【正文】 個(gè)空就是 4 條線段即 AB、 BC、 CD、 ED；而如果從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)、再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有 10 條線段： 即： AB、 AC、 AD、 AE、 BC、 BD、 BE、 CD、 CE、DE 共 10 條。 [規(guī)律總結(jié) ]此類(lèi)型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)， 再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段。 24 例 如圖 1 一 5 指出圖形中直線 AB 上方角的個(gè)數(shù)（不含平角） [思路分析 ]此題有些同學(xué)不認(rèn)真分析誤認(rèn)為就 4 個(gè)角，其實(shí)共有 9 個(gè)角。即：∠ AOC、∠ AOD、∠ AOE、∠ COD、∠ COE、∠ COB、∠ DOE、∠ DOB、∠ EOB 共 9 個(gè)角。 [規(guī)律總結(jié) ]從一個(gè)頂點(diǎn)引出多條射線時(shí)．為了確定角的個(gè)數(shù)，一般按邊順序分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，避免既不重復(fù)又不遺漏。 方法 3：用代數(shù)法求角度 例 已知一個(gè)銳角的余角，是這個(gè)銳角的補(bǔ)角的 61 ，求這個(gè)角。 [思路分析 ]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補(bǔ)角。根據(jù)互為余角，互為補(bǔ)角的概念，考慮它們?cè)跀?shù)量上有什么關(guān)系？設(shè)銳角為 x，則它的余角為 90 – x 。，它的補(bǔ)角為 180 – x，這就可以列方程了。解：略 [規(guī)律總結(jié)］有關(guān)余角、補(bǔ)角的問(wèn)題，一般都用代數(shù)方法先設(shè)未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結(jié)果。 方法 4：添加輔助線平移角 例 已知：如圖 l— 6， AB∥ ED 求證：∠ B＋∠ BCD＋∠ D＝ 360176。 [思路分析 ]我們知道只有周角是等于 360176。 ，而圖中又出現(xiàn)了與∠ BCD 相關(guān)的以 C 為頂點(diǎn)的周角，若能把∠ B、∠ D 移到與∠ BCD 相鄰且以 C 為頂點(diǎn)的位置，即可把∠ B、∠ BCD 和∠ D三個(gè)角組成一分周角，則可推出結(jié)論。證時(shí)：略 規(guī)律總結(jié) ]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過(guò)加輔助線，平移角達(dá)到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。 幾何部分 第二章：三角形 知識(shí)點(diǎn)： 一、關(guān)于三角形的一些概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角。 三角形的角平分線。 三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離） 三角形的中線 三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離） 3．三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。 如圖 2－ l， AD、 BE、 CF 都是么 ABC 的角平分線，它們都在△ ABC 內(nèi) 如圖 2－ 2， AD、 BE、 CF 都是△ ABC 的中線，它們都在△ ABC 內(nèi) 25 而圖 2－ 3，說(shuō)明高線不一定在 △ ABC 內(nèi)， 圖 2— 3— （ 1） 圖 2— 3— （ 2） 圖 2－ 3 一（ 3） 圖 2－ 3— （ 1），中三條高線都在△ ABC 內(nèi)， 圖 2－ 3－（ 2），中高線 CD 在△ ABC 內(nèi)，而高線 AC 與 BC 是三角形的邊； 圖 2－ 3 一（ 3），中高線 BE 在△ ABC 內(nèi)，而高線 AD、 CF 在△ ABC 外。 三、三角形三條邊的關(guān)系 三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。 等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。 三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類(lèi)： 三角形????????等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰等腰三角形不等邊三角形三角形 用集合表示，見(jiàn)圖 2－ 4 推論三角形兩邊的差小于第三邊。 不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。 例如三條線段長(zhǎng)分別為 5， 6， 1 人因?yàn)?5＋ 6＜ 12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。 三、三角形的內(nèi)角和 26 定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180176。 由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知△ ABC 的兩個(gè)角為∠ A＝ 90176。 ，∠ B＝ 40176。 ，則∠ C＝ 180176。 –90176。 –40176。 ＝ 50176。 由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。 推論 1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 三角形按角分類(lèi)： ????????鈍角三角形銳角三角形斜三角形直角三角形三角形 用集合表示，見(jiàn)圖 三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。 推論 2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論 3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 例如圖 2— 6 中 ∠ 1 ＞∠ 3；∠ 1=∠ 3＋∠ 4；∠ 5＞∠ 3＋∠ 8；∠ 5＝∠ 3＋∠ 7＋∠ 8； ∠ 2＞∠ 8；∠ 2＝∠ 7＋∠ 8；∠ 4＞∠ 9；∠ 4＝∠ 9＋∠ 10 等等。 四、全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形 叫全等形。 兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。 全等用符號(hào)“≌”表示 △ ABC≌△ A `B`C`表示 A 和 A`， B 和 B`， C 和 C`是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 如圖 2— 7， △ ABC≌△ A `B`C`，則有 A、 B、 C的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A`、 B`、 C`； AB、 BC、 CA的對(duì)應(yīng)邊是 A`B`、 B`C`、 C`A`。 ∠ A， ∠ B， ∠ C的對(duì)應(yīng)角是 ∠ A`、 ∠ B`、 ∠ C`。 ∴ AB＝ A`B`， BC＝ B`C`， CA＝ C`A`； ∠ A＝ ∠ A`， ∠ B＝ ∠ B`， ∠ C＝ ∠ C` 27 五、全等三角形的判定 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―邊角邊 ‖或 ―SAS‖） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―角邊角―或 ―ASA‖） 推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―角角邊 ’域―AAS‖） 邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―邊邊邊 ‖或 ―SSS‖） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。 除了上面的判定定理外， ―邊邊角 ‖或 ―角角角 ‖都不能保證兩個(gè)三角形全等。 直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―斜邊，直角邊 ‖或 ―HL‖） 六、角的平分線 定理 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 定理 一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 由定理 2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。 可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)） 在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個(gè)做原命題，那么另一個(gè)叫它的逆命題。 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定 理。 例如： ―兩直線 平行，同位角相等 ‖和“同位角相等，兩直線平行 ‖是互逆定理。 一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理：“對(duì)頂角相等 ‖就沒(méi)逆定理，因?yàn)?―相等的角是對(duì)頂角 ‖這是一個(gè)假命顆。 七、基本作圖 限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖，稱(chēng)為尺規(guī)作網(wǎng)＿ 最基本、最常用的尺規(guī)作圖．通常稱(chēng)為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。 作一個(gè)角等于已知角：作法是使三角形全等（ SSS），從而得到對(duì)應(yīng)角相等； 平分已知角：作法仍是使三角形全等（ SSS）．從而得到對(duì)應(yīng)角相等。 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線：（ 1）若點(diǎn)在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（ 2）若點(diǎn)在已知直線外，可用類(lèi)似平分已知角的方法去做：已知點(diǎn) C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交已知真線于 A、 B兩點(diǎn)，再以 A、 B為圓心，用相同的長(zhǎng)為半徑分別作弧交于 D點(diǎn)，連結(jié) CD即為所求垂線。 作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。 做法的實(shí)質(zhì)仍是全等三角形（ SSS）。 也可以用這個(gè)方法作線段的中點(diǎn)。 八、作圖題舉例 重要解決求作三角形的問(wèn)題 已知兩邊一夾角，求作三角形 已知底邊上的高，求作等腰三角形 28 九、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―等邊對(duì)等角 ‖） 推論 1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說(shuō)：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于 60176。 例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因?yàn)榈妊切蔚走呏芯€就是頂角的角平分線、而角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等 n 十、等腰三角形的判定 定理：如果一個(gè)三角形有 兩個(gè)角相，那這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（簡(jiǎn)寫(xiě)成 ―等角對(duì)等動(dòng) ‖）。 推論 1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 推論 2：有一個(gè)角等于 60176。 的等腰三角形是等邊三角形 推論 3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 3O176。 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 十一、線段的垂直平分線 定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 就是說(shuō)：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 十二、軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，這條直線叫對(duì)稱(chēng)軸。 兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)也叫軸對(duì)稱(chēng)。 定理 1：關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。 定理 2：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。 定理 3：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)相交。那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。 逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線 被一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。 如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸。 例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱(chēng)軸，而等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。 十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、 b的平方和等于斜邊 c的平方： cba ?? 22 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) a、 b、 c有下面關(guān)系： 222 cba ?? 那么這個(gè)三角形是直角三角形 例題： 例 已知： AB、 CD相交于點(diǎn) O， AC∥ DB， OC=OD,E、 F為 AB上兩點(diǎn)，且 AE=： CE=DF 分析：要證 CE=DF，可證△ ACE≌△ BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時(shí)由已知條件可先證出△ AOC≌△ BOD，得出AC=BD，從而證出△ ACE≌△ BDF. 證明：略 29 例 已知：如圖， AB=CD， BC=DA， E、 F是 AC上兩點(diǎn)， 且 AE=CF。求證： BF=DE 分析：觀察圖形， BF和 DE分別在△ CFB和△ AED（或△ ABF和△ CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個(gè)三角形全等。這時(shí)可由已知條件先證明△ ABC≌△ CDA,由此得∠ 1=∠ 2，從而證出△ CFB≌△ AED。 證明：略 例 已知：∠ CAE是三角形 ABC的外角 , ∠ 1=∠ 2， AD∥ BC 。 求證： AB=AC 證明：略 例 已知：如圖 3－ 89， OE平分 ∠ AOB， EC⊥ OA于 C