【正文】 ),( )()( 114 101021 cRcRNenmnmkLinm?????? ????????nmmn ???1?)1,()1,( )1(0)1(0 , cRcR nm 均為實函數(shù) 上海大學電子信息科學與技術 二、厄米～高斯函數(shù) － 近似解 C=2? N 1 模場分布集中在鏡面中心附近 x , y a 菲涅爾數(shù)較大 近似解 － 長橢球函數(shù)的特殊情況 c???? ??c近似條件： ? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ccXiXmi k Lmm XdeXFieXF 212 ??????? ......? ? ? ? ? ? 0222??? XFXdX XFd mm ?線性諧振子的薛定鍔方程 參見激光物理學鄒英華 孫陶亨編寫 X?? ， Fm(X) ? 0時， 此方程解為 厄米－高斯函數(shù) 上海大學電子信息科學與技術 ? ?? ?? ?????????????????????????????????????????????LyxnmmnyxacnmmnmneyLHxLHCeyacHxacHCyxV2222222, 2? ? ? ?? ? ? ? 202022,YnnnnXmmmmeYHCcYcSYGeXHCcXcSXF??????????????????近似解：角向長橢球函數(shù) 厄米多項式和高斯函數(shù)乘積 Cmn －常系數(shù) 用近似解來討論共焦腔鏡面上的場分布特性 yxYX , ? （鏡面上直角坐標） 本征函數(shù) 上海大學電子信息科學與技術 ? ? ? ? ? ?? ?? ??,2,1,02!2!!1122022??????????????? ?mXkmkmedXdeXHkmmkkXmmXmmCm Cn 為常系數(shù)， Hm為 m階厄密多項式 ? ?? ?? ?? ?? ??1248161282421244332210?????????XXXHXXXHXXHXXHXH如果 c=2?N1不滿足，在鏡面中心附近，厄米特 高斯函數(shù)仍然能正確描述共焦腔模的振幅和相位分布。 上海大學電子信息科學與技術 1. 鏡面上場的振幅分布 ? 基模 : TEM00 m=0, n=0 20222000000swrLyxeCeCV ????? ??? ?2222yxacnmmnmn eyacHxacHCV ???????????????????光斑 尺寸定義 (1)：振幅中心處的 1/e (半徑 )W0s 或光強中心處的 1/e2 光斑尺寸定義 (2)W’0s ：半功率點處 1/e E x 2W 0s? ? ? ? 100 ?? yHxH 基模在鏡面上分布為高斯型 上海大學電子信息科學與技術 ? 場振幅為高斯分布，在腔軸上光強最強； 離腔軸距離 r 增大，光強將減弱 ? 鏡面上基模光斑尺寸只與腔長有關，與反射鏡大小無關 ? ss ww 00 ???Lws ?0鏡面光斑大小 s39。s w.Llnw00 5 8 8 9022 ?????? ? ? ?202222002222,swyxsnsmmnLyxnmmnmneywHxwHCeyLHxLHCyxV????????????????????????????????????????????上海大學電子信息科學與技術 ? 高階橫模的場振幅分布 （ m,n 不同時為 0） ? ? 20220022, sw yxsnsmmnmn eywHxwHCyxV???????????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?20222022202220221111202202001011010221042421sssswyxwyxswyxwyxx y eCyxVewxCyxVyeCyxVxeCyxVXXHXXHXH?????????????????39。39。39。39。,,?... …... 厄米多項式的零點決定場的 節(jié)線 上海大學電子信息科學與技術 上海大學電子信息科學與技術 強度花樣 x, y 軸對稱 TEMmn m—— x向暗區(qū)數(shù) n—— y向暗區(qū)數(shù) TEM21 TEM22 上海大學電子信息科學與技術 ? 高階模的場分布較基模復雜，有節(jié)線，光斑尺寸擴展 ? 高階橫模的光斑尺寸 根據(jù)國際標準化組織 (ISO) 光斑半徑的平方定義為光場分布均方差值的四倍 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?????????????????????????dYYGdYYGyyYGwdXXFdXXFxxXFwnnnnsmmmms22222244? ?? ? 2022021212snssmswnwwmw????() () 121200???? nwwmwwsnssms ,() 上海大學電子信息科學與技術 (?mn)－ 由腔的菲涅爾數(shù) (N)確定 2221111 nmnmmnmn ?????? ??????? ? ? ? ? ?? ?1212 1010 , cRiccRic nnnmmm ???? ?? ?mn 與腔的幾何尺寸無關，只由菲涅耳數(shù)決定 (圖 ) * 思考 討論衍射損耗 ?mn 必須回到精確解 . 為什么？ ? 本征值 －決定模的相移和損耗 mn?徑向長橢球函數(shù) i k Lnmnm ie ?? ????? ? ? ? ? ? ?????????????? cYcScXcSYGXFyxV nmnmmn , 002. 鏡面上光場的相位分布 ),( yxVmn 輻角 決定鏡面上場的相位分布 ?長橢球函數(shù)為實函數(shù) ，表明鏡面上各點場的相位值相等 ? 等相位面與共焦腔鏡面重合 ？ 上海大學電子信息科學與技術 ? 同種腔 N ?? ?D ? ?00 = 10－ m, n ?? ?D ? ?01 ?00 選橫模的物理基礎 ? 不同腔 共焦腔衍射損耗 平行平面鏡腔衍射損耗 上海大學電子信息科學與技術 原因： 在共焦腔中，除了衍射引起光束發(fā)散外，還有腔鏡（凹面鏡）對光束的匯聚作用 。兩種因素一起決定腔的損耗。 （ 1）共焦腔和穩(wěn)定球面腔，傍軸光線的幾何偏折損耗為零。 （ 2）只要 N不太小，共焦腔的模集中在鏡面中心附近，衍射損耗極低。 （ 3）平行平面腔所有與軸線成非零夾角傳播的光會出現(xiàn)幾何偏折損耗 （ 4）平面腔模展開在整個鏡面上。所以在 N相同的情況下，同一模式在鏡邊緣處的振幅遠比共焦腔模的振幅大。 兩種情況決定了平面腔的損耗比共焦腔高很多。 共焦腔中各個模式的損耗與腔的具體幾何尺寸無關，單值地由菲涅耳數(shù)確定。所有損耗都將隨 N的增加而迅速下降。 在同一 N，不同橫模的衍射損耗各不相同，損耗隨模的階數(shù)的增高而迅速增加。 表明：在共焦腔中可利用衍射損耗的差別來進行橫模選擇 。 上海大學電子信息科學與技術 4. 模諧振頻率 mnq?? ? mnmn kLnmkL ????? ???????? 21 單程相移 ??? 22 ??? qmn? ? qLmqLc qm n q ????????? ????? 21212 00?? 諧振條件 ? 諧振頻率 ? 同一 橫模 的相鄰縱模的 頻率間隔 LcLcq ??? 22 ???? 同一 縱模 的相鄰橫模的 頻率間隔 qm ???? 21?,Lcqn ??? ???? 214? ? ),(),( )()( 114 101021 cRcRNenmnmkLinm?????? ????? ???可以得到什么結(jié)論？ 實函數(shù) 上海大學電子信息科學與技術 圖 共焦腔的振蕩頻譜 ?(m+1)nq ＝ ?m(n+1)q 。 ?(m+1)nq+1 ＝ ?m(n+1)q+1…... ? 模簡并 － 有相同頻率的不同模式， ? 模簡并是共焦腔的一個特點 ? 頻率簡并的模，其單程損耗并不相同 1?mnq? mnq? 1?mnq? 2?mnq? 3?mnq?2?mnq?? ? ? ?11 ?? qnm?? ? 11 ?? nqm?? ? 21 ?? nqm? ? ?nqm 1??? ?qnm 1?? ? ?? ?11 ?? qnm?? ? 11 ?? qnm?? ? 21 ?? qnm?? ? ? ?21 ?? qnm?? ?? ?21 ?? qnm?nmq ??2上海大學電子信息科學與技術 課堂練習： L /2 L /2FR R畫出圖 1所示諧振腔的等效透鏡光 路，并寫出往返矩陣 試問：這種腔是否能用 1)1)(1(021?? RLRL判斷腔的穩(wěn)定性。 L 4L/5 2L/5 畫出圖 2所示諧振腔一個周期的等效光路 ,并寫出往返矩陣