全國大學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)及高等數(shù)學(xué)競賽試題及解答-資料下載頁
2025-01-14 01:07本頁面
【正文】 價于，只要證明，設(shè)，則只要證明，就有， ，則問題得證.以下證明，成立上式等價于，即，令，則，并且對，有 ，從而當(dāng)時，這樣問題得證.注：利用這一結(jié)論，我們可以證明如下結(jié)論.六、設(shè)為整數(shù)，證明方程，在上至少有一個根.六、 證明：存在，使得.證明：令，則有， ，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，得存在，使得，故問題得證.這里是由于， ，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，有.七、 是否存在上的可微函數(shù)，使得，若存在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明。證明 如果這樣的函數(shù)存在，我們來求的不動點(diǎn)，即滿足的，，由此得，這表明有唯一的不動點(diǎn)，易知也僅有唯一的不動點(diǎn)，在等式，兩邊對求導(dǎo)，得，讓，即得，這是不可能的，故這樣的函數(shù)不存在。八、設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，且對任何，有，證明： 。試舉例說明，僅有在上的連續(xù)性推不出上述結(jié)論。證明由在上一致連續(xù)，對， ，當(dāng)且時，便有；取定充分大的正整數(shù)，使得?，F(xiàn)把區(qū)間等分，設(shè)其分點(diǎn)為，每個小區(qū)間的長度小于。對于任意，；從而必有，使得；由條件對每個，有；于是存在，當(dāng)時，對都成立；故當(dāng)時，便有，即得，結(jié)論得證。設(shè)在上的連續(xù)，且對任何，有，但推不出上述結(jié)論。例如函數(shù)滿足在上的連續(xù)，且對任何，有，但不成立 。21
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