【正文】 小， 某時刻、在（ x,y,z） 附近的體積元 d? 中，出現(xiàn)粒子的幾率為： 表示某時刻、在空間某地點(diǎn) 附近單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率 ? 1 xdd x d y d zd 3???光的量子性與激光 2022年 2月 11日 83 4）單值性： 波函數(shù)可不滿足單值性，但波函數(shù)的模滿足單值性。 2）連續(xù)性 : 一定時刻，在空間某點(diǎn)附近，單位體積內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率應(yīng)有一定的量值。 在空間各點(diǎn)都有粒子出現(xiàn)的可能。 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件 波函數(shù)的歸一性 波函數(shù)的連續(xù)性 波函數(shù)的有限性 3）有限性 : 保證波函數(shù)是平方可積。 1）歸一性： 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 84 雙縫干涉實(shí)驗(yàn) 進(jìn)一步理解波函數(shù)（幾率幅） (1). 機(jī)槍子彈射擊 )()()( 2112 xxx ??? ??x 1 )(1 x?2 )(2 x?子彈一粒一粒發(fā)射， 只開縫 1，子彈在靶上的分布為 ?1； 只開縫 2，子彈在靶上的分布為 ?2； 兩縫同時開時，靶上的分布為 ?1和 ?2 的簡單相加。 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 85 (2) 電子雙縫衍射 量子力學(xué)中態(tài)的疊加導(dǎo)致了在疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性 2211 ??? CC ??1PA2PBS ? D1 2 P 當(dāng)雙縫同時打開時，一個電子同時處在 ?1態(tài)和 ?2態(tài)。雙縫同時誘導(dǎo)的狀態(tài)是它們的線性組合態(tài) 。 單縫 1使通過它的電子處于 ?1態(tài)；單縫 2使其處于 ?2態(tài)。 雙縫衍射中是電子自己和自己干涉，有些地方由于干涉而幾率消失，有些地方則由于干涉而幾率加強(qiáng)！ 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 86 2211 ??? CC ??線性組合： ??? ??? || 2W量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理導(dǎo)致了疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性，出現(xiàn)了干涉圖樣。 它是由微觀粒子波粒二象性所決定的。 ,|| 2111 ?CW ? 2222 || ?CW ?處于態(tài) 1和態(tài) 2的幾率分別為： 雙縫同時打開時，電子的幾率分布為： 態(tài)疊加原理：統(tǒng)計(jì)規(guī)律中的幾率幅相加律 . （而不是幾率的相加律） 第三項(xiàng)為相干項(xiàng) )()(******1221212112212122221121????????????????????CCWWCCCCW光的量子性與激光 2022年 2月 11日 87 三、波函數(shù)疊加原理 (1) 玻爾的原子定態(tài)與兩能級模型 回顧：玻爾的原子定態(tài)假設(shè) ? 定態(tài)是經(jīng)典軌道； ? 定態(tài)是穩(wěn)定的 。 ? 定態(tài)軌道對應(yīng)確定的能量或能級。 玻爾的錯誤在于用經(jīng)典軌道概念去描述原子定態(tài)，但是定態(tài)具有穩(wěn)定性及定態(tài)對應(yīng)有確定能量值這二個觀點(diǎn)，卻至今保留在近代量子論中。 定態(tài)的概念發(fā)展為本征態(tài) : 各個物理量都有自己的定態(tài)或本征態(tài)，所謂某物理量的本征態(tài)，是指當(dāng)微觀粒子處在該狀態(tài)時，其對應(yīng)的該物理量具有確定的值。 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 88 例如 1：氫原子能量的定態(tài)（ 能量的本征態(tài) ）：當(dāng)氫原子處在這個狀態(tài)時，實(shí)驗(yàn)測得能量有確定的值，我們也把本征態(tài)對應(yīng)的確定能量值稱為能量的本征值。 例如 2：一個微觀粒子處在自由運(yùn)動狀態(tài)，其動量有確定的值 p ，我們就說這個微觀自由粒子處在 動量為 p 的本征態(tài) . 注意：同一物理量可有不同的本征值，不同的本征值有不同的本征態(tài)。 (1) 玻爾的原子定態(tài)與兩能級模型 線性代數(shù) 回 顧： 設(shè) ? 是數(shù)域 R 上線性空間 X中的線性變換，如果對 ? ?R，存在一個非零向量 x ，使得 ? ?x? ? ?x ，則稱 ? 為 ? 的一個特征值， x 稱為 ? 的屬于 ?的一個特征向量。 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 89 量子論 : 物理量的本征態(tài) {?i} ?i=1,2,…n ? 能構(gòu)成一組正交、歸一、完備的基矢， 本征態(tài) 反映量子運(yùn)動狀態(tài)的確定性 。 此外，微觀粒子還可以有一些態(tài)，處在這些態(tài)時，它們沒有確定的物理量與之對應(yīng)，我們稱這種態(tài)為 疊加態(tài)。 (1) 兩能級模型 等同任一矢量可按基矢展開一樣， 疊加態(tài)可按本征態(tài)展開！ 如：電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn) 2211 ??? CC ??S? D1 2 P光的量子性與激光 2022年 2月 11日 90 (2) 疊加態(tài) 實(shí)驗(yàn)證明： 當(dāng)微觀粒子處在疊加態(tài)時，去測量其對應(yīng)的物理量時，沒有確定的結(jié)果，實(shí)驗(yàn)每次測的值可能是不一樣的。但測量值只可能為參加疊加的各本征態(tài)的本征值。 疊加態(tài) 就是各本征態(tài)以不同幾率出現(xiàn)的一個 相加態(tài) ，在疊加態(tài)中，各個本征態(tài)以一定的 幾率 在疊加態(tài)中作出自己的貢獻(xiàn)。 疊加態(tài)是一個相干態(tài)： 2211 ??? cc ??它表明微觀粒子部分處在 ?1,部分處在 ?2。 用儀器測量時，會出現(xiàn)退相干過程， ? 將 塌縮 到 ?1或者 ?2本征態(tài)。 如單光子干涉實(shí)驗(yàn) 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 91 單光子干涉示意圖 BS1 BS2 PD2 PD1 PD1：藍(lán)色： 2次穿過 BS2， 2次半波損失； 紅色： 1次 BS1， 1次 BS2， 1次半波損失； 則兩者干涉相消； PD2：藍(lán)色： 1次穿過 BS2， 2次半波損失； 紅色： 1次 BS1， 2次半波損失； 則兩者干涉相長； 1/2 1/2 1/4 1/4 1/2 1/2 1/4 1/4 1 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 92 (2) 疊加態(tài) 疊加態(tài)所對應(yīng)的物理量的值，雖然是不確定的，然而，可以用實(shí)驗(yàn)每次測得的可能出現(xiàn)的本征態(tài)所對應(yīng)的本征值，以及該值重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)（幾率），來計(jì)算該物理量的平均值。 疊加態(tài)是與可能出現(xiàn)的物理量本征值及其出現(xiàn)幾率聯(lián)系在一起的。 2211 ??? cc ???1 態(tài)出現(xiàn)的幾率 222121ccc??2 態(tài)出現(xiàn)的幾率 222122ccc?波函數(shù)：描述微觀粒子本征態(tài)和疊加態(tài)的量。 ???niiic1??疊加態(tài)： 兩能級疊加態(tài) 本征態(tài)的線性組合 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 93 (3) 舉例：兩能級模型 設(shè)原子二個能級的本征態(tài) ?1和 ?2分別具有能量本征值 E1和 E2： 歸一化波函數(shù)的矩陣表示： ?????????011? ?????????102?波函數(shù)的內(nèi)積定義： 20 12121 , ??????? ?? ?? ?? d? ?*11T?? ??例如： ? ? 01001,21 ???????????? ? ? 00110,12 ????????????? ? 10101,11 ???????????? ? ? 11010,22 ????????????光的量子性與激光 2022年 2月 11日 94 (3) 舉例：兩能級模型 ?????????011? ?????????102?波函數(shù)的內(nèi)積定義： 2121 , ??????1, 1121 ?? ???表示處在能量為定值 E1的幾率為 1 表示處在能量為定值 E2的幾率為 1 1, 2222 ?? ???定態(tài) 22112211 , ?????? cccc ???疊加態(tài) ? 2211 ??? cc ??? ? 2221*22*1121*2*1 cccccccccc ??????????????1 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 95 (3) 舉例：兩能級模型 疊加態(tài) ? 2211 ??? cc ??1, 22212 ???? cc???211 , c???222 , c???自己驗(yàn)算 表示：處在能量為 E1的幾率為 ；處在能量為 E2的幾率為 21c22c波函數(shù)其模的平方 表示幾率的概念； 波函數(shù) 是一個幾率幅。 與經(jīng)典力學(xué)不一樣，微觀粒子的狀態(tài)是用該狀態(tài)對應(yīng)的 物理量值（本征值） 及其出現(xiàn)的 幾率 這兩個實(shí)驗(yàn)可測量的量來標(biāo)記，這是波函數(shù)內(nèi)容包含的物理實(shí)質(zhì)。 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 96 例：光子的偏振態(tài)的疊加實(shí)驗(yàn) 經(jīng)典檢偏器 ??20 cosI?1?入射線偏振光含有大量光子 ?2?入射線偏振光只有一個光子 z x 平行 垂直 一半吸收一半透過？ 幾率詮釋！ 一個偏振光束中，每一個光子處于一定的偏振態(tài)。 yx ????? ? s i nc o s ??部分處于平行晶軸方向的偏振態(tài) ?x，部分處于垂直晶軸方向的偏振態(tài) ?y. 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 97 四、波函數(shù)的一些概念總結(jié) 問：若電子一個一個通過雙縫，其結(jié)果會如何？ 電子衍射實(shí)驗(yàn)表明： 某時刻，在空間某地點(diǎn)，粒子出現(xiàn)的幾率，正比于該時刻、該地點(diǎn)的波函數(shù)的模的平方。 （ 1） 波函數(shù)是幾率波、幾率幅 （ 2） 波函數(shù)是波粒二象性的體現(xiàn)：測不準(zhǔn)關(guān)系； （ 3） 波函數(shù)模的平方表示在（ x,y,z)附近處單位體積內(nèi)找到粒子的幾率； （ 4） 波函數(shù)滿足的三個條件：歸一化、連續(xù)和有限； ? 和 10? 描述的是同一個波函數(shù)。 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 98 四、波函數(shù)的一些概念總結(jié) （ 5） 波函數(shù)是復(fù)數(shù)，波函數(shù)的矩陣表示以及內(nèi)積運(yùn)算 （ 6） 本征值和本征態(tài)； （ 7）本征態(tài)與 疊加態(tài)。 （ 8） 自由粒子的波函數(shù) ? ?rpEtAetr???????1),(?（ 2） 波函數(shù)是波粒二象性的體現(xiàn)：測不準(zhǔn)關(guān)系； （ 3） 波函數(shù)模的平方表示在（ x,y,z)附近處單位體積內(nèi)找到粒子的幾率； （ 4） 波函數(shù)滿足的三個條件：歸一化、連續(xù)和有限； ? 和 10? 描述的是同一個波函數(shù)。 （ 1） 波函數(shù)是幾率波、幾率幅 光的量子性與激光 2022年 2月 11日 99 課程結(jié)束 ……