一切實數(shù) 恒成立. ()fx(1)0f??21())xfx??x求 ； 求 的解析式； 求證：(1)f(2)f(3)1()nifk???().nN?【易錯點分析】對條件中的不等關(guān)系向等式關(guān)系的轉(zhuǎn)化不知如何下手，沒有將二次不等式與二次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的意識，解題找不到思路。29解：（1）由已知令 得： 1x?21())f???(1).f?（2）令 由 得：2()(0)fabc??)(,(?ff 01abc??????即 則 對任意實數(shù) 恒1,bc???21()fxaa??2())xfx?x成立就是 對任意實數(shù)恒成立，即：20(1)2axa???????則2120,()04a????????1,4c??21()4fxx??（3）由（2）知 故2()1)fx?24()(1)2)fkk?? 14()k???14()34nif n????? )??故原不等式成立．2n【知識點歸類點拔】函數(shù)與方程的思想方法是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組） ，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化?！揪?32】 （2022 濰坊三月份統(tǒng)考）已知二次函數(shù) ，滿足2()fxabc??(,)aR?；且對任意實數(shù) x 都有 ；當(dāng) 時有 （1）求(1)0f??()0f??,)2(,4xf??的值；（2）證明 （3）當(dāng) 時，函數(shù)0,。ac?[1,]x?是單調(diào)的，求證： 或()gx()fmxR0m?.（1） （2）運用重要不等式（3）略.?30【易錯點 33】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。例 3記 ，若不等式 的解集為 ，試解關(guān)于 t 的不等式??2fxabxc?????0fx???1,3。8ftt??【易錯點分析】此題雖然不能求出 a,b,c 的具體值，但由不等式的解集與函數(shù)及方程的聯(lián)系易知 1,3 是方程 的兩根，但易忽視二次函數(shù)開口方向，從而錯誤認(rèn)為函數(shù)在 上是增函數(shù)。20axbc?? ??2,??解析：由題意知 ，且 故二次函數(shù)在區(qū)間??????1213fxaxax???0a?上是增函數(shù)。又因為 ，故由二次函數(shù)的單調(diào)性知不等式?2,??8,tt???等價于 即 故 即不等式的解為：28ftft?26tt。3?【知識點分類點拔】函數(shù)的單調(diào)性實質(zhì)是就體現(xiàn)了不等關(guān)系，故函數(shù)與不等式的結(jié)合歷來都是高考的熱點內(nèi)容，也是我們解答不等式問題的重要工具，在解題過程中要加意應(yīng)用意識，如指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、涉及抽象函數(shù)類型的不等式等等都與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)?！揪?33】 （1） （2022 遼寧 4 月份統(tǒng)考題）解關(guān)于 的不等式 x ]1)2([log)1(l42????xax)(?a答案：當(dāng) 時，解集為 當(dāng) 時，解集為2?}12|{??ax或 ? 當(dāng) 時解集為 。}3|{?x且 ?a2| ax?或（2） （2022 全國卷Ⅱ）設(shè)函數(shù) ,求使 ≥的 的 x 取值范圍。??fx|1|???x??f答案：x 取值范圍是 ),4[??【易錯點 34】數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。學(xué)生易缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)問題的意識，忽視其步驟的規(guī)范性及不理解數(shù)學(xué)歸納法的每一步的意義所在。例 3自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響。用 表示某魚群在第 n 年年初的總量，n∈N＊，且 ＞0。不考慮其它因素，nx 1x設(shè)在第 n 年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與 成正比，死亡量與 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)2na，b，c。 （Ⅰ）求 與 的關(guān)系式；（Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng) ，a，b，c 滿足什么條件時，每年年1? 1初魚群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅲ）設(shè) a＝2，b＝1，為保證對任意 ∈（0,2） ，都有1＞0， ，則捕撈強(qiáng)度 b 的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。nx*N?【易錯點分析】本題為數(shù)列模型應(yīng)用題,主要考查數(shù)列、不等式和數(shù)學(xué)歸納法。2022 年高考主要涉及兩種類型應(yīng)用題，一種類型為概率，另一種為數(shù)列。給我們信息：數(shù)學(xué)越來越貼近生活，數(shù)學(xué)越來越強(qiáng)調(diào)實用性, 我們在備考中要注意對幾種常見模型建模的訓(xùn)練；可見，高考數(shù)學(xué)越來越注意與函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、向量等工具結(jié)合，這是將來高考的方向，【解析】 （I）從第 n 年初到第 n+1 年初，魚群的繁殖量為 ，被捕撈量為 ，死亡量為axbx因此 即 。2ncx21nxabcx??????*11nncN????31 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則 恒等于 ， ，從而由上式得 恒nx1*N???nnxabc?等于零, 故 即 因為 0，所以 .猜測：當(dāng)且僅當(dāng) ，*nN?10abc??1abc?x??且 時，?1 （Ⅲ）若 b 的值使得 0， ，由 知 , 特nx*??13nnxbx?03nxb??*N?別地，有 . 即 ，而 ∈(0, 2)，所以 ，由此猜測 b 的最103b??0??1]1(大允許值是 1. 下證 當(dāng) ∈(0, 2) ，b=1 時，都有 ∈(0, 2), 。 ①當(dāng) n=1 時，結(jié)論顯1xnx*然成立.②假設(shè)當(dāng) n=k 時結(jié)論成立，即 ∈(0, 2),則當(dāng) n=k+1 時， .又因k ??120kkxx????為 .所以 ∈(0, 2)，故當(dāng) n=k+1 時結(jié)論也成立.????2121kkkxx??????1k?由①、②可知，對于任意的 ，都有 ∈(0,2).綜上所述，為保證對任意 ∈(0, 2), 都有*nN?nx1x0， ，則捕撈強(qiáng)度 b 的最大允許值是 *【知識點歸類點拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在 n＝1(或 n )時成立，這是遞0推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在 n＝k 時命題成立，再證明 n＝k＋1 時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或 n≥n 且 n∈N）結(jié)論都0正確” 。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，關(guān)鍵是 n＝k＋1 時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù) n 有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等?！揪?34】 （2022 年全國卷Ⅰ統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）（Ⅰ）設(shè)函數(shù) ，求 的最小值；)10( )1log)(log)(22 ????xxxf )(xf（Ⅱ）設(shè)正數(shù) 滿足 ，證明npp31,? 23??np? nn???2322221 llllog?32答案：（Ⅰ） （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明。12f????????（ 2） （ 2022 高 考 遼 寧 ） 已 知 函 數(shù) 設(shè) 數(shù) 列 }滿 足 ，).1(3)(????xf na{)(,1nnaf??數(shù) 列 }滿 足nb{|,3| *21NbSannn ???? （Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明 ； （Ⅱ）證明1)(???nS【易錯點 35】涉及向量的有關(guān)概念、運算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯誤。例 3下列命題：① ② ③ | |=| || |④若 ∥ ∥ 則42|)(a?? bcab???)()(abab,c∥ ⑤ ∥ ，則存在唯一實數(shù) λ，使 ⑥若 ，且 ≠ ，則 ⑦設(shè)ac ?c??o?是平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量 ，都存在唯一一組實數(shù) x、 y，使21,e成立。⑧若| + |=| － |則 =0。⑨ =0，則 = 或 = 真命題個數(shù)yx??ababa0b為（ ）A．1 B．2 C．3 D．3 個以上【易錯點分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運算法則等是向量一章