【正文】 ????nnnnn????????????????????0000110010101001???????? 解得 Tξ )1,1,1,1(1 ?? ，所以 A 的屬于 1λ 的全部特征向量為 Tkξk )1,1,1,1(1 ?? (k 為任意不為零的常數(shù) )． 對(duì) bλ ??12 ， ?????????????????????????bbbbbbbbbAEλ??????2 ???????????????000000111?????? 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號(hào)第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 17 得基礎(chǔ)解系為 Tξ )0,0,1,1(2 ??? ， Tξ )0,1,0,1(3 ??? ， Tnξ )1,0,0,1(, ?? ?? ． 故 A 的屬于 2λ 的全部特征向量為 nn ξkξkξk ??? ?3322 ( nkk , 32 ? 是不全為零的常數(shù) )． ?2 當(dāng) 0?b 時(shí)， nλλλλAEλ )1(100010001|| ?????????????, 特征值為 11 ??? nλλ ? ，任意非零列向量均為特征向量． (Ⅱ ) ?1 當(dāng) 0?b 時(shí)， A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，令 ),( 21 nξξξP ?? ，則 ????????????????????bbbnAPP11)1(11? ?2 當(dāng) 0?b 時(shí)， EA? ，對(duì)任意可逆矩陣 P , 均有 EAPP ??1 ． 【 評(píng)注 】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算 , 齊次線性方程組的求解和矩陣的對(duì)角化等問題 , 屬于有一點(diǎn)綜合性的試題 . 另外 ,本題的解題思路是容易的 , 只要注意矩陣中含有一個(gè)未知參數(shù) , 從而一般要討論其不同取值情 況 . (22) (本題滿分 13 分 ) 設(shè) A ， B 為兩個(gè)隨機(jī)事件 ,且 41)( ?AP , 31)|( ?ABP , 21)|( ?BAP , 令 ???? 不發(fā)生， 發(fā)生，AAX 0,1 ???? .0,1 不發(fā)生， 發(fā)生，BBY 求 (Ⅰ ) 二維隨機(jī)變量 ),( YX 的概率分布 。 (Ⅱ ) X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) XYρ 。 (Ⅲ ) 22 YXZ ?? 的概率分布 . 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號(hào)第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 18 【 分析 】本題的關(guān)鍵是求出 ),( YX 的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量 ),( YX 的各取值對(duì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件 A 和 B 表示即可． 【詳解 】 (Ⅰ ) 因?yàn)? 121)|()()( ?? ABPAPABP ， 于是 61)|( )()( ?? BAP ABPBP， 則有 121)(}1,1{ ???? ABPYXP ， 61)()()(}0,1{ ?????? ABPAPBAPYXP ， 121)()()(}1,0{ ?????? ABPBPBAPYXP ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{ ???????????? ABPBPAPBAPBAPYXP ， ( 或 32121611211}0,0{ ??????? YXP )， 即 ),( YX 的概率分布為： Y X 0 1 0 1 32 121 61 121 (Ⅱ ) 方法一：因?yàn)? 41)( ?? APEX ， 61)( ?? BPEY ， 121)( ?XYE ， 41)(2 ?? APEX ， 61)(2 ?? BPEY ， 163)( 22 ??? EXEXDX ， 165)( 22 ??? EYEYDY ， 241)(),( ??? E X E YXYEYXCov ， 所以 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) 1515151),( ???? DYDX YXCovρ XY． 方法二： X, Y 的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P 65 61 則 61,41 ?? EYEX ， 163?DX ， DY=365 , E(XY)=121 , 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號(hào)第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 19 故 241)(),( ???? EYEXXYEYXCov ，從而 .1515),( ??? DYDX YXCovXY? (Ⅲ ) Z 的可能取值為： 0， 1， 2 ． 32}0,0{}0{ ????? YXPZP ， 41}1,0{}0,1{}1{ ???????? YXPYXPZP ， 121}1,1{}2{ ????? YXPZP ， 即 Z 的概率分布為： Z 0 1 2 P 32 41 121 【 評(píng)注 】本題考查了二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布等計(jì)算問題，屬于綜合性題型 (23) (本題滿分 13 分 ) 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 ???????????????，，αxαxxαβαxF β0,1),( 其中參數(shù) 1,0 ?? βα . 設(shè) nXXX , 21 ? 為來自總體 X 的簡單隨機(jī)樣本 , (Ⅰ ) 當(dāng) 1?α 時(shí) , 求未知參數(shù) β 的矩估計(jì)量 。 (Ⅱ ) 當(dāng) 1?α 時(shí) , 求未知參數(shù) β 的最大似然估計(jì)量 。 (Ⅲ ) 當(dāng) 2?β 時(shí) , 求未知參數(shù) α 的最大似然估計(jì)量 . 【分析】 本題是一個(gè)常規(guī)題型 , 只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都須已知密度函數(shù) , 從而先由分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù) . 【詳解】 當(dāng) 1?α 時(shí) , X 的概率密度為 ???????? ?，，101,),( 1xxx ββxf β (Ⅰ ) 由于 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號(hào)第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 20 ?? ??????? ????? 1 1 ,1)。( β βdxx βxdxβxxfEX β 令 Xββ ??1, 解得 1??XXβ, 所以 , 參數(shù) β 的矩估計(jì)量為 1??XXβ. (Ⅱ ) 對(duì)于總體 X 的樣本值 nxxx , 21 ? , 似然函數(shù)為 ???????? ???? niiβnninixxxx βαxfβL1121.,0),2,1(1,)()。()(其他?? 當(dāng) ),2,1(1 nix i ??? 時(shí) , 0)( ?βL , 取對(duì)數(shù)得 ?????ni ixββnβL 1 ln)1(ln)(ln, 對(duì) β 求導(dǎo)數(shù)，得 ????ni ixβnβd βLd1 ln)]([l n ， 令 0ln)]([l n1 ??? ??ni ixβnβd βLd ， 解得 ??? ni ixnβ1ln， 于是 β 的最大似然估計(jì)量為 ??? ni ixnβ1ln? ． ( Ⅲ ) 當(dāng) 2?β 時(shí) , X 的概率密度為 ????????，，αxαxxαβxf0,2),( 3 2 對(duì)于總體 X 的樣本值 nxxx , 21 ? , 似然函數(shù)為 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號(hào)第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 21 ?? ????? ???? niinnniniαxxxx ααxfβL13212.,0),2,1(,)( 2)。()(其他?? 當(dāng) ),2,1( niαx i ??? 時(shí) , α 越大， )(αL 越大 , 即 α 的最大似然估計(jì)值為 },m in {? 21 nxxxα ?? , 于是 α 的最大似然估計(jì)量為 },m in {? 21 nXXXα ?? ．