全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)及高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及解答-文庫(kù)吧資料
2025-01-20 01:07本頁(yè)面
【正文】 時(shí)，對(duì)都成立；故當(dāng)時(shí)，便有，即得，結(jié)論得證。證明 證法一由在上一致連續(xù)，對(duì)， ，當(dāng)且時(shí)，便有；取定充分大的正整數(shù)，使得。2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)競(jìng)賽試題及解答（1）計(jì)算積分 解 方法一 直接利用分部積分法得 ??； 方法二 不妨設(shè)，由于， 而積分關(guān)于在上一致收斂，故可交換積分次序 ?。弧 》椒ㄈ? 將固定，記， 可證在上收斂．設(shè) 因?yàn)椋諗?，所以由Weierstrass判別法知道 對(duì)一致收斂．所以可以交換微分運(yùn)算和積分運(yùn)算的次序， 即． 由的任意性，上式在上成立．所以 ，由于 所以，即． (2) 若關(guān)于的方程，在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)解，求常數(shù).解：設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由此在處達(dá)到最小值，又在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，必有，所以.（3） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，由積分中值公式，有，若導(dǎo)數(shù)存在且非零，求.解：， ，由條件，可知 ，故有.二、設(shè)函數(shù)在附近可微，,定義數(shù)列.證明：有極限并求其值.證明：由導(dǎo)數(shù)的定義，對(duì)于任意,存在，當(dāng)時(shí)，有.于是，從而，當(dāng)時(shí)，有，其中.對(duì)于上式求和，得到，即，令，有,由的任意性，得到 . 設(shè)在上有定義，在處可導(dǎo)，且.證明：.三、設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，且對(duì)任何，有，
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