【正文】 個空就是 4 條線段即 AB、 BC、 CD、 ED；而如果從一個端點出發(fā)、再找出另一個端點確定線段，就會發(fā)現(xiàn)有 10 條線段： 即： AB、 AC、 AD、 AE、 BC、 BD、 BE、 CD、 CE、DE 共 10 條。 [規(guī)律總結(jié) ]此類型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個端點出發(fā)， 再找出另一個端點確定線段。 24 例 如圖 1 一 5 指出圖形中直線 AB 上方角的個數(shù)（不含平角） [思路分析 ]此題有些同學(xué)不認(rèn)真分析誤認(rèn)為就 4 個角，其實共有 9 個角。即：∠ AOC、∠ AOD、∠ AOE、∠ COD、∠ COE、∠ COB、∠ DOE、∠ DOB、∠ EOB 共 9 個角。 [規(guī)律總結(jié) ]從一個頂點引出多條射線時．為了確定角的個數(shù)，一般按邊順序分類統(tǒng)計，避免既不重復(fù)又不遺漏。 方法 3：用代數(shù)法求角度 例 已知一個銳角的余角，是這個銳角的補(bǔ)角的 61 ，求這個角。 [思路分析 ]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補(bǔ)角。根據(jù)互為余角，互為補(bǔ)角的概念，考慮它們在數(shù)量上有什么關(guān)系？設(shè)銳角為 x，則它的余角為 90 – x 。，它的補(bǔ)角為 180 – x，這就可以列方程了。解：略 [規(guī)律總結(jié)］有關(guān)余角、補(bǔ)角的問題，一般都用代數(shù)方法先設(shè)未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結(jié)果。 方法 4：添加輔助線平移角 例 已知：如圖 l— 6， AB∥ ED 求證：∠ B＋∠ BCD＋∠ D＝ 360176。 [思路分析 ]我們知道只有周角是等于 360176。 ，而圖中又出現(xiàn)了與∠ BCD 相關(guān)的以 C 為頂點的周角，若能把∠ B、∠ D 移到與∠ BCD 相鄰且以 C 為頂點的位置，即可把∠ B、∠ BCD 和∠ D三個角組成一分周角，則可推出結(jié)論。證時：略 規(guī)律總結(jié) ]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過加輔助線，平移角達(dá)到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。 幾何部分 第二章：三角形 知識點： 一、關(guān)于三角形的一些概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。 三角形的角平分線。 三角形的角平分線是一條線段（頂點與內(nèi)角平分線和對邊交線間的距離） 三角形的中線 三角形的中線也是一條線段（頂點到對邊中點間的距離） 3．三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。 如圖 2－ l， AD、 BE、 CF 都是么 ABC 的角平分線，它們都在△ ABC 內(nèi) 如圖 2－ 2， AD、 BE、 CF 都是△ ABC 的中線，它們都在△ ABC 內(nèi) 25 而圖 2－ 3，說明高線不一定在 △ ABC 內(nèi)， 圖 2— 3— （ 1） 圖 2— 3— （ 2） 圖 2－ 3 一（ 3） 圖 2－ 3— （ 1），中三條高線都在△ ABC 內(nèi)， 圖 2－ 3－（ 2），中高線 CD 在△ ABC 內(nèi)，而高線 AC 與 BC 是三角形的邊； 圖 2－ 3 一（ 3），中高線 BE 在△ ABC 內(nèi)，而高線 AD、 CF 在△ ABC 外。 三、三角形三條邊的關(guān)系 三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。 等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。 三角形接邊相等關(guān)系來分類： 三角形????????等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰等腰三角形不等邊三角形三角形 用集合表示，見圖 2－ 4 推論三角形兩邊的差小于第三邊。 不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。 例如三條線段長分別為 5， 6， 1 人因為 5＋ 6＜ 12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。 三、三角形的內(nèi)角和 26 定理三角形三個內(nèi)角的和等于 180176。 由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知△ ABC 的兩個角為∠ A＝ 90176。 ，∠ B＝ 40176。 ，則∠ C＝ 180176。 –90176。 –40176。 ＝ 50176。 由定理可以知道，三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角。 推論 1：直角三角形的兩個銳角互余。 三角形按角分類： ????????鈍角三角形銳角三角形斜三角形直角三角形三角形 用集合表示，見圖 三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。 推論 2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。 推論 3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。 例如圖 2— 6 中 ∠ 1 ＞∠ 3；∠ 1=∠ 3＋∠ 4；∠ 5＞∠ 3＋∠ 8；∠ 5＝∠ 3＋∠ 7＋∠ 8； ∠ 2＞∠ 8；∠ 2＝∠ 7＋∠ 8；∠ 4＞∠ 9；∠ 4＝∠ 9＋∠ 10 等等。 四、全等三角形 能夠完全重合的兩個圖形 叫全等形。 兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫對應(yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。 全等用符號“≌”表示 △ ABC≌△ A `B`C`表示 A 和 A`， B 和 B`， C 和 C`是對應(yīng)點。 全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。 如圖 2— 7， △ ABC≌△ A `B`C`，則有 A、 B、 C的對應(yīng)點 A`、 B`、 C`； AB、 BC、 CA的對應(yīng)邊是 A`B`、 B`C`、 C`A`。 ∠ A， ∠ B， ∠ C的對應(yīng)角是 ∠ A`、 ∠ B`、 ∠ C`。 ∴ AB＝ A`B`， BC＝ B`C`， CA＝ C`A`； ∠ A＝ ∠ A`， ∠ B＝ ∠ B`， ∠ C＝ ∠ C` 27 五、全等三角形的判定 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成 ―邊角邊 ‖或 ―SAS‖） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成 ―角邊角―或 ―ASA‖） 推論有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成 ―角角邊 ’域―AAS‖） 邊邊邊公理有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成 ―邊邊邊 ‖或 ―SSS‖） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。 除了上面的判定定理外， ―邊邊角 ‖或 ―角角角 ‖都不能保證兩個三角形全等。 直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成 ―斜邊，直角邊 ‖或 ―HL‖） 六、角的平分線 定理 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 定理 一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。 由定理 2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。 可以證明三角形內(nèi)存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點） 在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那么另一個叫它的逆命題。 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定 理。 例如： ―兩直線 平行，同位角相等 ‖和“同位角相等，兩直線平行 ‖是互逆定理。 一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等 ‖就沒逆定理，因為 ―相等的角是對頂角 ‖這是一個假命顆。 七、基本作圖 限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作網(wǎng)＿ 最基本、最常用的尺規(guī)作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。 作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（ SSS），從而得到對應(yīng)角相等； 平分已知角：作法仍是使三角形全等（ SSS）．從而得到對應(yīng)角相等。 經(jīng)過一點作已知直線的垂線：（ 1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（ 2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點 C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧交已知真線于 A、 B兩點，再以 A、 B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于 D點，連結(jié) CD即為所求垂線。 作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。 做法的實質(zhì)仍是全等三角形（ SSS）。 也可以用這個方法作線段的中點。 八、作圖題舉例 重要解決求作三角形的問題 已知兩邊一夾角，求作三角形 已知底邊上的高，求作等腰三角形 28 九、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成 ―等邊對等角 ‖） 推論 1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于 60176。 例如：等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等，因為等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等 n 十、等腰三角形的判定 定理：如果一個三角形有 兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成 ―等角對等動 ‖）。 推論 1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 推論 2：有一個角等于 60176。 的等腰三角形是等邊三角形 推論 3：在直角三角形中，如果一個銳角等于 3O176。 ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 十一、線段的垂直平分線 定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。 十二、軸對稱和軸對稱圖形 把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應(yīng)點叫關(guān)于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。 兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫軸對稱。 定理 1：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。 定理 2：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。 定理 3：兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長相交。那么交點在對稱軸上。 逆定理：如果兩個圖形的對應(yīng)點連線 被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。 如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。 例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。 十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、 b的平方和等于斜邊 c的平方： cba ?? 22 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a、 b、 c有下面關(guān)系： 222 cba ?? 那么這個三角形是直角三角形 例題： 例 已知： AB、 CD相交于點 O， AC∥ DB， OC=OD,E、 F為 AB上兩點，且 AE=： CE=DF 分析：要證 CE=DF，可證△ ACE≌△ BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時由已知條件可先證出△ AOC≌△ BOD，得出AC=BD，從而證出△ ACE≌△ BDF. 證明：略 29 例 已知：如圖， AB=CD， BC=DA， E、 F是 AC上兩點， 且 AE=CF。求證： BF=DE 分析：觀察圖形， BF和 DE分別在△ CFB和△ AED（或△ ABF和△ CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。這時可由已知條件先證明△ ABC≌△ CDA,由此得∠ 1=∠ 2，從而證出△ CFB≌△ AED。 證明：略 例 已知：∠ CAE是三角形 ABC的外角 , ∠ 1=∠ 2， AD∥ BC 。 求證： AB=AC 證明：略 例 已知：如圖 3－ 89， OE平分 ∠ AOB， EC⊥ OA于 C