【正文】 2＋ FM2＝2 33， ∴22 3＝2 33BC 1， 解得： BC 1 ＝ 2 ， ∴ OC 1 ＝ 4 ， ∴ C 1 的坐標(biāo)為 (4,0) ； 2. 【解答】 (1)∵ 直線 y＝ 12x－ 2 交 x 軸、 y 軸于 B、 C 兩點(diǎn)， ∴ B(4,0)， C(0，－ 2)， ∵ y＝ ax2－ 32x＋ c 過(guò) B、 C 兩點(diǎn)， ∴????? 0＝ 16a－ 6＋ c，－ 2＝ c， 解得 ????? a＝ 12，c＝－ 2.∴ y＝ 12x2－ 32x－ 2； (2)證明：如圖 1，連接 AC， ∵ y＝ 12x2－ 32x－ 2 與 x 負(fù)半軸交于 A 點(diǎn)， ∴ A(－ 1,0)， 在 Rt△ AOC 中， ∵ AO＝ 1， OC＝ 2， ∴ AC＝ 5， 在 Rt△ BOC 中， ∵ BO＝ 4， OC＝ 2， ∴ BC＝ 2 5， ∵ AB＝ AO＋ BO＝ 1＋ 4＝ 5， ∴ AB2＝ AC2＋ BC2， ∴△ ABC 為直角三角形； ∴ S＝ GDDE＝ x(5－ 52x)＝－ 52x2＋ 5x＝－ 52(x－ 1)2＋ 52，即 x＝ 1 時(shí)， S 最大為 52. (3) △ ABC 內(nèi)部可截出面積最大的矩形 DE F G ，面積為52，理由如下： ① 一點(diǎn)為 C ， AB 、 AC 、 BC 邊上各有一點(diǎn)，如圖 2 ，此時(shí) △ AGF ∽△ ACB ∽△ FEB ． 設(shè) GC ＝ x ， AG ＝ 5 － x ， ∵AGAC＝GFCB， ∴5 － x5＝GF2 5， ∴ GF ＝ 2 5 － 2 x ， ∴ S ＝ GC GF ＝ x (2 5 － 2 x ) ＝－ 2 x2＋ 2 5 x ＝－ 2( x －52)2＋52，即當(dāng) x ＝52時(shí)， S 最大為52. ② AB 邊上有兩點(diǎn)， AC 、 BC 邊上各有一點(diǎn)，如圖 3 ，此時(shí) △ CDE ∽△ CAB ∽△ GAD ，設(shè) GD ＝ x ， ∵ADAB＝GDCB， ∴AD5＝x2 5， ∴ AD ＝52x ， ∴ CD ＝ CA － AD＝ 5 －52x ， ∵CDCA＝DEAB， ∴5 －52x5＝DE5，∴ DE ＝ 5 －52x ， 綜上所述， △ ABC 內(nèi)部可截出面積最大的矩形 DEFG，面積為 52. 3. 【解答】 (1)由題設(shè)可知 A(0,1)， B(－ 3， 52)， 根據(jù)題意得：??? c＝ 1，9a－ 3b＋ c＝ 52，a－ b＋ c＝ 4，解得：????? a＝－ 54，b＝－ 174 ，c＝ 1， 則二次函數(shù)的解析式是： y＝－ 54x2－ 174 x＋ 1； (2)設(shè) N(x，－ 54x2－ 174 x＋ 1)，則 M、 P 點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 (x，－ 12x＋ 1)， (x,0)． ∴ MN＝ PN－ PM＝－ 54x2－ 174 x＋ 1－ (－ 12x＋ 1)＝－ 54x2－ 154 x＝－ 54(x＋ 32)2＋ 4516， 則當(dāng) x＝－ 32時(shí)， MN的最大值為 4516； (3)存在點(diǎn) N，使得四邊形 BCMN 是菱形． 連接 MC、 BN、因?yàn)樗倪呅?BCMN 是菱形，由于 BC∥ MN，即 MN＝ BC，且 BC＝ MC， 即－ 54x2－ 154 x＝ 52，且 (－ 12x＋ 1)2＋ (x＋ 3)2＝ 254 ， 解得： x＝－ 1，故當(dāng) N(－ 1,4)時(shí)，四邊形 BCMN 是菱形． 4. 【解答】 (1)A， B 兩點(diǎn)在直線 y＝ x＋ 2 上且橫坐標(biāo)分別是－ 2 和 1， ∴ A(－ 2,0)， B(1,3)． 把 A(－ 2,0)， B(1,3)代入 y＝ ax2＋ bx 得 ：????? 0＝ 4a－ 2b，3＝ a＋ b， 解得 ????? a＝ 1，b＝ 2. 二次函數(shù)的解析式為 y＝ x2＋ 2x； (2)由題意可設(shè) M(m， m＋ 2)，其中－ 2＜ m＜ 1，則 N(m， m2＋ 2m)， MN＝ m＋ 2－ (m2＋ 2m)＝－ m2－ m＋ 2＝－ (m＋ 12)2＋ 94. ∴ 當(dāng) m＝－ 12時(shí)， MN的長(zhǎng)度最大值為 M 的坐標(biāo)為 (－ 12， 32)； ∴????? y＝ 12x＋ b，y＝－ x2－ 2x有一組解，此時(shí)－ x2－ 52x－ b＝ 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， (3) 分兩種情況： ① 當(dāng) y ＝12x ＋ b 過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，直線與新圖象有 3 個(gè)公共點(diǎn) ( 如圖所示 ) ， 把 A ( － 2,0) 代入 y ＝12x ＋ b 得 b ＝ 1 ； ② 當(dāng) y ＝12x ＋ b 與新圖象的封閉部分有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與新圖象有 3 個(gè)公共點(diǎn)． 由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，所以其解析式為 y ＝－ x2－ 2 x 則 (52)2－ 4b＝ 0 所以 b＝ 2516， 綜上所述 b＝ 1 或 b＝ 2516. 專(zhuān)題六 圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題探究 (針對(duì)蘇州中考 28 題 ) 中考考點(diǎn) 講練 近幾年來(lái)，運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題常常被列為中考的壓軸問(wèn)題 。 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題屬于運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中伴隨著等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考察。問(wèn)題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié) 合，有較強(qiáng)的綜合性。 解決這類(lèi)問(wèn)題的策略一般 有： ，要注意用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系。 、不變的關(guān)系或特殊關(guān)系，化動(dòng)為靜，由特殊情形（特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形等）過(guò)渡到一般情形。要抓住圖形在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止的某一瞬間，將這些點(diǎn)鎖定在某一位置上，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就容易顯現(xiàn)出來(lái)，從而得到解題的方法。 ，這一步很重要。 因?yàn)殡S著點(diǎn)的移動(dòng)，與之相關(guān)的一些圖形肯定隨著改變，而且點(diǎn)移動(dòng)到不同的位置，我們要研究的圖形可能會(huì)改變。所以，一定要畫(huà)圖，不能憑空想象。 題是有關(guān)確定圖形的變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型求解；當(dāng)確定圖形之間的特殊位置關(guān)系或者一些特殊值時(shí)，通常建立方程模型求解。一般會(huì)涉及到全等和相似。 所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類(lèi)開(kāi)放性題目 .解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜 ,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題 . 蘇州市運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的明顯特征： 動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題。此 題的知識(shí)點(diǎn)：特殊四邊形性質(zhì)、三點(diǎn)共線、三角形相似、直線與圓的位置關(guān)系。主要是幾何圖形的變換，它包括：（ 1）圖形平移；（ 2）圖形旋轉(zhuǎn)；（ 3）軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)。運(yùn) 動(dòng)性對(duì)象有：動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)型；運(yùn)動(dòng)數(shù)量有單動(dòng)、雙動(dòng)之分。從 2022年和 2022年的試題來(lái)看，蘇州市中考側(cè)重于雙動(dòng)。實(shí)踐操作性試題正逐漸成為蘇州市中考命題的熱點(diǎn)和壓軸題， 2022 年試題順序的變化可以看出。主要有動(dòng)點(diǎn)（或動(dòng)線、動(dòng)形）運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對(duì)應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式，求函數(shù)的自變量的取值范圍，求角度或線段，最后根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行探索運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍等。（注意圖形運(yùn)動(dòng)中的特殊位置）步驟：①用時(shí)間表示線段；②找相等關(guān)系；③列方程；④計(jì)算并檢驗(yàn)后回答。 ： （ 2022?永州）問(wèn) 題探究： （一）新知學(xué)習(xí)： 圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對(duì)角互補(bǔ)，那么四邊形 EFGH的四個(gè)頂點(diǎn) E、 F、 G、 H都在同個(gè)圓上）． （二）問(wèn)題解決： 已知 ⊙O 的半徑為 2， AB， CD是 ⊙O 的直徑． P是 上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P分別作 AB， CD 的垂線，垂足分別為 N， M． （ 1）若直徑 AB⊥CD ，對(duì)于 上任意一點(diǎn) P（不與 B、 C重合）（如圖一），證明四邊形 PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長(zhǎng)； （ 2）若直徑 AB⊥CD ，在點(diǎn) P（不與 B、 C重合）從 B運(yùn)動(dòng)到 C的過(guò)程匯總， 證明 MN 的長(zhǎng)為定值，并求其定值； （ 3）若直徑 AB與 CD 相交成 120176。 角． ① 當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到 的中點(diǎn) P1時(shí)（如圖二），求 MN的長(zhǎng)； ② 當(dāng)點(diǎn) P（不與 B、 C重合）從 B運(yùn)動(dòng)到 C的過(guò)程中（如圖三），證明 MN的長(zhǎng)為定值． （ 4）試問(wèn)當(dāng)直徑 AB與 CD相交成多少度角時(shí)， MN的長(zhǎng)取最大值，并寫(xiě)出其最大值． 2. 如圖， AB是半徑 O 的直徑， AB=2．射線 AM、 BN為半圓 O的切線．在 AM上取一點(diǎn) D，連接 BD交半圓于點(diǎn) C，連接 AC．過(guò) O點(diǎn)作 BC 的垂線 OE，垂足為點(diǎn) E，與 BN相交于點(diǎn) F．過(guò) D點(diǎn)作半圓 O的切線 DP，切點(diǎn)為 P，與 BN相交于點(diǎn) Q． （ 1）求證： △ABC∽△OFB ； （ 2）當(dāng) △ABD 與 △BFO 的面枳相等時(shí)，求 BQ的長(zhǎng)； （ 3）求證：當(dāng) D在 AM 上移動(dòng)時(shí)（ A點(diǎn)除外），點(diǎn) Q始終是線段 BF的中點(diǎn)． 參考答案： ：（ 1）如圖一， ∵PM⊥OC ， PN⊥OB ， ∴∠PMO=∠PNO=90176。 ， ∴∠PMO+∠PNO=180176。 ， ∴ 四邊形 PMON內(nèi)接于圓，直徑 OP=2； （ 2）如圖一， ∵AB⊥OC ，即 ∠BOC=90176。 ， ∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90176。 ， ∴ 四邊形 PMON是矩形， ∴MN=OP=2 ， ∴MN 的長(zhǎng)為定值，該定值為 2； （ 3） ① 如圖二， ∵P 1是 的中點(diǎn)， ∠BOC=120176?！唷螩OP 1=∠BOP 1=60176。 ， ∠MP 1N=60176。 ． ∵P 1M⊥OC ， P1N⊥OB ， ∴P 1M=P1N， ∴△P 1MN是等邊三角形， ∴MN=P 1M． ∵P 1M=OP1?sin∠MOP 1=2179。sin60176。= ， ∴MN= ； ② 設(shè)四邊形 PMON的外接圓為 ⊙O′ ，連接 NO′ 并延長(zhǎng)交 ⊙O′ 于點(diǎn) Q，連接 QM，如圖三， 則有 ∠QMN=90176。 ， ∠MQN=∠MPN=60176。 ，在 Rt△QMN 中， sin∠MQN= ， ∴MN=QN?sin∠MQN ， ∴MN=OP?sin∠MQN= 2179。sin60176。=2179。 = ， ∴MN 是定值 ． （ 4） 由 （ 3） ② 得 MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN ． 當(dāng)直徑 AB與 CD相交成 90176。 角時(shí)， ∠MQN=180176。 ﹣ 90176。=90176。 ， MN 取得最大值 2． 2. 證明：（ 1） ∵AB 為直徑， ∴∠ACB=90176。 ，即： AC⊥BC ，又 OE⊥BC ， ∴OE∥AC ， ∴∠BAC=∠FOB ，∵BN 是半圓的切線， ∴∠BCA=∠FBO=90176。 ， ∴△ACB∽△OBF ． 解：（ 2）由 △ACB∽△OBF 得， ∠OFB=∠DBA ， ∠DAB=∠OBF=90176。 ， ∴△ABD∽△BFO ， 當(dāng) △ABD 與 △BFO 的面積相等時(shí)， △ABD≌△BFO ， ∴AD=1 ， 又 DPQ是半圓 O的切線， ∴OP=1 ，且 OP⊥DP ， ∴DQ∥AB ， ∴BQ=AD=1 ， （ 3）由（ 2）知， △ABD∽△BFO ， ∴ = ， ∴BF= ， ∵DPQ 是半圓 O的切線， ∴AD=DP ， QB=BQ， 過(guò) Q點(diǎn)作 AM 的垂線 QK，垂足為 K，在直角三角形 DQK中， DQ2=QK2+DK2， ∴ （ AD+BQ） 2=（ AD﹣ BQ） 2+22． ∴BQ= ， ∴BF=2BQ ， ∴Q 為 BF的中點(diǎn)． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知識(shí)，熟練利用相似三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．