【正文】 得f(x)＝，值域?yàn)?－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函數(shù)y＝f(x)與y＝ex互為反函數(shù)，函數(shù)y＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，若g(a)＝1，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：由y＝f(x)與y＝ex互為反函數(shù)，得f(x)＝lnx，因?yàn)閥＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故有g(shù)(x)＝－lnx，g(a)＝1?lna＝－1，所以a＝.答案：5．已知函數(shù)f(x)滿足f()＝log2，則f(x)的解析式是________．解析：由log2有意義可得x0，所以，f()＝f()，log2＝log2x，即有f()＝log2x，故f(x)＝log2＝－：f(x)＝－log2x，(x0)6．(2009年高考遼寧卷改編)若x1滿足2x＋2x＝5，x2滿足2x＋2log2(x－1)＝5，則x1＋x2＝________.解析：由題意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比較得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：7．當(dāng)x∈[n，n＋1)，(n∈N)時(shí)，f(x)＝n－2，則方程f(x)＝log2x根的個(gè)數(shù)是________．解析：當(dāng)n＝0時(shí)，x∈[0,1)，f(x)＝－2；當(dāng)n＝1時(shí)，x∈[1,2)，f(x)＝－1；當(dāng)n＝2時(shí)，x∈[2,3)，f(x)＝0；當(dāng)n＝3時(shí)，x∈[3,4)，f(x)＝1；當(dāng)n＝4時(shí)，x∈[4,5)，f(x)＝2；當(dāng)n＝5時(shí)，x∈[5,6)，f(x)＝：28．(2010年福建廈門模擬)已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝－logbx的圖象可能是________．解析：由題知，a＝，則f(x)＝()x＝b－x，g(x)＝－logbx，當(dāng)0b1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，②正確；當(dāng)b1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減．答案：②9．已知曲線C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)與函數(shù)y＝log3x及函數(shù)y＝3x的圖象分別交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x12＋x22的值為________．解析：∵y＝log3x與y＝3x互為反函數(shù)，所以A與B兩點(diǎn)關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以x1＝y(tǒng)2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝：910．已知函數(shù)f(x)＝lg(k∈R且k0)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)在[10，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍．解：(1)由0及k0得0，即(x－)(x－1)0.①當(dāng)0k1時(shí)，x1或x；②當(dāng)k＝1時(shí)，x∈R且x≠1；③當(dāng)k1時(shí)，x或xk1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(，＋∞)；當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，)∪(1，＋∞)．(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函數(shù)，∴0，∴k.又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故對(duì)任意的x1，x2，當(dāng)10≤x1x2時(shí)，恒有f(x1)f(x2)，即lg(k＋)lg(k＋)，∴，∴(k－1)(－)0，又∵，∴k－10，∴k∈(，1)．11．(2010年天津和平質(zhì)檢)已知f(x)＝loga(a0，a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并給予證明；(3)求使f(x)0的x的取值范圍．解：(1)由0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．(3)若a1，f(x)0，則1，解得0x1；若0a1，f(x)0，則01，解得－1x0.12．已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)＝(x－x－1)，其中a0且a≠1.(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f(1－m)＋f(1－m2)0，求實(shí)數(shù)m的集合；(2)x∈(－∞，2)時(shí)，f(x)－4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍．解：令logax＝t(t∈R)，則x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)，∴f(x)＝(ax－a－x)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函數(shù)．當(dāng)a1時(shí)，0，ax是增函數(shù)，－a－x是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)；當(dāng)0a1，0，ax是減函數(shù)，－a－x是減函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)．綜上所述，a0且a≠1時(shí)，f(x)是R上的增函數(shù)．(1)由f(1－m)＋f(1－m2)0有f(1－m)－f(1－m2)＝f(m2－1)，∴解得m∈(1，)．(2)∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴f(x)－4也是R上的增函數(shù)，由x2，得f(x)f(2)，∴f(x)－4f(2)－4，要使f(x)－4的值恒為負(fù)數(shù)，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)－4≤0，解得2－≤a≤2＋，∴a的取值范圍是2－≤a≤2＋且a≠1.第三節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)A組1．若a1且0b1，則不等式alogb(x－3)1的解集為________．解析：∵a1,0b1，∴alogb(x－3)1?logb(x－3)0?logb(x－3)logb1?0x－31?3x：{x|3x4}2．(2010年廣東廣州質(zhì)檢)下列圖象中，表示y＝x的是________．解析：y＝x＝是偶函數(shù)，∴排除②、③，當(dāng)x1時(shí)，＝x1，∴xx，∴排除①.答案：④3．(2010年江蘇海門質(zhì)檢)若x∈(0,1)，則下列結(jié)論正確的是__________．①2xxlgx　　?、?xlgxx ③x2xlgx ④lgxx2x解析：∵x∈(0,1)，∴22x1,0x1，lgx：①4．(2010年東北三省模擬)函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－a恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a＝__________.解析：先畫出f(x)＝4x－x2的圖象，再將x軸下方的圖象翻轉(zhuǎn)到x軸的上方，如圖，y＝a過拋物線頂點(diǎn)時(shí)恰有三個(gè)交點(diǎn)，：45．(原創(chuàng)題)方程x＝logsin1x的實(shí)根個(gè)數(shù)是__________．解析：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y1＝x 和y2＝logsin1x的圖象，可知只有惟一一個(gè)交點(diǎn)．答案：16．(2009年高考江蘇卷)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．解：(1)因?yàn)閒(0)＝－a|－a|≥1，所以－a0，即a≥1知a≤－，a的取值范圍為(－∞，－1]．(2)記f(x)的最小值為g(a)．則有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝(ⅰ)當(dāng)a≥0時(shí)，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此時(shí)g(a)＝－2a2.(ⅱ)當(dāng)a0時(shí)，f()＝a，則由①知f(x)≥a2；若x≤a，則x＋a≤2a0，由②知f(x)≥2a2(a)＝a2.綜上，得g(a)＝(3)(ⅰ)當(dāng)a∈(－∞，－]∪[，＋∞)時(shí)，解集為(a，＋∞)；(ⅱ)當(dāng)a∈[－，)時(shí)，解集為[，＋∞)；(ⅲ)當(dāng)a∈(－，－)時(shí)，解集為(a，]∪[，＋∞)．B組1．(2010年江蘇無錫模擬)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，－)，則滿足f(x)＝27的x的值是__________．解析：設(shè)冪函數(shù)為y＝xα，圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，－)，則－＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝.答案：2．(2010年安徽蚌埠質(zhì)檢)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x1f(x)1則不等式f(|x|)≤2的解集是__________．解析：由表知＝()α，∴α＝，∴f(x)＝x.∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：{x|－4≤x≤4}3．(2010年廣東江門質(zhì)檢)設(shè)k∈R，函數(shù)f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈＝1時(shí)，F(xiàn)(x)的值域?yàn)開_________．解析：當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)＝＋x≥2；當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)＝ex＋x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，F(xiàn)(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，F(xiàn)(x)≤F(0)＝1，所以k＝1時(shí)，F(xiàn)(x)的值域?yàn)?－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)4．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關(guān)于x的不等式f(x)≤1的解集為__________．解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝(－2)＝0，可得c＝4，∴或可得－3≤x≤－1或x：{x|－3≤x≤－1或x0}5．(2009年高考天津卷改編)已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a2)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．解析：函數(shù)f(x)＝的圖象如圖． 知f(x)在R上為增函數(shù)．∵f(2－a2)f(a)，即2－a2a.解得－2a1.答案：－2a16．(2009年高考江西卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝(a0)的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)(s，f(t))(s，t∈D)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則a的值為__________．解析：由題意定義域D為不等式ax2＋bx＋c≥0的解集．∵ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，∵a0，∴0≤y≤ ，∴所有點(diǎn)(s，f(t))，(s，t∈D)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，意味著方程ax2＋bx＋c＝0的兩根x1，x2應(yīng)滿足|x1－x2|＝ ，由根與系數(shù)的關(guān)系知＝－＝，∴4a＝－a2.∵a0，∴a＝－：－47．(2010年遼寧沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝－2f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________．解析：∵f(0)＝1，∴c＝(－1)＝－，∴－1－b＋1＝－，∴b＝.當(dāng)x0時(shí)，g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；當(dāng)x≤0時(shí)，g(x)＝－x2＋x＋1＋x＝0，∴x2－x－1＝0，∴x＝2(舍)或x＝－，所以有兩個(gè)零點(diǎn)．答案：28．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個(gè)命題：①c＝0時(shí)，f(x)是奇函數(shù)；②b＝0，c0時(shí)，方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根；③f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱；④方程f(x)＝0至多有兩個(gè)實(shí)根．其中正確的命題是__________．解析：c＝0時(shí)，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)；b＝0，c0時(shí)，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0時(shí)，x2＋c＝0無解，x0時(shí)，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－，有一個(gè)實(shí)數(shù)根．答案：①②③9．(2010年湖南長(zhǎng)沙質(zhì)檢)對(duì)于區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)于區(qū)間[a，b]中的任意數(shù)x均有|f(x)－g(x)|≤1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a，b]上是密切函數(shù)，[a，b]稱為密切區(qū)間．若m(x)＝x2－3x＋4與n(x)＝2x－3在某個(gè)區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個(gè)密切區(qū)間可能是________．①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]解析：|m(x)－n(x)|≤1?|x2－5x＋7|≤1，解此絕對(duì)值不等式得2≤x≤3，故在區(qū)間[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域?yàn)閇0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立．答案：③10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2bx＋c(cb1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有實(shí)根．(1)證明：－3c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一個(gè)實(shí)根，判斷f(m－4)的正負(fù)并加以證明．解：(1)證明：f(1)＝0?1＋2b＋c＝0?b＝－.又cb1，故c－1?－3c－.方程f(x)＋1＝0有實(shí)根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有實(shí)根，故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0?c≥3或c≤－b1，得－3c≤－1，由b＝－知b≥0.(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－10，∴cm1，∴c－4m－4－3c，∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)0，∴f(m－4)的符號(hào)為正．11．(2010年安徽合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a2c2b，求證：(1)a0且－3－；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(3)設(shè)xx2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則≤|x1－x2|.證明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a2c2b，∴3a0,2b0，∴a0，b＝－3a－2b，由3a2c2b，∴3a－3a－2b2b.∵a0，∴－3－.(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，①當(dāng)c0時(shí)，∵a0，∴f(0)＝c0且f(1)＝－0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)c≤0時(shí)，∵a0，∴f(1)＝－0且f(2)＝a－c0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．(3)∵xx2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則xx2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，∴|x1－x2|＝＝ ＝ .∵－3－，∴≤|x1－x2|.12．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋4x＋b(a0，a、b∈R)，設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝0的兩實(shí)根為xx2，方程f(x)＝x的兩實(shí)根為α、β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的關(guān)系式；(2)若a、b均為負(fù)整數(shù)，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；(3)若α1β2，求證：(x1＋1)(x2＋1)7.解：(1)由f(x)＝x得ax2＋3x＋b＝0(a0，a、b∈R)有兩個(gè)不等實(shí)根為α、β，∴Δ＝9－