《函數(shù)逼近》ppt課件-預覽頁
【正文】 ? ? 4 5 4 15p x x?? 可見，對同一個被逼近函數(shù)，不同距離意義下的逼近，逼近函數(shù)是不同的 . 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 5 設給定函數(shù) ， 則對 ， 存 在一多項式 ， 使得 對所有 一致 成立 。 ( ) [ , ]f x C a b?? ?21sp a n , , , , nnH x x x?() np x H? ma x ( ) ( )na x b f x p x E?? ??()min max ( ) ( )nnnnp x H a x bE f x p x? ????()px ()fx稱為 的 n次 最佳 逼近或 最小 偏差 ()fx數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 9 幾何 意義 2D e f（ Chebyshev交錯點組 /*Group of Alternating Points */） 12 na x x x b? ? ? ? ?12( ) m a x ( ) , , ,i a x bg x g x i n????1 1 2 1( ) ( ) , , ,iig x g x i n?? ? ? ?12, , , nx x x[ , ]ab假設 ，若存在 n個點： 滿足 且 則稱 為 在 上的 Chebyshev 交錯點組。 ( ) [ , ]f x C a b? nH()Px()fx數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 12 最佳 一致 逼近多項式 求解過程 總結 設在 中所求的最佳一致逼近多項式為： nH0()nkkkp x a x??? ?( ) ( )f x p x?? 的 n+2個 交錯點組為： 1 2 2na x x x b?? ? ? ? ?則有 011( ) ( ) ( ) ( )nkii i i k i nkf x p x f x a x E ????? ? ? ? ? ? ??1 2 1 2, , , ,i n n? ? ?n+1個方程， 2n+3個未知數(shù) 0( ) ( )iif x p x??? ??當交錯點 在區(qū)間 內(nèi)部 時滿足 ( , )abix求最佳一致逼近多項式最終歸結為求解 非線性方程組 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 13 例 1： 求函數(shù) 在 上的 一次 最佳一致逼近多項式。 ( ) [ , ]f x C a b?注： ?前述 Gram組成的 方程組通常稱為 法方程組 ?最佳平方逼近可以通過求解 法方程組 而得到 ? Gram矩陣是實對稱 正定 矩陣 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 23 例 1： 求函數(shù) 在 上的最佳平方逼近： ( ) s i nf x x??01[ , ]20 1 2()x a a x a x? ? ? ?解： 22 ()xx? ? 1()x? ?1 ()xx? ?0 1()x? ?本題的函數(shù)系和權函數(shù)為： 首先計算 Gram矩陣： 10( , ) ijij x x d x?? ? ? 1 0 1 21( , , )jij????100 1 2( , ) s in ( , , )ii f x x d x i?? ???02( , )f??? 1 1( , )f???22 34( , )f ?????數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 24 求解下列 法方程組 ： 0 1 20 1 220 1 2 31 1 2231 1 1 12 3 41 1 1 43 4 5a a aa a aa a a?????? ? ????? ? ???? ?? ? ???20 31 2 1 2 0a????21 36 0 7 2 0a?????21aa??所求最佳 平方 逼近為： 20 050 465 4 122 51 4 122 51( ) . . .S x x x? ? ? ?數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 25 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 26 注：例 1中的 法方程組 推廣到一般情況 1()x? ?0 1 2( ) , , , ,ii x x i n? ??即函數(shù)系和權函數(shù)取為： 法方程組 的系數(shù)矩陣為： 1011( , ) ijij x x d xij?? ?????111211 1 12 3 21 1 11 2 2 1nnn n n??????????? ? ???n+1階的 Hilbert矩陣 病態(tài) 矩陣 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 27 ?函數(shù)系的 選擇 方法 如果 00( , )()ij iijr i j????? ????Def（正交函數(shù)系） /*Orthogonal System of Function*/ 則稱 ()x?01( ) ( , , , )j x j n? ?為區(qū)間 上關于權函數(shù) [ , ]ab的正交（ 直交 ）函數(shù)系。 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 38 三、 正交 多項式應用舉例 例 2： 利用 Legendre多項式系，求函數(shù) 在 上的 三次 最佳平方逼近多項式。 1{ ( ) }niix? ? 167。 因此可認為 強度 與 拉伸倍數(shù) 之間的主 要關系是 線性關系 數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 52 怎樣確定 a,b,使得直線能較好地反映所給 數(shù)據(jù)的基 本 “ 變化趨勢 ” ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789kky ax b??一般情況 kka x b y??各點誤差 1mkkkax b y????總誤差 ? ? ? ? 21mkkkI a , b ax b y?? ? ??令 問題轉化為求參數(shù) 使 達到 最小值。 l ny y a a??則 y a bx?? iyix1x1ln f2x2ln fmxln mf由線性 擬合 方法可得到 和 ，從而的到 和 a b a b數(shù)值分析 第 3章 函數(shù)逼近 56 21cxya x b x???又如：若 非線性 函數(shù)取為 2111c x a b xya x b x y c x c c? ? ? ? ???令 11y a b x cyx? ? ? ?
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