【文章內(nèi)容簡介】 x ? (?? , 0) ? (0 , ?)時， f (x) 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的極小值點 . 顯然， x = 0 是 f (x)的不可導(dǎo)點 . 當(dāng) x ? (?? , 0)時， f (x) = ?x(1 ? x)， 02)( ???? xf ， 當(dāng) x ? (0 , ?)時， f (x) = x(1 ? x)， 02)( ????? xf ，所以 (0 , 0)是曲線 y = f (x)的拐點 . 故選 (C). 【 評注 】對于極值情 況，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷 . (10) 設(shè)有下列命題： (1) 若 ??? ? ?1 212 )(n nn uu收斂，則 ???1n nu收斂 . (2) 若 ???1n nu收斂，則 ??? ?1 1000n nu收斂 . (3) 若 1lim 1 ???? nnn uu，則 ???1n nu發(fā)散 . 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 9 (4) 若 ??? ?1 )(n nn vu收斂，則 ???1n nu， ???1n nv都收斂 . 則以上命題中正確的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ] 【 分析 】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明 4 個命題的正確性 . 【 詳解 】 (1)是錯誤的，如令 nnu )1(?? ，顯然， ???1n nu分散，而 ??? ? ?1 212 )(n nn uu收斂 . (2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性 . (3)是正確的，因為由 1lim 1 ???? nnn uu可得到 nu 不趨向于零 (n ? ?)，所以 ???1n nu發(fā)散 . (4)是錯誤的，如令 nvnu nn 1,1 ??? ，顯然， ???1n nu， ???1n nv都發(fā)散，而 ??? ?1 )(n nn vu 收斂 . 故選 (B). 【 評注 】本題主要考查級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型 . (11) 設(shè) )(xf? 在 [a , b]上連續(xù)，且 0)(,0)( ???? bfaf ，則下列結(jié)論中錯誤的是 (A) 至少存在一點 ),(0 bax ? ，使得 )(0xf f (a). (B) 至少存在一點 ),(0 bax ? ，使得 )(0xf f (b). (C) 至少存在一點 ),(0 bax ? ，使得 0)( 0 ?? xf . (D) 至少存在一點 ),(0 bax ? ，使得 )(0xf = 0. [ D ] 【 分析 】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項 . 【 詳解 】首先，由已知 )(xf? 在 [a , b]上連續(xù)，且 0)(,0)( ???? bfaf ，則由介值定理 ， 至少存在一點 ),(0 bax ? ，使得 0)( 0 ?? xf ； 另外， 0)()(lim)( ????? ?? ax afxfaf ax，由極限的保號性，至少存在一點 ),(0 bax ? 使得 0)()(00 ??? ax afxf ，即 )()( 0 afxf ? . 同理，至少存在一點 ),(0 bax ? 使得 )()( 0 bfxf ? . 所以， (A) (B) (C)都正確 ，故選 (D). 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 10 【 評注 】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度 . (12) 設(shè) n 階矩陣 A 與 B 等價 , 則必有 (A) 當(dāng) )0(|| ?? aaA 時 , aB?|| . (B) 當(dāng) )0(|| ?? aaA 時 , aB ??|| . (C) 當(dāng) 0|| ?A 時 , 0|| ?B . (D) 當(dāng) 0|| ?A 時 , 0|| ?B . [ D ] 【 分析 】 利用矩陣 A 與 B 等價的充要條件 : )()( BrAr ? 立即可得 . 【 詳解 】因為當(dāng) 0|| ?A 時 , nAr ?)( , 又 A 與 B 等價 , 故 nBr ?)( , 即 0|| ?B , 故選 (D). 【 評注 】本題是對矩陣等價、行列式的考查 , 屬基本題型 . (13) 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣 ,0*?A 若 4321 , ξξξξ 是非齊次線性方程組 bAx? 的 互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組 0?Ax 的基礎(chǔ)解系 (A) 不存在 . (B) 僅含一個非零解向量 . (C) 含有兩個線性無關(guān)的解向量 . (D) 含有三個線性無關(guān)的解向量 . [ B ] 【 分析 】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù) , 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩 . 【 詳解 】 因為基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù) = )(Arn? , 而且 ???????????.1)(,0,1)(,1,)(,)( *nArnArnArnAr 根據(jù)已知條件 ,0*?A 于是 )(Ar 等于 n 或 1?n . 又 bAx? 有互不相等的解 , 即解不惟一 , 故 1)( ??nAr . 從而基礎(chǔ)解系僅含一個解向量 , 即選 (B). 【 評注 】本題是對矩陣 A 與其伴隨矩陣 *A 的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個知識點的綜合考查 . (14) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 )1,0(N , 對給定的 )1,0(?α , 數(shù) αu 滿足 αuXP α ?? }{ , 若 αxXP ?? }|{| , 則 x 等于 (A) 2αu. (B) 21αu?. (C) 21αu?. (D) αu?1 . [ C ] 【 分析 】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得 . 【 詳解 】 由 αxXP ?? }|{| , 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得 21}{ αxXP ??? . 故正確答案為 (C). 【 評注 】本題是對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì) , 嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查 . 三、解答題 (本題共 9 小題，滿分 94 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .) (15) (本題滿分 8 分 ) 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 11 求 )c ossin1(lim 2220 x xxx ??. 【 分析 】先通分化為“ 00 ”型極限，再利用等價無窮小與羅必達(dá)法則求解即可 . 【 詳解 】xx xxxx xx xx 2222202220 s i n c oss i nl i m)c oss i n1(l i m ??? ?? = 346)4(21l i m64c o s1l i m44s i n212l i m2s i n41l i m22020304220 ??????????? xxxxxxxxxxxxxx. 【 評注 】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“ 00 ”型極限，應(yīng)充分利用等價無窮小替換來簡化計算 . (16) (本題滿分 8 分 ) 求 ?? ??D dyyx ?)(22 ，其中 D 是由圓 422 ??yx 和 1)1( 22 ??? yx 所圍成的平面區(qū)域 (如圖 ). 【 分析 】首先，將積分區(qū)域 D 分為大圓 }4|),{( 221 ??? yxyxD 減去小圓 }1)1(|),{( 222 ???? yxyxD ，再利用對稱性與極 坐標(biāo)計算即可 . 【 詳解 】令 }1)1(|),{(},4|),{( 222221 ??????? yxyxDyxyxD ， 由對稱性， 0???D yd?. ?????? ?????21222222DDD dyxdyxdyx ??? ???? ??? ???? ?? cos20 223220 220 drrddrrd. )23(916932316 ???? ?? 所以， )23(916)( 22 ?????? ??D dyyx. 【 評注 】本題屬于在極坐標(biāo)系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算 . (17) (本題滿分 8 分 ) 設(shè) f (x) , g(x)在 [a , b]上連續(xù)，且滿足 ?? ? xaxa dttgdttf )()( ， x ? [a , b)， ?? ? baba dttgdttf )()( . 萬學(xué)教育公共課事業(yè)部 北 京市海淀區(qū)北四環(huán)西路 66 號第三極創(chuàng)意天地 A17 層 100080 全國公共課 客服電話 ： 010— 62682299 關(guān)注您的未來 關(guān)注中國的未來 12 證明： ?? ? baba dxxxgdxxxf )()(. 【 分析 】令 F(x) = f (x) ? g(x)， ?? xa dttFxG )()(，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可 . 【 詳解 】令 F(x) = f (x) ? g(x)， ?? xa dttFxG )()(， 由題設(shè) G(x) ?