函數(shù)逼近ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-01-14 09:40本頁(yè)面
【正文】 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 48 11()x?A ?21()x? 1()n x?12()x? 22()x? 2()n x?1 ()mx? 2 ()mx? ()nmx?記 1fb ?2fmf12( , , , )Tnx ? ? ??則得到 最小二乘 問題： 22 m in mnr b Ax A R ?? ? ? ?上述問題的解也稱為方程組 的 最小二乘 解 A x b?當(dāng) 時(shí)稱之為 超定 （或 矛盾 ）方程組。 mn?數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 49 所謂” 曲線擬合 ” ,是指根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表 ,尋找一個(gè) 簡(jiǎn)單的表達(dá)式來(lái)” 擬合 ”該組數(shù)據(jù) ,此處的” 擬合 ”的含義 為 :不要求該表達(dá)式對(duì)應(yīng)的近似曲線 完全通過 所有的數(shù) 據(jù)點(diǎn) ,只要求該 近似曲線 能夠反映數(shù)據(jù)的基本變化趨勢(shì) . 二、 最小二乘 多項(xiàng)式擬合 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 50 引例 1： 考察某種纖維的 強(qiáng)度 與其 拉伸倍數(shù) 的關(guān)系 . 下表是實(shí)際測(cè)定的 24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的 拉伸倍數(shù)的數(shù)據(jù)記錄 : 編號(hào) 拉伸倍數(shù) 強(qiáng) 度 編號(hào) 拉伸倍數(shù) 強(qiáng) 度 1 13 5 2 2 14 5 3 15 6 4 16 5 17 6 6 18 7 3 19 8 8 20 8 7 9 4 4 21 10 4 22 9 8 11 23 12 24 10 ix iy ix iy數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789可以看出 ,纖維強(qiáng)度隨 拉伸倍數(shù)增加而增加 并且 24個(gè)點(diǎn)大致分 布在一條直線附近 y S ( x ) ax b? ? ?該直線稱為這一問題的 數(shù)學(xué)模型。 因此可認(rèn)為 強(qiáng)度 與 拉伸倍數(shù) 之間的主 要關(guān)系是 線性關(guān)系 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 52 怎樣確定 a,b,使得直線能較好地反映所給 數(shù)據(jù)的基 本 “ 變化趨勢(shì) ” ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789kky ax b??一般情況 kka x b y??各點(diǎn)誤差 1mkkkax b y????總誤差 ? ? ? ? 21mkkkI a , b ax b y?? ? ??令 問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù) 使 達(dá)到 最小值。 ? ?I a ,ba,b數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 53 ? ?120mi i iia x b y x?? ? ??? ?120miiia x b y?? ? ???11mmiiiia x m b y???????21 1 1m m mi i i ii i ia x b x x y? ? ???? ? ?這種求線性函數(shù) y=a+bx的過程稱為 線性擬合 。 ? ? ? ? 21mkkkI a , b a x b y?? ? ??0IIab??????8 2 9 6 1 1 2 7 51 2 7 5 2 4...??????ab??????..???????1 1 3 17 3 1 60 15 05b.? 0 85 87a.?0 1505 0 8587S ( x ) . . x??數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 54 20 1 2() nnp x a a x a x a x? ? ? ? ?一般地，設(shè) 的 近似函數(shù) 為 ()fx尋求 ，使得 0 1 2, , , , na a a a? ? ? ? 20 1 21, , , , ( ) m inmn k kkI a a a a p x y?? ? ??則稱 為函數(shù) 的 多項(xiàng)式擬合 。 ()fx()px滿足下列 法方程組： 0 1 2, , , , na a a a0 1 1, 0 , 1 , 2 , ,n m mj l li j i ij i ix a x y l n?? ? ???? ? ?數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 55 ?非線性 擬合 （補(bǔ)充） 已知函數(shù) 在 若干 個(gè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)表，確定參數(shù) 和 ()fxbxy a e?，利用 經(jīng)驗(yàn)函數(shù) 擬合某組數(shù)據(jù)： a b某些非線性 擬合 問題可轉(zhuǎn)化為線性 擬合 問題 ln lnbxy ae y a bx? ? ? ?線性化 處理： 令 l n 。 l ny y a a??則 y a bx?? iyix1x1ln f2x2ln fmxln mf由線性 擬合 方法可得到 和 ，從而的到 和 a b a b數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 56 21cxya x b x???又如：若 非線性 函數(shù)取為 2111c x a b xya x b x y c x c c? ? ? ? ???令 11y a b x cyx? ? ? ?1。aba b cc c c? ? ?其中 1y a b x cx? ? ?1 1( ) 。x? ? 2 ( ) 。xx? ?31()xx? ?數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 57 解： 例： 求一個(gè)形如 ( 為常數(shù) )的經(jīng)驗(yàn)公 式，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合 : by a x? ( , )ab x y 65 61 54 50 對(duì) 兩邊取對(duì)數(shù)得 by a x? l n l n l ny a b x??l n , l n , l nY y X x c a? ? ?令 Y c b X? ? ? iXiY此時(shí) 12( ) 1 , ( )x x X?? ??數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 58 寫出 法方程組 4 .0 4 .3 5 1 4 1 6 .1 8 6 34 .3 5 1 4 4 .9 4 6 7 1 7 .5 1 3 9cb? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 . 5 2 8 60 . 4 4 3 1cb? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?9 2 . 6 2 4 7, 0 . 4 4 3 1ca e b? ? ? ?0 . 4 4 3 19 2 . 6 2 4 7yx ??
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