【正文】 事實上，因為數列是B數列，所以存在正數M，對任意的，有 , ,所以數列是B數列。B組：③數列是B數列, ④數列不是B數列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結論；(Ⅲ)若數列是B數列，證明：數列也是B數列。解：（Ⅰ）當時，當時，所以不論哪種情況，都有，又顯然，故數列是等比數列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故所以，所以，（Ⅲ）當時，由②知不成立，故從而對于，有，于是 ，故若，若，則所以，這與n是滿足的最大整數矛盾。解得從而當時，當時，由是公比為d的等比數列得因此 八、信息遷移題例62 設同時滿足條件：①；②(是與無關的常數)的無窮數列叫“特界” 數列.（Ⅰ）若數列為等差數列，是其前項和，求；（Ⅱ）判斷（Ⅰ）中的數列是否為“特界” 數列，并說明理由..解：（Ⅰ）設等差數列的公差為，則，（Ⅱ）由得，故數列適合條件①而，則當或時，有最大值20即，故數列適合條件②.綜上，故數列是“特界”數列。2－7　(當n為奇數時，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10 a2n＝2n39。(1分)又∵a1 例55 設數列滿足，其中．（1）證明：對一切，有；（2）證明：．證明 （1）在已知關系式中，令，可得；令，可得 ①令，可得 ②由①得，代入②，化簡得． （2）由，得，故數列是首項為，公差為2的等差數列，因此．于是．因為，所以． 六、數列與概率統(tǒng)計交匯的綜合題例56 為了研究某高校大學新生學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學生的視情況，得到頻率分布直方圖,如圖4，.已知前4組的頻數從左到右依次是等比數列的前四項，后6組的頻數從左到右依次是等差數列的前六項．（Ⅰ）求等比數列的通項公式。從而有 。而。因此。 （3）當時，記，則對于任意，且。根據數學歸納法，與同號。（II）（方法一）由知，當且僅當或。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。依此下去，得到一系列點M1，M2…，Mn，…，設它們的橫坐標a1，a2，…，an，…，構成數列為。例46 (2009陜西卷理) 已知數列滿足， .猜想數列的單調性，并證明你的結論；（Ⅱ)證明：。2n－3n2n+1∴－Sn=32n ∴2Sn=321+6　　……6分（2）由可得①當時，由，可得 ∴對一切都成立，∴此時的解為.?、诋敃r，由 可得≥∴對一切都成立，∴此時的解為.由①，②可知對一切，都有的的取值范圍是或.　例40 已知正項數列中，點在拋物線上；數列中，點在過點，以方向向量為的直線上。.（1）求數列的前項和；（2）若對一切都有，求的取值范圍.解：（1） ，∴當時，.當≥2時，=，∴ 此時（3）令，當時，有 等價于求證。解：（1）所以是等差數列。(II) 證明:對任意的,恒有.【解析】(I)由已知推得,從而有(II) 證法1:當時, 當x0時, ,所以在[0,1]上為增函數因函數為偶函數所以在[1,0]上為減函數所以對任意的因此結論成立.證法2: 當時, 當x0時, ,所以在[0,1]上為增函數因函數為偶函數所以在[1,0]上為減函數所以對任意的又因所以因此結論成立.證法3: 當時, 當x0時, ,所以在[0,1]上為增函數因函數為偶函數所以在[1,0]上為減函數所以對任意的由對上式兩邊求導得因此結論成立.五、數列與不等式交匯的綜合題例31 已知數列滿足.(1)若數列是以常數首項,公差也為的等差數列,求a1的值。網] 。 （IV）請構造一個與有關的數列，使得存在，并求出這個極限值。 [則（）]⑵由及得， 則 四、數列與函數交匯的綜合題例22 已知函數（）。a=(n為奇數，0＜a＜1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； 當偶數時，xn+1=n+a，xn=na，∴xn+1xn=2a. ∴2a=2()222。N),∵yn+1yn=,∴{yn}為等差數列 （2）因為與為等腰三角形.所以，兩式相減得 。 （2）點列是否一定趨向于某一個定點P0？說明理由； （3）若，則是否存在正整數m，？若存在，求m的最小值。此時等號左邊是常數，矛盾。解：（1）由，得， 整理后，可得，、為整數， 不存在、使等式成立。（1）求數列的通項公式及前項和； （2）試求所有的正整數，使得為數列中的項。 解：（1）設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,設， 則=, 所以為8的約數（方法二）因為為數列中的項，故為整數，又由（1）知：為奇數，所以經檢驗，符合題意的正整數只有。 （2）若，即， （*）（ⅰ）若則。綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。解：（1）由|AB|=|AC|=1， 從而△ABC為邊長為1的正三角形 則，于是 ∴ 同樣 又 即 （2）由（1）可得： ∴的等比數列 ∴ 當 ∴點Pn趨向點P0，其中P0在AB上，且BP0 （3） 由 當∴的最小值為4 例15 已知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．（1）求數列的通項公式；（2）證明：.解：（1）設直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去） ，即，∴（2）證明：∵ ∴由于，可令函數，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數在上單調遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即. 例16 數軸上有一列點P1，P2，P3，…，Pn，…，已知當時，點Pn是把線段Pn – 1 Pn+1作n等分的分點中最靠近Pn+1的點，設線段P1P2，P2P3，…，Pn Pn + 1的長度分別為a1，a2，a3，…，an，其中a1 = 1．（1）寫出a2，a3和an（，）的表達式；（2）證明a1 + a2 + a3 +…+an 3（）；（3）設點Mn( n，an)（n 2，），在這些點中是否存在兩個點同時在函數的圖像上，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．.解：(1) 由已知，令n = 2，P1P2 = P2P3，所以a2 = 1，令n = 3，P2P3 = 2P3P4，所以，同理，．所以(2) 因為所以．而n = 1時，易知a1 = 1 3成立，所以(3) 假設有兩個點A（p，ap），B（q，aq），都在函數即．所以．消去k得，……①以下考查數列{bn}，的增減情況，當n 2時，n2 – 3n + 1 0，所以對于函數{bn}有b2 b3 b4 … bn …所以①式不能成立，所以，不可能有兩個點同時在函數圖像上． 例17 在直角坐標系中，有一點列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，…，Pn(an，bn)，…對每一個正整數n，點Pn在給定的函數y＝log3(2x){an}中，an與an+1是關于x的方程4x2－8nx＋4n2－1＝0（n∈N*）的兩個根．（Ⅰ）求點Pn的縱坐標bn的表達式；（Ⅱ）記＝3，n∈N*.證明＋＋…＋＜3；解：（Ⅰ）解方程4x2－8nx＋4n2－1＝0，得x1＝n－，x2＝n－，∵{an}是遞增數列，∴an＝n－，an+1＝n－，即an＝n－( n∈N*)，又因為Pn(an，bn)在函數y＝log3(2x)的圖像上，所以bn＝log3(2n－1).（Ⅱ）因為＝3，n∈N*，所以＝2n－1設Dn＝＋＋…＋，即Dn＝＋＋…＋， ①所以Dn＝＋＋…＋＋， ②由①－②得Dn＝＋＋＋…＋－，則所以Dn＝1＋1＋＋＋…－＝1＋－＝3－－＜3，例18 已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）順次為一次函數圖像上的點，點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形。注：判斷得2分，證明得1分∴x1,x3,x5,…,x2n1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差為2的等差數列， ∴ （3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2=2()22