【正文】 x cos x － x2sin x . (3 ) y ′ ＝ (3xex) ′ － (2x) ′ ＋ e ′ ＝ (3x) ′ ex＋ 3xex－ 2xln 2 ＝ (l n 3 ＋1) (3 e)x－ 2xln 2 . ( 4) y ′ ＝? ln x ? ′ ? x2＋ 1 ? － ln x ? x2＋ 1 ? ′? x2＋ 1 ?2＝1x? x2＋ 1 ? － 2 x l n x? x2＋ 1 ?2＝x2＋ 1 － 2 x2ln xx ? x2＋ 1 ?2. 基礎(chǔ)自測(cè) 1． (2022深圳市二模 )曲線 y＝ x在 x＝ 0點(diǎn)處的切線方程是 ( ) A． x＋ yln 2－ ln 2＝ 0 B． xln 2＋ y－ 1＝ 0 C． x－ y＋ 1＝ 0 D． x＋ y－ 1＝ 0 ??????12解析： y ′ ＝??????12xln 12，所以曲線在 x ＝ 0 點(diǎn)處的切線斜率為 k＝ ln 12＝－ ln 2 ，切點(diǎn)為 (0,1) ，所以切線方程為 y － 1 ＝－ x ln 2 ，即 x ln 2 ＋ y － 1 ＝ 0. 故選 B. 答案： B 2． (2022合肥市模擬 )若曲線 y＝ 2x2的一條切線 l與直線 x＋ 4y－ 8＝ 0垂直，則切線 l的方程為 ( ) A． 4x－ y－ 2＝ 0 B． x＋ 4y－ 9＝ 0 C． 4x－ y＋ 3＝ 0 D． x＋ 4y＋ 3＝ 0 A 4． (2022東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、哈師大附中二模 )曲線 y＝ 2x2在點(diǎn) (1,2)處的切線斜率為 _________________． 解析： y′＝ 4x， ∴ 切線斜率為 k＝ y′|x＝ 1＝ 4. 答案： 4 考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用 【 例 3】 已知曲線 y＝ x3＋ . (1)求曲線在點(diǎn) P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點(diǎn) P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為 1的曲線的切線方程． 1343解析： (1 ) ∵ y ′ ＝ x2， ∴ 在點(diǎn) P ( 2, 4) 處的切線的斜率 k ＝ y ′ |x ＝ 2＝ 4. ∴ 曲線在點(diǎn) P ( 2, 4) 處的切線方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) ，即 4 x － y － 4＝ 0. (2 ) 設(shè)曲線 y ＝13x3＋43與過點(diǎn) P (2 ,4 ) 的 切 線 相 切 于 點(diǎn)A??????x 0 ，13x30＋43，則切線的斜率 k ＝ y ′ | ＝ x20. ∴ 切線方程為 y －??????13x30＋43＝ x20 ??????x － x 0 ，即 y ＝ x20 x －23x30＋43. ∵ 點(diǎn) P (2 , 4) 在切線上， ∴ 4＝ 2 x20－23x30＋43，即 x30－ 3 x20＋ 4 ＝ 0. ∴ x30＋ x20－ 4 x20＋ 4 ＝ 0. ∴ x20( x 0 ＋ 1)－ 4( x 0 ＋ 1) ( x 0 － 1) ＝ 0. ∴ ( x 0 ＋ 1) ( x 0 － 2)2＝ 0. 解得 x 0 ＝－ 1 或 x 0 ＝ 2 ，故所求的切線方程為 4 x － y － 4 ＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0. xx0＝(3) 設(shè)切點(diǎn)為 ??????x 0 ， y 0 ，故切線的斜率為 k ＝ x 20 ＝ 1 ，解得 x 0 ＝ 177。1 ，故切點(diǎn)為??????1 ，53， ( － 1,1) ．故所求切線方程為 y －53＝ x － 1 和 y － 1 ＝ x＋ 1 ，即 3 x － 3 y ＋ 2 ＝ 0 和 x － y ＋ 2 ＝ 0. 點(diǎn)評(píng)： (1)解決此類問題一定要分清是 “ 在某點(diǎn)處的切線 ” ，還是 “ 過某點(diǎn)的切線 ” ． (2)對(duì)未知切點(diǎn)坐標(biāo)的問題，一般是首先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用 “ 切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率 ” ， “ 切點(diǎn)在曲線上 ” ， “ 切點(diǎn)在切線上 ” 建立方程組求解． (3)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)與該切點(diǎn)處的切線的斜率這兩個(gè)量之間可以相互轉(zhuǎn)化． 第十三節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 (一 ) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課 前 自 修 知識(shí)梳理 一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 1． 函數(shù)單調(diào)性的充分條件． 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′0，那么函數(shù) y＝ f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為 ________；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) y′0，那么函數(shù) y＝ f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為 ________． 2．函數(shù)單調(diào)性的必要條件． 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù) y＝ f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi) __________；如果函數(shù)y＝ f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為 __________，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)________． 增函數(shù) 減函數(shù) y′≥0 減函數(shù) y′≤0 3．求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法． (1)確定函數(shù) f(x)的定義域． (2)計(jì)算導(dǎo)數(shù) ________，令 __________，解此方程，求出它們?cè)诙x域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根． (3)把函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn) [即 f?x?的無定義的點(diǎn) ]的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把 f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間． (4)確定 f′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù) f′(x)的符號(hào)判定函數(shù) f(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性 [若 f′(x)0，則 f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若 f′(x)0，則 f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) ]． f′(x) f′(x)＝ 0 二、函數(shù)的極值 1． 函數(shù)極值的定義． 一般地，設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0附近有定義，如果對(duì) x0附近的所有的點(diǎn)，都有 f(x)＜ f(x0)，就說 f(x0)是 ____________________，記作 ________________， x0是 __________． 如果對(duì) x0附近的所有的點(diǎn)，都有 f(x)＞ f(x0)．就說 f(x0)是_____________________，記作 _____________， x0是極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為 ________． 2．判別 f(x0)是極大、極小值的方法． 若 x0滿足 f′(x0)＝ 0，且在 x0的兩側(cè) f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則 x0是f(x)的極值點(diǎn)， f(x0)是極值，并且如果 f′(x)在 x0兩側(cè)滿足 “ 左正右負(fù) ” ，那么 x0是 f(x)的 ________， f(x0)是 ________；如果 f′(x)在 x0兩側(cè)滿足 “ ________”，那么 x0是 f(x)的極小值點(diǎn)， f(x0)是極小值． 函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值 y極大值 ＝ f(x0) 極大值點(diǎn) 函數(shù) f(x)的一個(gè)極小值 y極小值 ＝ f(x0) 極值 極大值點(diǎn) 極大值 左負(fù)右正 3． 求可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值的步驟 ． (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間 ， 求導(dǎo)數(shù) ________． (2)求方程 _________的根 ． (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn) ， 順次將函數(shù)的定義域分成_____________ ， 并列成表格 ． 檢查 f′(x) 在________________________， 如果 __________， 那么 f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果 __________， 那么 f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右 ______________， 那么 f(x)在這個(gè)根處________． f′(x) f′(x)＝ 0 若干小開區(qū)間 方程根左右的值的符號(hào) 左正右負(fù) 左負(fù)右正 不改變符號(hào) 無極值 三、函數(shù)的最大值與最小值 1． 函數(shù)的最大值與最小值． 在閉區(qū)間 [a， b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)在 [a， b]上________最大值與最小值． 2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟． 設(shè)函數(shù) f(x)在 (a， b)內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間 [a， b]上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù) f(x)在 [a， b]上的最大值與最小值的步驟如下： (1)求 f(x)在 (a， b)內(nèi)的 ________； (2)將 f(x)的各 ________與 ___________比較，得出函數(shù) f(x)在 [a， b]上的最值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 必有 極值 極值 f(a)， f(b) 基礎(chǔ)自測(cè) 1 ． (20 1 2 中山市桂山中學(xué)質(zhì)檢 ) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在定義域??????－32， 3 內(nèi)的圖象如下圖所示．記 y ＝ f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)為 y ＝ f ′ ( x ) ，則不等式 f ′ ( x ) ≤ 0的解集為 ( ) A.??????－13， 1 ∪ [2, 3) B.??????－ 1 ，12∪??????43，83 C.??????－32，12∪ [1, 2) D.??????－32，－13∪??????12，43 ∪??????43， 3 解析： 由圖可知函數(shù) y ＝ f ( x ) 在??????－13， 1 和 [2 ,3 ) 上都是減函數(shù)，∴ f ′ ( x ) ≤ 0 的解集為??????－13， 1 ∪ [2, 3) ．故選 A. 答案： A 課 前 自 修 基礎(chǔ)自測(cè) 1. (2022合肥市質(zhì)檢 )函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，則不等式 (x＋3)f′(x)0的解集為 ( ) A． (1，＋ ∞) B． (－ ∞，－ 3) C． (－ ∞，－ 1)∪ (1，＋ ∞) D． (－ ∞，－ 3)∪ (－ 1,1) 解析： 由不等式 ( x ＋ 3) f ′ ( x )0 得????? x ＋ 30 ，f ′ ? x ? 0或????? x ＋ 30 ，f ′ ? x ? 0.觀察圖象可知， x － 3 或－ 1 x 1. 所以不等式的解集為 ( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 1, 1) ．故選 D. 答案： D 考 點(diǎn) 探 究 考點(diǎn)一 求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【 例 1】 (2022佛山一中模擬 )求函數(shù) f(x)＝ xln x的單調(diào)區(qū)間． 自主解答： 解析： 由 f ( x ) ＝ x ln x 易知 x 0 ，所以函數(shù)的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ，由 f ′ ( x ) ＝ l n x ＋ 10 ，解得 x 1e，由 f ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 10 ，解得 0 x 1e ，故函數(shù) f ( x ) ＝ x ln x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (e－ 1，＋ ∞ ) ，單調(diào)遞減區(qū)間是 (0 ，e－ 1) ． 變式探究 1. (2022南京市、鹽城市模擬 )函數(shù) f(x)＝ (x2＋ x＋ 1)ex(x∈ R)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ________． 解析： 因 f′(x)＝ (2x＋ 1)ex＋ (x2＋ x＋ 1)ex＝ (x2＋ 3x＋ 2)ex，令f′(x)0， 則 x2＋ 3x＋ 20，解得－ 2x－ 1， ∴ 單調(diào)遞減區(qū)間為 (－ 2，－ 1)． 答案： (－ 2，－ 1)(寫成閉區(qū)間也對(duì) ) 考點(diǎn)二 討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 【 例 2】 (2022北京市東城區(qū)期末 )已知函數(shù) f(x)＝ x3＋mx2－ 3m2x＋ 1(m＞ 0)． (1)若 m＝ 1，求曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (2， f(2))處的切線方程； (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 (2m－ 1， m＋ 1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) m的取值范圍． 思路點(diǎn)撥： (1)求導(dǎo)數(shù) f′(