【正文】 合圖 1 可以求出： S 合 min = 12vvd 最后解決 v2＜ v1 時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問題。從圖 4 可以看出，當(dāng) v2＜ v1 時(shí)， v 合 不可能和虛線半圓周相切（或α max = arcsin 21vv無解），結(jié)合實(shí)際情況，α max取 90176。 即： v2＜ v1 時(shí)， S 合 min = d ，此時(shí)，θ = arccos 12vv 結(jié)論：若 v1＜ v2 ，θ = arccos 21vv時(shí)， S 合 min = 12vvd 若 v2＜ v1 ，θ = arccos 12vv時(shí)， S 合 min = d 二、滑輪小船 物理情形：如圖 5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長的輕繩通過定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長， 求汽車速度 v1 和小船速度 v2 的大小關(guān)系。 模型分析：由于繩不可伸長，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小 v1 ，考查繩與船相連的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況， v1和 v2 必有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的問題。 （學(xué)生活動(dòng)）如果 v1恒定不變， v2會(huì)恒定嗎？若恒定，說明理由；若變化，定性判斷變化趨勢。 結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零， v2→ v1 。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長度，得到 v2＞ v1 。故“船速增大”才是正確結(jié)論。 故只能引入瞬時(shí)方位角θ，看 v1 和 v2 的瞬 時(shí)關(guān)系。 （學(xué)生活動(dòng)） v1和 v2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答？ 針對(duì)如圖 6 所示的兩種典型方案，初步評(píng)說 —— 甲圖中 v2 = v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2 越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。 錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別，并聯(lián)系“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成等事例，總結(jié)出這樣的規(guī)律 —— 合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、需要分析而具有人為特征（無唯一性）的運(yùn)動(dòng)。 解法一：在圖 6（乙） 中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是 v2 合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng) v1 和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng) v 轉(zhuǎn) ，從而肯定乙方案是正確的。 即： v2 = v1 / cosθ 解法二：微元法。從考查位置開始取一個(gè)極短過程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖 7（甲）中標(biāo)示出來，AB 是繩的初識(shí)位置， AC 是繩的末位置，在 AB 上取 AD =AC 得 D 點(diǎn)，并連接 CD。顯然，圖中 BC是船的位移大小， DB 是繩子的縮短長度。由于過程極短，等腰三角形 ACD 的頂角∠ A→ 0，則底角∠ ACD→ 90176。，△ CDB 趨于直角三角形。將此三角放 大成圖 7（乙），得出： S2 = S1 / cosθ 。 鑒于過程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即： S2 = v2 t ， S1 = v1 t 。所以： v2 = v1 / cosθ 三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程 物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為 v0 ，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。 模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。 設(shè)初速度方向與水平面夾θ角，建立水平、豎直的 x、 y 軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿 x、 y 分解。針對(duì)拋出到落回原高度的過程 0 = Sy = v0y t + 21 （ g） t2 Sx = v0x t 解以上兩式易得： Sx = gv20sin2θ 結(jié)論：當(dāng)拋射角θ = 45176。時(shí)，最大射程 Sxmax = gv20 （學(xué)生活動(dòng)）若 v0 、θ確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。 運(yùn)動(dòng)學(xué)求解 —— 考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解 —— 注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具備的速度v0x ，然后對(duì)拋出到最高點(diǎn)的過程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論： Hm = g2sinv220 ? 。 四、物體脫離圓弧的討論 物理情形：如圖 8 所示，長為 L 的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè) vo = 2 gL 的水平 初速，試求所能到達(dá)的最大高度。 模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典型事例。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。 （學(xué)生活動(dòng)）小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn) C ？ 通過能量關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動(dòng)超過 B 點(diǎn)、但不能到達(dá) C 點(diǎn)（ vC ?gL ），即小球必然在 BC 之間的某點(diǎn)脫離圓弧。 （學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在 BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)？ 盡管對(duì)于本問題，能量分析是可行的（ BC 之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度 vD 不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分 析，是本模型的重點(diǎn) —— 在 BC 階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖 9 所示。沿軌跡的切向、法向分別建τ、 n 坐標(biāo)，然后將重力 G 沿τ、 n 分解為 Gτ 和 Gn分量， T 為繩子張力。法向動(dòng)力學(xué)方程為 T + Gn = Σ Fn = man = m rv2 由于 T? 0 ， Gn＞ 0 ，故 v≠ 0 。（ 學(xué)生活動(dòng)：若換一個(gè)v0值，在 AB階段， v = 0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在 BC階段 v = 0也是可能出現(xiàn)的。 ） 下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為 D，對(duì)應(yīng)方位角為θ，如圖 8 所示。由于在 D 點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的 張力 T 為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足 Gn = Gsin θ = m rv2 ① 在再針對(duì) A→ D 過程，小球機(jī)械能守恒，即（選 A 所在的平面為參考平面）： 21 m 20v + 0 = mg ( L + Lsinθ ) +21 m 2Dv ② 代入 v0 值解①、②兩式得：θ = arcsin32 ，（同時(shí)得到： vD = gL32 ）小球脫離 D 點(diǎn)后將以 vD 為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì) A）可以用兩種方法 求得。 解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。 先求小球斜拋的最大高度， hm = g2 )cosv(2D ? = g2 )sin1(v22D ?? 代入θ和 vD 的值得： hm = 275 L 小球相對(duì) A 的總高度： Hm = L + Lsinθ + hm = 2750 L 解法二：能量途徑 小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有 vD 的水平分量，即 vDsinθ = 32 gL32 。對(duì) A→最高點(diǎn)的過程用機(jī)械能守恒定律（設(shè) A 所在的平面為參考平面），有 21 m 20v + 0 = 2D )sinvm21 ?（ + mg Hm 容易得到： Hm = 2750 L 五、萬有引力的計(jì)算 物理情形：如圖 9 所示，半徑為 R 的均質(zhì)球質(zhì)量為 M，球心在 O 點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為 R/2 的球形空腔（球心在 O′）。在 O、 O′的連線上距離 O 點(diǎn)為 d 的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為 m 的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬有引力。 模型分析：無論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應(yīng)萬有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補(bǔ)法”的應(yīng)用。 空腔里現(xiàn)在雖然空無一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為 R/2 的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8 ，一個(gè)的質(zhì)量為－ M/8 。然后，前者正好填補(bǔ)空腔 —— 和被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球 A ；注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物體 （質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為 B 。 既然 A、 B 兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢來計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說明， B 物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和 m 之間的萬有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥 —— 成了“萬有斥力”了。具體過程如下 FAm = G 2dMm FBm = G22Rdm8M?????? ???= － G 2)2Rd(8 Mm? 最后，兩物之間的萬有引力 F = FAm + FBm = G 2dMm － G 2)2Rd(8 Mm? 需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過力矩平衡求被挖除物體的重心 （仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、 O′的連線上距離 O 點(diǎn)左側(cè) R/14 處，然后“一步到位”地求被挖除物與 m 的萬有引力 F = G2)14Rd(m7M?? 然而，這種求法違背了萬有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。 六、天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算 物理情形：地球和太陽的質(zhì)量分別為 m 和 M ，地球繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道的半長軸為 a ，半短軸為 b ，如圖 11 所示。試求地球在橢圓頂點(diǎn) A、 B、 C 三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，以及軌跡在 A、 C 兩點(diǎn)的曲率半徑。 模型分析：求解天體運(yùn)動(dòng)的本來模式，常常要用到開普勒定律（定量）、機(jī)械能守恒（萬有引 力勢能）、橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)等等，相對(duì)高考要求有很大的不同。 地球軌道的離心率很小（其值 ac ≈ ，其中 c 為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。為了方便說明問題，在圖 11 中，我們將離心率夸大了。 針對(duì)地球從 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程，機(jī)械能守恒 21 m 2Av +（－ caMmG ? ） = 21 m 2Bv +（－caMmG ? ） 比較 A、 B 兩點(diǎn)，應(yīng)用開普勒第二定律，有： vA（ a－ c） = vB（ a + c） 結(jié)合橢圓的基本關(guān)系： c = 22 ba ? 解以上三式可得： vA = b baa22 ?? aGM ， vB = b baa22 ?? aGM 再針對(duì)地球從 A 到 C 的過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有 21 m 2Av +（－ caMmG ? ） = 21 m 2Cv +（－ aMmG ） 代入 vA值可解得： vC = aGM 為求 A、 C 兩點(diǎn)的曲率半徑，在 A、 C 兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動(dòng)力學(xué)（法向）方程。 在 A 點(diǎn)， F 萬 = Σ Fn = m an ，設(shè)軌跡在 A 點(diǎn)的曲率半徑為ρ A ，即： G 2)ca( Mm? = m A2Av? 代入 vA值可解得：ρ A = ab2 在 C 點(diǎn)，方程復(fù)雜一些，須將萬有引力在τ、n 方向分解，如圖 12 所示。 然后， F 萬 n =Σ Fn = m an ，即： F 萬 cosθ = m C2Cv? 即： G 2aMm ab = m C2Cv? 代入 vC 值可解得：ρ C = ba2 值得注意的是，如果針對(duì) A、 C 兩點(diǎn)用開普勒第二定律 ，由于 C 點(diǎn)處的矢徑 r 和瞬時(shí)速度 vC 不垂直，方程不能寫作 vA（ a－ c） = vC a 。 正確的做法是：將 vC 分解出垂直于矢徑的分量（分解方式可參看圖 12，但分解的平行四邊形未畫出） vC cosθ，再用 vA（ a－ c） =（ vC cosθ） a ，化簡之后的形式成為 vA（ a－ c） = vC b 要理解這個(gè)關(guān)系，有一定的難度，所以建議最好不要對(duì) A、 C 兩點(diǎn)用開普勒第二定律 第三講 典型例題解析 教材范本：張大同主編《金牌之路》，陜西師范大學(xué)出版社， 2022 年 7 月第 4 版。 例題選講針對(duì)“教材”第五、第六章的部分例題和習(xí) 題。 第五章 動(dòng)量和能量 第一講 基本知識(shí)介紹 一、沖量和動(dòng)量 沖力（ F— t 圖象特征）→ 沖量。沖量定義、物理意義 沖量在 F— t 圖象中的意義→從定義角度求變力沖量（ F 對(duì) t 的平均作用力） 動(dòng)量的定義 動(dòng)量矢量性與運(yùn)算 二、動(dòng)量定理 定理的基本形式與表達(dá) 分方向的表達(dá)式：Σ Ix =Δ Px ，Σ Iy =Δ Py ? 定理推論：動(dòng)量變化率等于物體所受的合外力。即 tP?? =Σ F 外 三、動(dòng)量守恒定律 定律、矢量性 條件 a、原始條件與等效 b、近似條件 c、某個(gè)方向上滿足 a 或 b，可在此方向應(yīng)用 動(dòng)量守恒定律 四、功和能 功的定義、標(biāo)量性，功在 F— S 圖象中的意義 功率，定義求法和推論求法 能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律 功的求法 a、恒力的功： W = FScosα = FSF = FS S b、變力的功：基本原則 —— 過程分割與代數(shù)累積；利用 F— S 圖象（或先尋求 F 對(duì) S的平均作用力） c、解決功的“疑難雜癥”時(shí)，把握“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn) 五、動(dòng)能、動(dòng)能定理 動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能） 動(dòng)能定理 a、Σ W 的兩種理解 b、動(dòng)能定理的廣泛適用性 六、機(jī)械能守