【正文】 在已知關(guān)系式中，令，可得；令，可得 ①令，可得 ②由①得，，代入②，化簡得． （2）由，得，故數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，因此．于是．因為，所以． 六、數(shù)列與概率統(tǒng)計交匯的綜合題例56 為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學(xué)生的視情況，得到頻率分布直方圖,如圖4，.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項．（Ⅰ）求等比數(shù)列的通項公式。 （Ⅱ）求等差數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）,試估計該校新生的近視率的大小. 解：（I）由題意知：，∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比∴ . (II) ∵=13,∴，∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列公差為，則得，∴＝87， ， (III) =, (或=)答:估計該校新生近視率為91%. 例57從原點出發(fā)的某質(zhì)點M, 按向量=(0,1)移動的概率為,按向量=(0,2)移動的概率為,設(shè)可達到點(0,n)的概率為Pn,求： (1).求P1和P2的值. (2).求證:Pn+2=Pn+Pn+1. (3).求Pn的表達式. 解: (1). P1= (2).證明:到達點(0,n+2)有兩種情況:從點(0,n)按向量移動。從點(0,n+1) 按向量=(0,1)移動,概率分別為Pn與,所以 (3).由（2）得Pn+2Pn+1=故數(shù)列{Pn+1Pn}是以P2P1=為首項，為公比的等比數(shù)列，故Pn+1Pn= 于是PnP1=( 七、分段數(shù)列綜合題例58 數(shù)列{an}的首項a1＝1，且對任意n∈N，an與an＋1恰為方程x2－bnx＋2n＝0的兩個根.(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(Ⅰ)由題意n∈N*，anan＋1＝2n∴＝＝＝239。(1分)又∵a1a2＝239。a1＝139。a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前項為a1＝1公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，…，a2n是前項為a2＝2公比為2的等比數(shù)列　∴a2n－1＝2n－139。 a2n＝2n39。 n∈N*　即an＝又∵bn＝an＋an＋1當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝2＋2＝32當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＝2＋2＝22∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝72－7　(當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝102－7　(Sn＝例59 數(shù)列的通項，其前n項和為. (1) 求。 (2) 求數(shù)列｛｝的前n項和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 例60 數(shù)列 (Ⅰ)求并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng).解:(Ⅰ)因為所以 一般地，當(dāng)時，＝，即所以數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時，所以數(shù)列是首項為公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①②得， 所以 要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立. 證法一 (1)當(dāng)n = 6時，成立. (2)假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時， 由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，.即當(dāng)n≥6時， 證法二 令，則 所以當(dāng)時，.因此當(dāng)時，于是當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，例61 設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈．（Ⅰ）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項和滿足：，求通項； 解：因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得從而當(dāng)時，當(dāng)時，由是公比為d的等比數(shù)列得因此 八、信息遷移題例62 設(shè)同時滿足條件：①；②(是與無關(guān)的常數(shù))的無窮數(shù)列叫“特界” 數(shù)列.（Ⅰ）若數(shù)列為等差數(shù)列，是其前項和，求；（Ⅱ）判斷（Ⅰ）中的數(shù)列是否為“特界” 數(shù)列，并說明理由..解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，（Ⅱ）由得，故數(shù)列適合條件①而，則當(dāng)或時，有最大值20即，故數(shù)列適合條件②.綜上，故數(shù)列是“特界”數(shù)列。例63 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列.解：（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，由于，∴，故. 從而，∴.∵， ∴，故.由A具有性質(zhì)P可知.又∵，∴，從而，∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，有，即， ∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，∴，∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列...例64 給定項數(shù)為的數(shù)列，其中.若存在一個正整數(shù)，若數(shù)列中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列因為與按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列是“4階可重復(fù)數(shù)列”.（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列① ②是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項；（Ⅱ）若數(shù)為的數(shù)列一定是 “3階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值是多少？說明理由；（III）假設(shè)數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且，求數(shù)列的最后一項的值.解：（Ⅰ）記數(shù)列①為，因為與按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列①是“5階可重復(fù)數(shù)列”，重復(fù)的這五項為0,0,1,1,0。 記數(shù)列②為，因為、 、沒有完全相同的，所以不是“5階可重復(fù)數(shù)列”. ……………….3分（Ⅱ）因為數(shù)列的每一項只可以是0或1，＝11，則數(shù)列中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，即項數(shù)為11的數(shù)列一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m＝10，數(shù)列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則時，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”，要使數(shù)列一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11. ……………….8分（III）由于數(shù)列在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列的末項后再添加一項，則存在，使得與按次序?qū)?yīng)相等，或與按次序?qū)?yīng)相等， 如果與不能按次序?qū)?yīng)相等，那么必有，使得、與按次序?qū)?yīng)相等. 此時考慮和，其中必有兩個相同，這就導(dǎo)致數(shù)列中有兩個連續(xù)的五項恰按次序?qū)?yīng)相等，從而數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！所以與按次序?qū)?yīng)相等，從而例65 數(shù)列和數(shù)列由下列條件確定：①；②當(dāng)時，與滿足如下條件：當(dāng)時，；當(dāng)時。解答下列問題：（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和為；（Ⅲ）是滿足的最大整數(shù)時，用表示n的滿足的條件。解：（Ⅰ）當(dāng)時，當(dāng)時，所以不論哪種情況，都有，又顯然，故數(shù)列是等比數(shù)列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故所以，所以，（Ⅲ）當(dāng)時，由②知不成立，故從而對于，有，于是 ，故若，若，則所以，這與n是滿足的最大整數(shù)矛盾。因此n是滿足的最小整數(shù)，而因而，n是滿足最小整數(shù)。例66 對于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有 , 則稱數(shù)列為數(shù)列.（Ⅰ）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B數(shù)列？請說明理由。（Ⅱ）：A組：①數(shù)列是B數(shù)列, ②數(shù)列不是B數(shù)列。B組：③數(shù)列是B數(shù)列, ④數(shù)列不是B數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若數(shù)列是B數(shù)列，證明：數(shù)列也是B數(shù)列。解: （Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為, ==所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B數(shù)列 .（Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B數(shù)列，.事實上設(shè)=1，易知數(shù)列是B數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B數(shù)列，則數(shù)列不是B數(shù)列。此命題為真命題。事實上，因為數(shù)列是B數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有 , ,所以數(shù)列是B數(shù)列。 (Ⅲ)若數(shù)列是B數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有 .因為 .記，則有 .因此.故數(shù)列是B數(shù)列.